范希爾理論指導下的“圓的標準方程”教學

［摘 要］ 研究者基于范希爾理論分析掌握圓需要經歷幾個層次，以此揭示認識事物的一般性規律，為教學活動的設計提供依據. 在數學教學中，教師要認真研究教材，關注知識間的前后聯系，通過由表及里、由淺入深的逐層探究幫助學生深刻地理解知識，培養數學學習能力.

［關鍵詞］ 范希爾理論；一般性規律；學習能力

圓的標準方程既是高中數學的教學重點，又是高考的重要考點. 在學習圓的標準方程前，學生已掌握了直線方程，并初步了解了如何用代數知識解決幾何問題. 通過本課學習，學生將深入理解代數在幾何問題中的應用，并為后續研究橢圓、雙曲線和拋物線方程打下基礎. 在教學圓的標準方程時，教師可采用范希爾理論，通過分層設計來提高學生的理解能力和數學素養.

范希爾理論概述

范希爾夫婦研究指出，教材和教學難度常超出學生幾何思維水平，造成學習困難，影響興趣和信心，降低學習效率，難以實現預期教學效果. 范希爾夫婦總結出幾何思維的5個水平和5個階段. 5個水平從0級到4級分別為直觀感受、分析、抽象或關聯、形式演繹、嚴密性，與之對應的5個階段分別為學前咨詢、引導定向、闡明、自由定向、整合. 范希爾理論符合學生的身心發展規律，具有次序性、進階性、語言性、適配性等特點，合理運用有利于提高教學效率和學習品質.

范希爾理論在教學中的應用

在傳統的圓的標準方程教學中，通常是以教師為主導，直接呈現圓的標準方程的推導過程. 學生雖然能獲得結果，但缺乏深入探究，導致理解困難，難以將圓的標準方程的探討方法應用到橢圓、雙曲線和拋物線方程的探究中. 基于此，本課以范希爾理論為基礎，分層次探討圓的概念，引導學生逐步深入理解，從形狀到數量，揭示認識事物的一般性規律. 以范希爾理論為指導，筆者認為掌握圓需要經歷以下5個層次.

1. 初步感知圓

該層次主要是讓學生從直觀感知出發，從直觀形狀上認識圓，能通過整體輪廓辨認圓. 在該層次教學中，教師要從生活實際出發，讓學生從生活中去感知圓，提高學生研究圓的興趣.

案例1 從生活中感知圓.

方案1：讓學生列舉生活中的圓.

方案2：出示硬幣、車輪等圖片，讓學生尋找圓.

方案3：播放一些簡單視頻，如摩天輪、風車等.

設計意圖 對于圓，學生都不陌生，它在生活中隨處可見，而且在小學和初中重點學習過，所以高中生清晰理解“圓”的概念，可以輕松列舉生活中的圓. 對于方案2和方案3，從靜、動兩方面讓學生直觀感知圓的大小、位置和狀態，為接下來畫圓做好準備.

2. 對圓概念的初步認識

該層次對應的是范希爾理論的分析水平.qq7xlDK3XpQEp/sES6RTng== 該層次旨在讓學生理解圓的基本要素和特征，學會畫圓，并能用自己的話描述它，為后續抽象圓的概念和推導圓的標準方程打基礎.

案例2 探究如何畫圓.

師：對于圓，大家都不陌生，誰來說一說如何畫圓？

在教學中，教師預留時間讓學生動手畫、動嘴說. 從教學反饋來看，大多學生都是用圓規畫圓. 教師啟發學生思考：如果沒有圓規，你想如何畫圓呢？問題提出后，學生積極思考并提出多種畫法，教師總結得到以下方案.

（1）用硬幣或瓶蓋等圓形物品畫圓；

（2）用兩支筆和圓規畫圓；

（3）借助有圓孔的尺子畫圓；

（4）利用畫圖軟件畫圓.

師：大家都非常棒，想到了這么多的解決方案，如果給你一根線，你能畫圓嗎？

教師指導學生分組合作完成任務，并隨機指定學生分享其繪制過程.

生1：用一根線可以畫圓：先將線的一端固定，再將線的另一端綁上筆，然后將線拉直繞一圈即可畫出圓.

設計意圖 教師鼓勵學生用多種方法畫圓，充分調動學生的多種感官，逐步建構圓的概念. 在教學中，教師有意識地引導學生用線畫圓，為后面抽象圓的概念做鋪墊.

3. 對圓概念的抽象認識

學生已經掌握了圓的構成要素，并能靈活應用各種工具畫圓. 接下來，此層次引導學生抽象關聯，建立形數聯系，運用數量關系判斷圖形是否為圓.

案例3 抽象圓的概念.

師：用線作圖，你能得到哪些圖形？

生2：圓、扇形.

生3：線段.

師：對線有要求嗎？能否有彈性呢？

教師預留時間讓學生利用有彈性的線畫圓.

生4：線不能有彈性，有彈性會變形，這樣畫出來的圖形就不是圓了.

師：很好，結合以上操作說一說，畫圓的過程中哪些量是固定的.

生5：圓心的位置和半徑的長度.

師：結合上面結論說一說，圓是什么樣的點的軌跡呢？

教師預留時間讓學生歸納總結，并在關鍵處進行指導，以此加深學生對“平面內”“定點”“定長”等關鍵詞的理解，使學生能夠用準確的數學語言描述圓的定義.

設計意圖 教師讓學生通過動手做，直觀感知圓心和半徑是固定的，以此為圓的概念的抽象打下堅實基礎. 在教學中，教師預留時間讓學生去歸納總結，并適時地進行指導，以此深化學生的理解.

4. 對圓概念的全面把握

經過前面的逐層探究，學生對圓的概念已經形成了深刻認識. 該層次旨在讓學生通過演繹推理來證明猜想，從而得到圓的標準方程.

案例4 推理圓的標準方程.

問題1：嘗試用集合語言描述圓.

師生活動：設M為圓上任意一點，點C為圓心，r為半徑，于是得到圓上的點的集合為｛M

MC

=r｝.

問題2：結合已有經驗說一說，研究解析幾何的基本思想方法是什么？

學生通過回顧、思考，結合研究直線方程的經驗指出，研究解析幾何的基本思想方法為數形結合.

問題3：如何建立圓的標準方程？

在逐層問題的引導下，學生歸納總結研究圓的標準方程的基本步驟，即“建系→設點→找等量關系→代入坐標→化簡”. 設圓心C的坐標為（a，b），圓上任意一點M的坐標為（x，y），則=r，兩邊平方，得（x-a）2+（y-b）2=r2. 這樣通過層層鋪墊，運用數形結合思想方法順利得到圓的標準方程.

問題4：若圓心正好為坐標軸的原點（0，0），此時半徑為r的圓的標準方程是什么？若r=0，此時得到的是什么圖形？

學生獨立思考發現，若圓心為原點（0，0），則圓的標準方程為x2+y2=r2；若半徑r=0，則圖形為一點.

問題5：圓心決定什么？半徑決定什么？

學生結合已有經驗很容易得到：圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小.

設計意圖 從圓的集合定義入手，運用數形結合思想方法引導學生推導圓的標準方程. 在整個過程中，教師基于學生最近發展區創設問題，讓學生在問題的引導下思考研究圓的標準方程的基本步驟，從而為后續研究橢圓、雙曲線等提供思路.

5. 對圓概念的形式化認識

該層次旨在讓學生利用圓的標準方程解決一些簡單問題，以此深化對圓的標準方程的理解，并進一步體會數形結合思想、方程思想等在解決問題中的重要性，提升數學素養.

案例5 圓的標準方程的應用.

問題1：根據圓的標準方程，求圓心坐標及半徑.

（1）（x-2）2+（y+4）2=4；

（2）（x+1）2+y2=r2；

（3）x2+（y-3）2=8.

問題2：根據下列條件，求圓的標準方程.

（1）圓心的坐標為（1，-3），半徑為2；

（2）設點A（2，3），B（4，1），以線段AB為直徑.

問題3：現有一輛寬2.7米、高3米的貨車想從半徑為4米的半圓形橋洞通過，它能否正常通行？

設計意圖 借助典型練習進一步加深學生對圓的標準方程的理解，提高學生解決實際問題的能力.

理解知識需要過程，教師應設計全面的教學計劃，關注知識間的內在聯系，引導學生從特殊到一般、從具體到抽象，深入理解知識，從而提高學生的數學能力和數學素養.

總之，教師應深入研究教材和學生，明確知識結構，根據學生的實際情況設計教學活動，促進每位學生成長，提高教學效果.