高中數(shù)學(xué)建模應(yīng)立足生活

［摘 要］ 在生活基礎(chǔ)上數(shù)學(xué)建模，可幫助學(xué)生了解模型的形成與發(fā)展，為后續(xù)靈活應(yīng)用模型解決實(shí)際問題奠定基礎(chǔ). 文章以“指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)為例，借助兩個(gè)旅游景區(qū)不同年份游客人次的變化情況，引導(dǎo)學(xué)生親歷“初建模型—求解模型—應(yīng)用模型—總結(jié)提升”等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的建模能力，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；知識(shí)；生活；指數(shù)函數(shù)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一. 數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生來講并非一件新鮮事物，作為核心素養(yǎng)，其在不同階段的表現(xiàn)是不同的，從小學(xué)階段的模型意識(shí)到初中階段的模型觀念再到高中階段的數(shù)學(xué)建模，經(jīng)過了一個(gè)螺旋上升的發(fā)展過程.

數(shù)學(xué)本身是非凡、多樣、多彩的. 隨著新課改的深入推進(jìn)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)達(dá)成這一共識(shí)：不同個(gè)體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式有所區(qū)別，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的目的是更好地解決生活問題，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)想辦法激活各個(gè)層次學(xué)生的思維，挖掘?qū)W生的潛能，讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際有機(jī)地融合起來，為發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)創(chuàng)造條件. 在課堂中強(qiáng)化建模實(shí)踐，不僅能拉近生活實(shí)際與數(shù)學(xué)知識(shí)的距離，還能給學(xué)生帶來豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)到生活實(shí)際的可行之道［1］.

教學(xué)過程

1. 導(dǎo)入新課，初建模型

師：隨著我國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，不少家庭每年都會(huì)以旅游的方式增長見識(shí)，愉悅身心，各景區(qū)游客量日益遞增. 如表1所示，此為A，B兩地景區(qū)2005年至2019年游客人次的變化情況. 通過對(duì)表格的觀察，可發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來研究并描述這一現(xiàn)象？

在該生活情境的啟發(fā)下，學(xué)生借助描點(diǎn)法將表格中的數(shù)據(jù)整理為散點(diǎn)圖，并將各個(gè)點(diǎn)用光滑的曲線連接起來構(gòu)成圖1. 觀察圖形，可見A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升，即線性增長；B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長，各點(diǎn)連接而成的曲線沒有明顯的變化規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖 將學(xué)生感興趣的生活實(shí)際作為教學(xué)情境，意在引導(dǎo)學(xué)生感知建模過程中的理解問題與簡化問題兩個(gè)環(huán)節(jié). 從理解問題的視角來看，學(xué)生從A，B兩地景區(qū)游客人次的變化情況中可抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，初步感知生活實(shí)際與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系；從簡化問題的視角來看，將表格數(shù)據(jù)簡化為散點(diǎn)圖，學(xué)生可直觀洞察游客人次的變化情況，抽象出現(xiàn)實(shí)模型，增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析能力.

2. 生成概念，求解模型

（1）大膽猜想

師：B地景區(qū)的游客人次變化情況可借助什么量來表達(dá)？

探索此問題，可進(jìn)入師生活動(dòng)階段：教師先帶領(lǐng)學(xué)生將A地景區(qū)的游客人次與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式（y=10x+600，x∈［0，14］，x∈N），以及當(dāng)年游客人次與次年游客人次的關(guān)系（yn+1-yn=10〈等差〉，n∈N）抽象出來，再要求學(xué)生獨(dú)立思考與合作交流，對(duì)B地景區(qū)各年的游客人次變化情況加以探索，猜想模型.

學(xué)生在交流過程中逐一排除一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)，有的學(xué)生提出B地景區(qū)的游客人次的變化規(guī)律與二次函數(shù)相似，那么，這是否正確科學(xué)呢？為了探索這個(gè)問題，學(xué)生自主列式（y=ax2+bx+c，yn+1-yn=a+2an+b），同時(shí)畫圖分析，發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律與二次函數(shù)也不相符.

設(shè)計(jì)意圖 大膽猜想，可縮小模型范圍，為學(xué)生思維明確方向，也為學(xué)生從生活中提取數(shù)學(xué)模型，以及后續(xù)求解數(shù)學(xué)模型夯實(shí)基礎(chǔ).

（2）構(gòu)建模型

師：相鄰兩年間的游客人次相減獲得A地景區(qū)游客人次的年增長量，對(duì)于B地景區(qū)的游客人次的變化規(guī)律，能否用同種方法來分析呢？是否有其他方法？B地景區(qū)每年的游客人次增長量存在怎樣的情況？

在教師指導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)2006年至2018年B地景區(qū)游客人次的變化情況建立新模型，并用新模型計(jì)算2019年B地景區(qū)的游客人次，將所得結(jié)果與已知數(shù)據(jù)進(jìn)行類比，判斷所構(gòu)建的新模型是否準(zhǔn)確科學(xué).

探索發(fā)現(xiàn)年增長率和年增加量是該生活情境中的兩個(gè)重要變化量，而B地景區(qū)無法與A地景區(qū)一樣借助年增加量獲得游客人次的變化規(guī)律，由此考慮用年增長率來探索B地景區(qū)當(dāng)年的游客人次與上一年的游客人次的關(guān)系，即通過相除得到=a，=a，…，=a，獲得模型=ax-1.

設(shè)計(jì)意圖 通過數(shù)據(jù)與圖象分析，學(xué)生自主進(jìn)入建模狀態(tài)，并在大膽猜想與思考的基礎(chǔ)上，建構(gòu)適合情境的新模型. 在此過程中，學(xué)生主動(dòng)參與建模活動(dòng)，感知建模步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)、生活實(shí)際與建模之間的聯(lián)系，建立學(xué)習(xí)自信，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

（3）求解模型

學(xué)生通過獨(dú)立思考、自主計(jì)算與探索、合作交流，發(fā)現(xiàn)B地景區(qū)每年的游客人次增長率穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近. 根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)猜想B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律為=1.11x-1（x∈［1，+∞）. 至此，學(xué)生的思路變得明確.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生基于運(yùn)算、總結(jié)與探索，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與思維水平，為構(gòu)建數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ).

3. 深化理解，完善模型

要求學(xué)生解釋怎樣根據(jù)數(shù)據(jù)獲得相應(yīng)模型，并且探索所獲得的模型與現(xiàn)實(shí)生活是否相符.

在教師啟迪下，學(xué)生以小組合作交流的方式進(jìn)行思考與分析，獲得如下結(jié)論：從2006年起，B地景區(qū)每年的游客人次為2005年游客人次的1.11， 1.112，1.113，…，1.11x倍. 設(shè)經(jīng)過x年后B地景區(qū)的游客人次為2005年游客人次的y倍，則y=1.11x（x∈［0，+∞））. 根據(jù)模型y=1.11x（x∈［0，+∞））計(jì)算2019年B地景區(qū)的游客人次是278×1.1115-1≈1198（萬次），與2019年B地景區(qū)的實(shí)際游客人次1244（萬次）相比，誤差為3.7%. 實(shí)踐表明，模型數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)誤差較小，因此確定該模型具有可靠性，可用于解決實(shí)際問題.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)涉及建模過程中的“結(jié)果解釋”與“修改模型”兩個(gè)步驟. 基于結(jié)果解釋的維度思考，即使能自主建立模型，并不表示學(xué)生已經(jīng)完成了教學(xué)任務(wù)，親歷建模過程，能將模型的來龍去脈描述得清清楚楚才算是真正意義上理解了模型. 修改模型是指在實(shí)際應(yīng)用模型前，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ团c生活實(shí)際的匹配程度. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想探索模型，讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)的誤差，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的周密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性，培養(yǎng)邏輯思維能力.

4. 拓展應(yīng)用，發(fā)散思維

師：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半. 按照這種衰減規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

因?yàn)橛辛司皡^(qū)游客人次探索的基礎(chǔ)，所以大部分學(xué)生都能通過獨(dú)立思考構(gòu)建出模型y=

（x∈［0，+∞））.

師生共同總結(jié)兩函數(shù)的共性，發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=1.11x和y=

都可以表示為y=ax（a>0，a≠1），其中x是自變量. 學(xué)生親歷建模過程，不僅自主獲得了可以解決生活實(shí)際問題的模型，還自然而然地理解了指數(shù)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 拓展教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生自主體驗(yàn)一個(gè)完整的建模過程，此為深化與鞏固學(xué)生理解建模流程的過程，也是增進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系的過程. 學(xué)生在建模中體驗(yàn)、思考與感悟，獲得“四基”與“四能”的同時(shí)，發(fā)展良好的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

5. 應(yīng)用模型，凝練提升

問題1 如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，B地景區(qū)沒有門票，那么A，B兩地景區(qū)在2005年至2019年之間，由游客帶來的收入有多少？

問題2 某種生物死亡1萬年后，其體內(nèi)碳14的含量會(huì)衰減為原來的百分之幾？

設(shè)計(jì)意圖 知識(shí)到生活的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題. 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生感知建模過程，發(fā)展學(xué)生的建模素養(yǎng)，能讓學(xué)生應(yīng)用所構(gòu)建的模型解決實(shí)際問題. 引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型來分析上述兩個(gè)問題，一方面可進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解，另一方面可增強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

6. 回顧總結(jié)，發(fā)展學(xué)力

課堂尾聲，要求學(xué)生自主總結(jié)建模基本步驟，感受建模思想. 鼓勵(lì)學(xué)生自評(píng)、互評(píng)課堂中的表現(xiàn)，提升反思與總結(jié)能力.

設(shè)計(jì)意圖 回顧學(xué)習(xí)過程，促使學(xué)生自我反省，為構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)，也讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為內(nèi)在素養(yǎng)和能力.

教學(xué)思考

結(jié)合本節(jié)課教學(xué)來看，數(shù)學(xué)建模離不開生活實(shí)際的支撐，遵循“生活—知識(shí)—生活”的流程. 在教學(xué)實(shí)踐中，教師要充分了解學(xué)情，以學(xué)生認(rèn)知范圍內(nèi)的實(shí)際問題為教學(xué)起點(diǎn)，通過問題驅(qū)動(dòng)建模教學(xué)，并將提問的權(quán)利還給學(xué)生，從真正意義上激發(fā)學(xué)生的潛能，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

值得注意的是，從知識(shí)到生活的高中數(shù)學(xué)建模實(shí)踐在發(fā)現(xiàn)并提出問題、建立模型、求解模型與完善模型等環(huán)節(jié)，一定要基于深度學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，時(shí)刻遵循“以生為本”教學(xué)理念，避免流于形式，此為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要舉措.

總之，數(shù)學(xué)建模源于生活，服務(wù)于生活，其內(nèi)容和理念應(yīng)根植于生活之中［2］. 建立在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，不僅能體現(xiàn)生活的“數(shù)學(xué)味”，還能凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的“生活味”，揭露知識(shí)與生活的關(guān)聯(lián)性. 從知識(shí)到生活的建模實(shí)踐，需教師反復(fù)探索與打磨，設(shè)計(jì)出科學(xué)的情境問題，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的建模素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 周學(xué)君，龔雨欣，董清艷. 指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)框架及實(shí)施：以人教A版“指數(shù)函數(shù)的概念”為例［J］. 黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023（12）：80-85.

［2］ 周穎. 從知識(shí)到生活的高中數(shù)學(xué)建模實(shí)踐研究［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（18）：52-53+60.