新課標背景下數學實驗的特征與應用方法的探索

［摘 要］ 數學實驗特征顯著，強調學生主體，具備探究性和合作性，同時注重思維的過程性和開放性. 研究者以“橢圓的定義與方程”教學為例，分別從“折紙操作，初現端倪”“實驗觀察，探索定義”“實驗提煉，完善定義”“性質研究，建立方程”“知識應用，鞏固提升”等方面展開教學設計，并談幾點思考.

［關鍵詞］ 數學實驗；橢圓；教學

數學是一門注重演繹與實驗的學科. 然而，在很長一段時間內，受升學模式、傳統教學理念等的影響，許多教師過分專注于數學演繹過程的邏輯性，卻忽視了數學實驗的應用. 長期以往，學生會誤以為數學學習僅需邏輯推理，而忽略數學實驗的重要性. 實際上，數學實驗是觸及知識本質，激發學生學習興趣，培養學生創新意識，發展學生數學學科核心素養的基礎.

數學實驗的特征

數學實驗是在“教師主導，學生主體”理論指導下，以實驗方式對數學理論進行驗證或問題解決的過程. 數學實驗具有獨特性，與其他自然科學實驗不同.

1. 突出學生的主體性地位

新課標強調學生才是課堂真正的主人，數學實驗秉承此理念，要求學生具備較高的動手動腦能力，凸顯“做中學”的優勢. 在數學實驗過程中，學生需主動參與操作、討論問題、分析錯因，這些活動賦予學生研究者身份，促使他們積極投入問題的研究與探索中.

教師作為課堂的組織者，放權給學生，鼓勵學生邊操作邊思考，在動手操作中探尋數學規律，發現解決問題的具體辦法. 由此可見，數學實驗過程是以學生為主體的過程，且為學生提供了廣袤的思維空間，為激發潛能、發展核心素養服務.

2. 具有探究性與合作性

一般情況下，數學實驗常以問題為引導，將數學知識或結論置于實際情境中，賦予其生動意義，激發學生主動探索. 實驗幫助學生發現、提出、分析與解決問題，歸納數學規律，總結實驗結論，完善知識結構. 數學實驗常以小組合作形式進行，學生共同制定方案、選擇手段，觀察并總結結論. 由此可見，數學實驗具有合作性和探究性，是提升學生“四基”與“四能”的有效途徑.

3. 注重思維的過程性

新課標重視數學知識的形成與發展過程，鼓勵學生主動探索、發現與思考，以滿足核心素養背景下的教學需求，從而真正促進學力發展. 開展數學實驗活動，并非旨在讓學生掌握課本上的結論，而是旨在引導學生通過實驗感知知識的形成與發展，深刻理解知識本質，探索新知建構過程，體驗數學的創新精神和邏輯思維的成長.

4. 具有開放性

數學實驗方法、環境與素材的選取，充分體現了數學實驗的開放性特征. 從實驗方法的角度來看，學生在已有的認知結構基礎上，可綜合運用多種手段來解決相應問題. 實驗環境可選課內的，也可選課外的，如多媒體教室、家庭電腦等；實驗素材的選取可跨領域. 開放性特征能拓寬學生的思維空間，使學生在實驗中收獲更多.

教學案例

本文以“橢圓的定義與方程”教學為例，探索新課標背景下數學實驗的特征與應用方法.

1. 折紙操作，初現端倪

實驗 取出課前準備好的圓形卡紙，在圓內非圓心的位置任意取點F，折疊卡紙讓圓周過點F（見圖1），隨后展開卡紙，獲得折痕l，并用鉛筆將其勾勒出來. 反復多次折疊，勾勒折痕，觀察折痕所圍成的輪廓曲線.

學生自主操作，很快有學生激動地表示，獲得了橢圓形狀.

師：能夠確定是橢圓嗎？

生1：好像是，如果能折疊更多次，可能會更清楚一些.

師：很好！為了節約課堂操作時間，這個“更多次”我們有什么辦法可以實現？

生2：可借助先進的信息技術實現.

設計意圖 興趣是學習最佳動力. 折紙活動旨在激發學生的探索欲和好奇心，促使他們自主進行探究學習. 為了驗證學生的猜想是否正確，提出利用先進信息技術的方法. 數學實驗的探究性、合作性、開放性和過程性在這一簡短過程中得到了充分展現.

2. 實驗觀察，探索定義

借助幾何畫板展示折紙活動模擬實驗，即展示折紙次數n與圓上點P的運動變化情況，共同追蹤折痕l. 如圖2、圖3、圖4所示（n的值分別為10，20，100），圖象令學生驚喜.

師：觀察發現，多條折痕可構成什么圖形？

生（眾）：橢圓.

教師繼續操作幾何畫板，使點P運動起來，呈現圖5所示的形態.

師：現在請大家一起觀察圖5，說說橢圓上的點是什么點？

學生自主觀察并分析，一位學生提出橢圓上的點是折痕與橢圓的切點. 教師要求學生仔細觀察并確認.

生3：確實是切點，也是線段OP與折痕l的交點.

師：觀察得很仔細. 若交點為Q，它需滿足什么幾何條件呢？

生4：OQ+FQ=OQ+PQ=R.

師：不錯，通過以上探索，可以總結出橢圓的定義嗎？

生5：平面內，到兩個定點距離的和恒為一個定值的點的軌跡為橢圓.

設計意圖 本節課前，學生對橢圓的認識基于生活經驗，對折痕所圍成的橢圓是一種直覺上的判斷. 幾何畫板的應用，幫助學生從感性認識過渡到理性認識橢圓，揭示橢圓的本質，并初步形成橢圓的定義.

3. 實驗提煉，完善定義

取出一根無伸縮的細繩，將繩子的兩端固定在黑板上的兩個點上，拉緊繩子并移動粉筆，要求學生觀察粉筆移動后畫出來的曲線形狀.

學生自主操作，有如下幾種情況：①黑板上兩點的距離比細繩的長度長，因為繩子長度不夠，無法操作；②兩點距離等于繩子長度，繩子無法移動；③兩點距離比繩子長度短，畫出橢圓.

師：通過這個實驗，請大家再次說說對橢圓定義的理解.

生6：在一個平面內，與兩個定點的距離之和等于常數（常數大于兩定點間的距離）的點的軌跡為橢圓.

（教師板書，并提出焦點與焦距的定義. ）

設計意圖 弗賴登塔爾認為“再創造”是數學學習最好的方法. 引導學生將所學內容“再創造”出來，可幫助學生更好地認識知識本質. 作為教師，其任務就是引導學生“再創造”，而非將既有結論機械地灌輸給學生. 此環節，教師沒有直接向學生展示“常數大于兩定點間的距離”這一重要條件，而是結合學情與知識特點，引導學生親歷探索過程. 學生探究三種情況后，不僅發現之前總結的橢圓的定義存在不足，還進一步感知到橢圓規律形成與發展的過程，深化了對橢圓定義的理解.

4. 性質研究，建立方程

師：通過對橢圓形成過程的探索，大家有沒有發現橢圓具備哪些幾何性質？

生7：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

師：哦？它的對稱軸與對稱中心分別是什么？

生8：如圖6所示，如果點F，F為橢圓的兩個焦點，那么該橢圓的對稱軸是線段FF的垂直平分線，線段FF的中點為對稱中心.

師：非常好！除此之外，該橢圓還具備什么性質呢？

生9：或許可以從方程的角度去分析.

師：這個想法不錯，究竟該怎樣建立橢圓的方程呢？

生10：建立平面直角坐標系，設置點的坐標，探尋它們的等量關系（用坐標表示），化簡后就可得橢圓的方程.

師：如何建立平面直角坐標系呢？

學生自主思考、畫圖，小組合作探索，在教師協作下，獲得焦點分別位于x軸和y軸的橢圓的標準方程.

設計意圖 在教師的引導下，學生自主獲得了橢圓的性質與標準方程，此為本節課的教學重點與難點. 學生自主畫圖并探索橢圓的標準方程，進一步發展了數學邏輯思維與空間想象力.

5. 知識應用，鞏固提升

例題 已知B，C為平面內的兩個定點，BC=6，若A為一個動點，△ABC的周長為16，那么點A的軌跡方程是什么？

設計意圖 本題意在深化學生對橢圓的定義與標準方程的理解，增強學生對橢圓的標準方程的應用意識. 在教學過程中，當學生遇到難題時，教師用幾何畫板幫助學生通過圖形變化找到解題思路.

5. 總結反思，提煉升華

略.

幾點思考

1. 數學實驗豐富教學模式

高中生主要進行操作性數學實驗，通過工具、材料，并利用現代技術手段來檢驗或揭示數學知識的本質. 如本節課折紙、拉繩畫橢圓，以及幾何畫板的應用等，都從不同角度揭露了橢圓的定義與方程形成過程，有效豐富了課堂教學的手段. 回望傳統教學模式，大多以“一問一答”“上臺講解”“分組討論”等形式揭示知識本質，而數學實驗的介入，是對傳統教學模式的有效補充.

尤其是信息技術的應用，讓數學實驗的開展更加便捷，學生從可視化實驗中更好地理解并應用數學，這對提升學生的學習興趣與應用能力具有直接影響. 因此，數學實驗不僅豐富了課堂教學模式，還給課堂帶來了生機與活力.

2. 數學實驗凸顯學生地位

學生為課堂主體，教育界普遍認同. 究竟該如何將這個理念落到實處呢？數學實驗過程是學生主動參與的探索過程，可充分發揮學生在探索中的主動性. 如本節課的折紙活動、幾何畫板演示和繩畫橢圓等實驗，學生都積極參與其中，并通過自主操作獲得了良好的學習體驗與感悟.

學生自主參與實驗活動可直觀了解知識本質，但過程中常遇挫折與困難，此為鍛煉學生耐挫能力的契機，對培養學生的團隊協作能力具有重要意義. 因此，實驗活動不僅幫助學生掌握教學內容，還培養學生挫折應對能力，提升學生探索精神及核心素養.

3. 數學實驗對教師提出更高要求

與物理或化學學科的實驗相比，新課標背景下的數學實驗更關注思維的交流過程. 隨著時代的進步，傳統的教師手工制作簡易教具供學生實驗操作的做法已不再適應當前需求. 現今，數學實驗常需信息技術支持，這對教師的專業技能提出了更高要求. 教師需精通幾何畫板等軟件，并具備將抽象數學知識具象化的能力.

總之，新時代的教師應具備專業知識，掌握備課和備學生的能力，并熟悉數學實驗和信息技術的應用. 這是提升實驗質量、發展學生思維與核心素養的關鍵.