精心預設 動態生成

［摘 要］ 研究者以“兩角差的余弦公式”教學為例，分別從“返璞歸真，互動引入”“逐步完善公式證明”“向量法證明公式”等方面展開分析，旨在使課堂預設更加靈活，突出動態生成與精心設計.

［關鍵詞］ 預設；動態生成；教學

布魯姆認為：如果所有結果都能預料到，那么教育就不能稱為一門藝術了. 確實，每一個學生都是獨立個體，擁有獨特的想象力與創造力，而且課堂具有一定的多變性特征，因此不論多么精心的預設都有可能出現“意外”. 教師應打破“照本宣科”“照章辦事”的理念，在精心預設的基礎上，靈活應對課堂變化，想方設法讓課堂動態生成. 本文以“兩角差的余弦公式”教學為例，探討使課堂動態生成的基本方式.

教學實錄

1. 返璞歸真，互動引入

課堂是師生、生生間交互的場所，教師是課堂的“導演”而非“主演”，學生才是“主角”. 從教學目標視角來看，課堂具有現場性和動態性，學習氛圍、條件與狀態等都有可能發生變化. 因此，教師在設定教學目標時，需要將這些彈性因素考慮進去. 此外，課堂環境相對封閉，故教師應結合學生的最近發展區適當地升降預設目標，為高價值目標的生成提供充足空間.

當教學遇見意外情況時，若教師堅持預設思路，則難引學生共鳴，只有順應學生思維靈活應對，才能讓課堂真正生成.

問題1 你們覺得如何用正弦值和余弦值來表示cos（α-β）？

生1：我認為可以先猜想結論，再證明結論.

師：這個想法不錯，那先從簡要結論出發進行推測吧. cos（α-β）是否等于cosα-cosβ呢？

生2：借助特殊值進行檢驗，當α，β的值分別為和0時，發現cos（α-β）≠cosα-cosβ，因此該結論不成立.

生3：觀察其結構，α-β的余弦cos（α-β）就是一個整體，因此任意角的余弦值不能簡單應用乘法分配律進行處理.

師：很不錯，兩位同學分別從特殊角度和一般角度分析了問題，否認了這種猜想. 之前我們接觸過三角函數的誘導公式，現在我們就一起從特殊角著手進行分析，看看cos（α-β）究竟等于什么. 先來研究角α取π，2π，0，，時cos（α-β）的情況.

學生以小組合作的方式積極互動、交流，得到如下結論：①當角α取π，2π，0時，cos（α-β）=cosαcosβ；②當角α取，時，cos（α-β）=sinαsinβ.

師：從你們的研究中，我看到了智慧的火花，關于cos（α-β）的結論，能否統一表示？

生4：鑒于上述兩個結論在給定條件下不能相互轉換，是不是說明cos（α-β）所表達的式子并非單項式，而是與sinαsinβ和cosαcosβ都有所聯系？

生5：由于sinkπ=cos

kπ+

=0（k∈Z），故猜想cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ.

問題2 有道理，該怎樣驗證這個猜想呢？

生5：同樣取幾個特殊值試一試就知道了.

至此，兩角差的余弦公式在師生積極互動與交流中自動生成. 當教師準備結束這個話題時，有學生舉手，表示自己有新的想法.

生6：結合上述分析可知，cos（α-β）的表示式與sinαsinβ和cosαcosβ都相關，猜想cos（α-β）可表示為xcosαcosβ+ysinαsinβ+zf（α，β）（x，y，z為待定常數），f（α，β）是關于角α，β的一個函數.

師：這個想法比較全面深刻，是否準確呢？

學生自主驗證，獲得x=y=1的結論，并經討論認為zf（α，β）的值為0.

2. 逐步完善公式證明

在證明兩角差的余弦公式時，預設方法如下：①從三角函數線的角度分析，在銳角范圍下明確公式成立后，直接推廣至任意角. ②利用向量進行證明. ③利用兩點間的距離，構造全等三角形進行證明.

師：如果我們想把猜想轉變成真理，那么實踐檢驗是關鍵. 每一條猜想，都需要通過證明才能歸納成定理或公式. 當α，β，α-β都是銳角時，公式cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ是成立的. 想要明確此公式對于任意角是否也成立，需要進一步推廣驗證.

問題3 現在我們把α，β推廣至任意角. 如圖1所示，以x軸非負半軸為始邊逆時針旋轉作任意角α，其終邊與單位圓相交于點Q；以OQ為始邊順時針旋轉作任意角β，其終邊與單位圓相交于點P. 過點P作PM垂直x軸于M，作PA垂直OQ于A，過點A作AB垂直x軸于B. 如何使用角α，β的三角函數線來表示角α-β的余弦線OM呢？

話音剛落，學生們紛紛露出恍然大悟的表情：cos（α-β）=MO=BO+BM=BO+PC=AOcosα+APsinα=sinαsinβ+cosαcosβ.

從本質上來說，課堂教學就是互動與合作的過程，隨著思維、知識與價值取向的碰撞，課堂變得更加靈動、智慧. 教師切忌一成不變地按照預設實施教學，而應結合學生在課堂中的真實反饋及時調整教學策略，讓課堂在交互與資源共享中有機生成.

3. 向量法證明公式

從動態生成的角度來看，教師在實施教學活動前要“理解教學”，對整體的教學布局有一個理性、清晰的認識，設置彈性化的課堂預設. 在實際教學中，教師在課堂上應留有較大的自由度與包容度，做好“教學指導”與“信息重組”的工作.

高中數學課堂的內容多、信息量大，如果沒有跟上教學思路很可能忽略很多東西. 教師一定要手腦耳并用，科學合理運用信息，達成預設目標. 學生對數學知識的理解，反映的主要是思維結果，而非原始發現者的認知過程. 復歸學生思維，有助于學生完善知識結構.

師：通過以上推導，我們都能感受到，利用三角函數線證明兩角差的余弦公式并不容易. 我們觀察一下兩角差的余弦公式左、右兩邊的結構，探尋它們之間存在怎樣的相似點. 可否構造向量來證明？同時分析你的證明對任意角是否成立？

生7：可以構造向量進行證明.

生8：任意角α，β的終邊與單位圓的交點坐標為A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），由此可得向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）. 因為終邊OA，OB的夾角θ=2kπ±（α-β），k∈Z，根據向量的數量積公式可得cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ. 結合誘導公式化簡，得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，其中α，β是任意角.

師：很好，不論采用何種方法，均蘊含一種什么數學思想？

生9：轉化與化歸思想.

師：不錯，轉化思想是一種重要的數學思想方法，后續遇到一些新問題時，可從轉化的角度來分析，這對提升解題能力具有重要意義.

4. 公式的應用

學以致用是教學的關鍵環節，通過預設來完成教學目標，首先需要充分了解學情，借助一定的教學手段激疑啟思，這是調控課堂，促進課堂生成的基本前提. 實踐告訴我們，在知識應用階段，不能單純地依靠模仿，而應遵循教學規律選擇一些合適的例題進行引導.

例題 如果cos（α-β）=，則（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2的值是多少？

學生一見到問題就提出：可逆向應用兩角差的余弦公式，即展開待求式子，將sinαsinβ+cosαcosβ視為一個整體，可得答案為.

解決例題的過程實則為促進學生生長知識的過程，這對提升學生學習的主體意識、積極性和創造性具有重大意義. 教師在預設時認為，學生在解決此題時可能出現一些障礙，因此設置了兩道變式題，以降低問題難度，提升學生的理解力. 但實踐證明，該預設是多余的，學生在解決此題時表現出了較好的狀態. 為了進一步夯實學生的知識基礎，發展學生的應用能力，教師與學生又互動如下：

師：請大家充分發揮自己的想象，說一說（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2與cos（α-β）可能存在怎樣的關系.

生10：或許跟兩點間的距離公式有關.

師：能否用兩點間的距離公式對兩角差的余弦公式進行證明呢？

生11：如圖2所示，在平面直角坐標系內，作單位圓和角α，β，角α，β的始邊都是Ox，終邊則分別與單位圓相交于點Q（cosα，sinα），P（cosβ，sinβ），則PQ2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.

師：若想獲得cos（α-β）的表達式，則需探尋到與弦PQ等長的弦.

生12：將角α的終邊OQ反向旋轉β至OQ的位置，那么射線OQ就是角α-β的終邊.同時∠QOP=∠QOP，則△QOP≌△QOP，因此

Q

P=QP.

教師充分肯定了學生的剖析過程，并要求學生順應這個思路完成后面的學習任務.

教學思考

1. 學生始終占有主體性地位

課堂是師生積極互動的主陣地，任何預設與生成都要在“以生為本”的基礎上進行. 課堂的“主角”一直是學生，教師的主要任務就是想方設法啟發學生思維，讓學生自主嘗試從多維度發現并研究問題，這是激發學生學習主觀能動性的基礎，也是增強知識縱橫聯系的關鍵，對培養學生的參與意識有重要影響.

本節課，教學過程由教師引導，學生獨立思考與合作交流，親歷“兩角差的余弦公式”的形成與發展. 由于新知建構由學生主動完成，因此記憶更加深刻，尤其體現在公式證明與應用方面. 由此也能看出，將學生視為課堂主人，鼓勵學生積極主動地參與課堂活動，可有效激發學生的智慧，為完善認知架構，發展數學能力創造基礎.

2. 處理好預設與動態生成的關系

高質量的課堂都是開放性的課堂，靜態預設是動態生成的前提與保障. 教學中難以預料所有狀況，精心預設也無法完全把控. 教學推進更多取決于學生在課堂中的參與程度與教師處理突發事件的策略. 教師需妥善處理預設與生成的關系，以應對突發情況，避免慌亂. 程式化教學不利于課堂動態生成.

縱觀本節課教學，邏輯清晰、層次分明，學生在一個個精心預設的問題下，激發潛能，不僅自主夯實了知識基礎，還有效發展了“四能”，促進學力的發展. 但在教學的第四個環節“公式的應用”，教師預設與學生實際認知出現了偏差，教師因為低估學力，所設計的問題比較簡單，致使學生毫無挑戰性. 面對這一現狀，教師根據學情及時調整教學方案，有效避免無效教學現象. 這種在課堂上靈活應對的教學手法，不僅展現教師深厚的教學功底和卓越的職業素養，還凸顯處理好預設與生成關系的重要性.

3. 高質量的預設促進動態生成

課堂動態生成并不是否定預設，而是挑戰預設，智慧生成源于高質量預設. 如本節課，教師對推導兩角差的余弦公式精心預設了三種方法，結合學情和教情將這三種方法整合在一起，促進課堂的動態生成，取得了較好的成效. 此環節成功源于課前精心預設，準備充分，整合應用時才能游刃有余.

總的來說，正如建構主義理論所闡述的那樣：學生所掌握的知識并非完全依賴于教師的直接傳授，實際上，他們通過自己的生活經驗主動構建了許多知識. 因此，教師不能僅僅從自己的主觀角度出發，去替代學生的真實思維過程. 這句話深刻地提醒我們，學生的認知經驗對學習具有重要影響. 因此，教師在精心策劃和設計課堂教學活動時，必須客觀分析學生的學習情況和教學的實際情況，根據教學目標和學生需求來設計相應的教學活動. 這樣的做法是促使課堂上知識動態生成和學生思維活躍的關鍵所在.