滲透類比思想 發(fā)展核心素養(yǎng)

［摘 要］ 高中數(shù)學(xué)知識量大且深奧，想要在短時間內(nèi)掌握并應(yīng)用新知，最好的方法就是在原有認(rèn)知體系上，將類比源與靶對象有機(jī)地融合在一起進(jìn)行類比分析，提煉并建構(gòu)新知. 文章從類比程序出發(fā)，以“空間向量及其加減運算”教學(xué)為例，具體從三個階段探討如何將類比思想融入教學(xué)中，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 類比思想；教學(xué)；空間向量

亞里士多德曾提出：學(xué)習(xí)應(yīng)從相似的內(nèi)容出發(fā)，雖然它們之間相距甚遠(yuǎn). 這句話詮釋了類比的核心就是將相似對象的信息相互轉(zhuǎn)移. 類比思想是誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生靈感的主要源泉，如萊布尼茨就是受中國八卦圖的啟發(fā)，圓滿解決了創(chuàng)建二進(jìn)制數(shù)所遇到的障礙.

類比程序

想要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)類比思想，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的類比思維. 一般而言，類比程序主要有如下三個階段：①緊扣數(shù)學(xué)事物的特征，聯(lián)想與它相關(guān)的內(nèi)容；②借助類比猜想，證明結(jié)論；③嘗試用所得結(jié)論解決實際問題［1］.

教學(xué)分析

本節(jié)課比較特殊，既是學(xué)生初次應(yīng)用向量法解決立體幾何的一節(jié)課，又是應(yīng)用“歐幾里得公理化體系”之外的代數(shù)法實施運算的起始課，還是學(xué)生從幾何直觀想象轉(zhuǎn)化到抽象的邏輯推理的轉(zhuǎn)折課. 體驗類比思想在解決空間幾何問題中的便利，對提升學(xué)生的空間想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等能力具有重要意義. 因此，本節(jié)課具有示范價值，是將向量從“三維”推廣到“n維”的基礎(chǔ).

教學(xué)簡錄

1. 問題情境，揭露課題

師：現(xiàn)在回顧一下我們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識類別及其間的聯(lián)系方法.

這是開放性問題情境，涉及面很廣，學(xué)生回答豐富，如代數(shù)、幾何、數(shù)列、函數(shù)、方程、向量等. 經(jīng)討論，學(xué)生一致認(rèn)為是數(shù)學(xué)思想將這些看似無關(guān)的數(shù)學(xué)知識串聯(lián)起來，如常見的數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想等.

教師認(rèn)可學(xué)生的回答，并借助恩格斯提出的“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)”，指導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個方面理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系（見圖1），尤其強(qiáng)調(diào)本節(jié)課將應(yīng)用類比思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想等.

設(shè)計意圖 通過分析數(shù)學(xué)概念與圖示，引導(dǎo)學(xué)生理解幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，明確轉(zhuǎn)化可提高運算能力，為解決難度較大的問題服務(wù)，如二面角問題. 由此，學(xué)生會自然而然地想到“是否可用數(shù)量關(guān)系或空間向量來探索立體幾何問題呢？”顯然，此環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生的探索欲，揭示教學(xué)主題.

2. 活動探究，深化理解

活動1 探尋生活中的空間向量.

師：請大家想一想生活中與空間向量相關(guān)的實例，嘗試自主制作一個空間向量來討論.

生1：準(zhǔn)備幾根繩子與一串鑰匙，分別以水平、豎直與特殊角的方向來拉動鑰匙，鑰匙受力情況不同，可以此來探尋不同的空間向量.

師：這個想法不錯，簡便易行且容易理解. 現(xiàn)在請大家取出紙筆，畫出鑰匙在操作中的受力關(guān)系.

設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)與生活有著千絲萬縷的聯(lián)系，鼓勵學(xué)生基于生活制作空間向量，激發(fā)學(xué)生探究熱情的同時，加深他們對數(shù)學(xué)與實際生活聯(lián)系的認(rèn)知，為接下來的教學(xué)奠定基礎(chǔ).

活動2 類比平面感知空間.

巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫了多種鑰匙受力圖，要求學(xué)生分類這些受力圖，并思考分類方式.

生2：按照平面與空間可把這些圖分成兩大類.

師：這兩者之間存在什么樣的聯(lián)系呢？這是本節(jié)課著重討論的問題.

學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，自主設(shè)計表格（如表1所示），比較平面向量與空間向量在概念與表示方法上的異同.

設(shè)計意圖 此環(huán)節(jié)旨在培養(yǎng)學(xué)生類比思想，讓學(xué)生在自主分類的基礎(chǔ)上，自然而然地對比平面向量與空間向量，通過表格明確表達(dá)兩類向量的概念與表示方法，為進(jìn)一步探索空間向量奠定基礎(chǔ).

活動3 探索空間向量加減運算.

師：若a，b是兩個平面向量，結(jié)合我們所學(xué)的內(nèi)容，可怎樣計算它們的和與差？

生3：借助三角形與平行四邊形法則平移兩個向量，重合起點或首尾相接成三角形或平行四邊形，即可進(jìn)行運算.

師：為什么可以這么操作？

生4：因為平面向量能自由移動，其加減基于平移，但要保持大小和方向不變.

師：很好！類比平面向量的加減法，空間向量是否適合平移？空間向量能否像平面向量一樣，重合起點或首尾相接成三角形或平行四邊形？

生5：結(jié)合空間向量所在直線的位置關(guān)系來看，存在平行、相交與異面三種情況，其中異面直線可平移到同一個平面內(nèi)，因此空間向量可以像平面向量一樣平移，重合起點或首尾相接成三角形或平行四邊形.

教師認(rèn)可這位學(xué)生的說法，并著重強(qiáng)調(diào)任意兩個空間向量都可以轉(zhuǎn)化成兩個平面向量進(jìn)行分析，這是解決空間向量問題的重要方法.

師：若a，b均為空間向量，我們該怎樣定義它們的和與差？

學(xué)生認(rèn)為只要將a，b平移到同一個平面內(nèi)，即將空間向量問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題就能解決和與差的問題. 在此基礎(chǔ)上，教師展示圖2，與學(xué)生一起定義空間向量的和與差.

設(shè)計意圖 類比法為定義空間向量的和與差提供了基礎(chǔ). 這種設(shè)計有助于提高學(xué)生的自主探究能力和類比思維能力，幫助學(xué)生構(gòu)建新識，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.

活動4 空間向量加法是否滿足交換律與結(jié)合律.

師：結(jié)合我們的認(rèn)知經(jīng)驗可知，在空間向量加法中，交換律是必然的. 由于任意的三個空間向量不一定能平移到同一個平面內(nèi)，這與平面向量有明顯差異，因此空間向量加法是否滿足結(jié)合律呢？我們可用作圖法進(jìn)行探究并驗證.

如圖3所示，三角形或平行四邊形法則均表明空間向量加法滿足結(jié)合律，即（a+b）+c=a+（b+c）.

師：請簡述你們的收獲或結(jié)論.

生6：前面的探究活動告訴我們，首尾相接的向量的和等于由起始向量起點指向最后一個向量終點的向量，如果若干向量能圍成一個封閉圖形，那么它們的和就是0.

生7：三個起始點相同但不共面的向量的和，等于以這些向量為棱的平行六面體中，從公共起始點出發(fā)的對角線向量.

設(shè)計意圖 此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生用畫圖法探索交換律與結(jié)合律，既幫助學(xué)生掌握相應(yīng)知識，又培養(yǎng)類比思想，成功完成新知教學(xué)任務(wù).

3. 課堂小結(jié)，歸納提升

師：本節(jié)課推進(jìn)順利，得益于我們在教學(xué)中應(yīng)用了什么數(shù)學(xué)思想方法？

生（眾）：類比思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法等.

師：確實，類比思想方法使我們從平面向量推導(dǎo)出空間向量的概念、性質(zhì)與運算. 現(xiàn)在請大家回顧整節(jié)課的教學(xué)流程，說說你們的收獲與感悟.

設(shè)計意圖 課堂小結(jié)是梳理知識點、提煉數(shù)學(xué)思想方法的環(huán)節(jié)，在教師的點撥與引導(dǎo)下，學(xué)生整理知識結(jié)構(gòu)，并回顧本節(jié)課應(yīng)用的思想方法等，為后續(xù)研究更多問題夯實了方法基礎(chǔ).

幾點思考

1. 類比需關(guān)注師生在課堂中的地位

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂中的主體性地位. 既然要培養(yǎng)學(xué)生類比思想，首先就要將學(xué)生放在教學(xué)首位. 當(dāng)然，學(xué)生固然重要，但教師也不可忽視，教師具有無可替代的作用. 事實證明，并不是所有新知教學(xué)都具有類比性，類比源與靶對象之間具有一定的相似性是實施類比的前提. 教學(xué)時，教師首先要明確目標(biāo)，才能為學(xué)生指引方向.

縱觀本節(jié)課的教學(xué)，每一個環(huán)節(jié)都以教師點撥，學(xué)生主動探索、合作交流為主. 這種模式不僅體現(xiàn)了學(xué)生在課堂中的主體性地位，還彰顯教師的課堂調(diào)控能力與引導(dǎo)作用. 正因為師生積極互動，默契配合，才使課堂順利推進(jìn)，完成教學(xué)任務(wù)，達(dá)到預(yù)期目標(biāo). 因此，關(guān)注師生在課堂中的地位是培養(yǎng)學(xué)生類比思想的基礎(chǔ).

2. 類比思想需滲透在教學(xué)中

類比屬于一種“由此及彼”的遷移過程，是促使學(xué)生觸類旁通，獲得舉一反三能力的方法基礎(chǔ)，它對推進(jìn)學(xué)生個體發(fā)展具有重要意義［2］. 類比思想需浸潤在課堂的每一個環(huán)節(jié)中，但要切忌為了類比而類比，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)中進(jìn)行類比. 此為授學(xué)生以“漁”而非“魚”的過程. 課堂在教師引導(dǎo)、學(xué)生自主探索中動態(tài)生成，學(xué)生通過觀察、聯(lián)想、研究，獲得相應(yīng)結(jié)論.

本節(jié)課的“活動探究，深化理解”環(huán)節(jié)，教師以鼓勵學(xué)生自主探尋生活中的向量為起點，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)分類平面向量與空間向量. 兩者從同一事物中分離出來，學(xué)生自然會將它們聯(lián)系到一起進(jìn)行思考，平面向量與空間向量的類比自然就發(fā)生了.

至于可從哪些方面類比平面向量與空間向量，這就依賴于學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗. 在教師的點撥下，學(xué)生將已知內(nèi)容羅列到表格中，如平面向量和空間向量的概念和幾何表達(dá)方法等. 通過對知識點的一一梳理，類比思想就滲透到每個教學(xué)環(huán)節(jié)中.

3. 類比思想可促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展

康德認(rèn)為：當(dāng)我們的智力缺乏可靠的論證思路時，指引我們前進(jìn)的往往是類比. 確實，類比思想對學(xué)科的發(fā)展乃至社會的進(jìn)步都有重要作用. 數(shù)學(xué)教學(xué)旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，類比思想是實現(xiàn)此目標(biāo)的關(guān)鍵動力. 它能幫助學(xué)生更好地理解、建構(gòu)、內(nèi)化新知，讓學(xué)生在由此及彼中實現(xiàn)知識的遷移，獲得良好的思維能力，這些能力是推進(jìn)核心素養(yǎng)形成的基礎(chǔ)［3］.

本節(jié)課教學(xué)就是基于類比思想設(shè)計教學(xué)活動，落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程. 教師根據(jù)學(xué)情和教情，將課程劃分為三大模塊和多個探究活動. 學(xué)生在多樣化的教學(xué)活動中，通過列表、畫圖和類比等方式構(gòu)建新知. 這種設(shè)計不僅高效達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，還展現(xiàn)了類比思想的價值，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

總之，滲透類比思想是發(fā)展學(xué)生歸納意識與創(chuàng)新能力不可小覷的一種方式. 合理應(yīng)用好類比思想，不僅有助于教師實施教學(xué)，更利于學(xué)生接納與內(nèi)化新知，這是提升教學(xué)效率，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要舉措.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 林晴嵐，張潔，陳柳娟，等. “五育”與中學(xué)數(shù)學(xué)教育的融合［J］. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（20）：4-6.