以問啟思 揭露本質 發展學力

［摘 要］ 隨著新課改的推進，當前的數學教學不再只強調知識與智力的發展，更關注對知識本質的揭露與核心素養的培育. 究竟該如何在有限的課堂時間內，用問題啟發學生思考，揭露知識本質，從真正意義上促使學力發展呢？研究者以“圓錐曲線的離心率”專題復習教學為例，分別從“問題啟發，構建解題模型”“問題拓展，發展探究能力”“總結提煉，暴露知識本質”三方面展開教學與思考，以期拋磚引玉.

［關鍵詞］ 問題；思維；本質；學力

核心素養背景下的數學復習教學，需將揭露知識本質作為教學主要任務. 問題作為數學的心臟，具有啟思、揭露知識本質等重要價值與作用. 如何將“以問啟思”應用在高三專題復習教學中呢？這是一個較難把握的問題. 專題復習是一種立足學情、教情與考情，具有高度針對性的課型，解決真問題與實問題是基本目標，發展核心素養是關鍵目標. 本文以“圓錐曲線的離心率”專題復習教學為例，對問題揭露知識本質展開探索與研究.

教學簡錄

1. 問題啟發，構建解題模型

眾所周知，問題是思維的起點，是一切事物形成的根源. 復習課堂中的問題質量至關重要，特別是在解題模型構建背景下，每一個問題都需要精心設計. 為了啟發學生思考，進入深度學習狀態，在課堂起始環節，教師結合學情提供以下兩個問題供學生自主解決.

問題1 若雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F，F，點O為坐標原點. 過點F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，P為垂足. 當PF=PO時，雙曲線C的離心率是（ ）

A. B. 2

C. D.

生1：如圖1所示，根據題設條件和雙曲線的性質可知，PF=b，OF=c，PO=a，PF=a. 在Rt△OFP內，cos∠PFO==；在△FFP內，由余弦定理得cos∠PFO==. 所以，c2=3a2，e=. 故本題選A.

師：非常好！根據題設條件和雙曲線的性質列出a，c之間的關系式，而后將它轉化成關于a，c的齊次式，成功獲得離心率e.

追問：當我們順利求解這個問題后，有沒有初步形成一定的想法或感悟？

生2：遇到“求圓錐曲線的離心率”這一類問題時，先結合題設條件初步列出與a，c相關的方程，再將其轉化成關于a，c的齊次式實施解題.

師：表達得很清晰，基于生2的分析，關于圓錐曲線離心率的解題思路基本形成，值得注意的是，在實際應用時還要關注運算的規范與正確性. 接下來，我們共同來看下面這個問題，探尋其帶給我們的啟示.

問題2 若F，F為橢圓和雙曲線的公共焦點，e，e分別為橢圓與雙曲線的離心率，點P是它們的公共點，并滿足·=0，則+的值是（ ）

A. B. C. 3 D. 2

生3：根據橢圓與雙曲線的定義先分別獲得PF與PF，然后借助各個條件列出與a，c相關的齊次式解題. 假設2c為橢圓與雙曲線的焦距，2a與2a分別為橢圓與雙曲線的長軸長，列方程組

PF

+PF

=2a，

PF

-PF

=2a，得

PF

=a

+a，

PF

=a

-a.

因為·=0，所以PF⊥PF，PF+PF=（2c）2，即（a+a）2+（a-a）2=4c2，整理得a+a=2c2，所以+=2. 故本題選D.

設計意圖 基于兩個常規問題的啟發，學生自主回顧了“求圓錐曲線的離心率”的基本方法：先結合題設條件列出與a，c有關的方程，再將其轉化成關于a，c的齊次式，最后獲得e值. 基本方法的探索，為接下來的深入研究夯實基礎，同時還發展學生的數學抽象素養.

2. 問題拓展，發展探究能力

每一個學生的潛能都是無窮的，同時每一個學生都希望自己是一個探索者、研究者. 在課堂中，教師借助一些拓展性問題進行復習教學，不僅能進一步夯實學生的知識與技能基礎，還能有效發展學生的思維，讓學生投身于問題的探索中來. 當學生順利解決完上述兩個問題并歸納出基本方法后，教師又設計了以下三個延伸問題供學生思考和探索，促使學力發展.

問題3 點F（-c，0）與F（c，0）分別是橢圓G：+=1（a>b>0）的兩焦點，點M在橢圓上，且滿足·=0，則橢圓G的離心率e的取值范圍為______.

生4：設點M（x，y），根據·=0得x2+y2=c2①. 將式子y2=b2-x2代進①式，可得x2=a2-. 因為0≤x2<a2，解得≤e<1.

師：優秀！這位同學通過構造不等式，快速解決了問題. 雖然本題有一定難度，但細致分析即可找到解法.

師：究竟是如何構造出不等式0≤x2<a2的呢？

生4：由橢圓+=1（a>b>0）中的x<a構造而來.

師：很好！這種構造不等式的方法常用于求解圓錐曲線的參數取值范圍，因此務必引起高度重視.

問題4 已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）

A. （1，2） B. （2，+∞）

C. ［2，+∞） D. （1，2］

生5：滿足題設條件的直線的斜率應小于等于，即≤，也就是b≥a，c2-a2≥3a2，所以c2≥4a2，e≥2. 故本題選C.

師：非常好. 解決此類問題一般有兩種思路：一是借助判別式構造不等式；二是通過數形結合思想構造不等式. 這些思路的探索對發展我們的數學抽象、直觀想象、數學運算等素養具有重要價值.

問題5 如果F，F為橢圓+=1（a>b>0）的兩個焦點，有一點P位于該橢圓上，能讓∠FPF=60°，那么該橢圓的離心率的取值范圍是什么？

生6：如圖2所示，對于△PFF，由余弦定理得cos∠FPF=≥=，當且僅當PF=PF時取等號. 由此可判定當點P位于橢圓短軸的頂點B或B時，∠FPF的度數是最大的.

師：接著我們怎樣獲得離心率的取值范圍呢？

生7：因為∠FPF=60°，所以≥. 又<1，所以≤e<1.

生8：基于角度大小來分析，當點P位于橢圓短軸的頂點B或B時，∠FPF的度數最大，則0<∠FPF≤∠FBF. 如果FBF<60°，那么就不存在點P能讓∠FPF=60°. 因此，∠FBF≥60°，則≥，所以≤e<1.

師：你們太棒了！從不同維度來分析與思考問題，獲得了不同的解題方法. 結合上述探究過程，請大家思考一下，可從哪幾個角度去求解圓錐曲線離心率的取值范圍？

生9：一般可從圓錐曲線的幾何性質、數學思想、判別式、基本不等式等角度去思考與分析.

師：不錯！通過本節課的復習，大家有什么感受？說說你們從中獲得的體會.

生10：只要緊扣問題本質，用合適的方法來構造不等式，就能順利解決問題，因此這一類問題并沒有想象中那么難.

設計意圖 求圓錐曲線離心率的取值范圍是本節課復習的重點與難點，教師以幾個典型問題幫助學生提煉基本解題思路，積累解題經驗. 隨著探索活動的開展，學力不斷提升.

3. 總結提煉，暴露知識內涵

師：本節課我們一起探索與研究了圓錐曲線離心率的取值范圍問題，現在請大家梳理與總結本節課的復習內容和解題方法.

設計意圖 專題復習教學不可能將每一道題都拿出來跟學生一起探索，因為時間是有限的，而題目是無限的，尤其在以核心素養為導向的高考背景下，數學試題的靈活度越來越高. 學生想要從真正意義上掌握解題技巧，發展學力，最好的辦法就是通過剖析經典例題，揭露問題本質，提煉數學思想方法，達到融會貫通的目的.

幾點思考

1. 精心預設是課堂有效生成的基礎

專題復習教學與新課教學不同，學生在復習前已學過相關知識，但掌握情況需考察. 受教學環境、個體差異等因素的影響，各個班級的情況不一樣. 作為教育信息化背景下的教師，可借助大數據來分析學情，根據實際情況制定教學目標、設計教學問題. 一旦教學定位準確，離課堂生成則更進一步. 本教學案例的前兩個環節，以問題啟發的形式引導學生探索求圓錐曲線離心率的取值范圍的主要思路，從而有效提升學生的思維能力.

2. “以生為本”是踐行新課標的核心

新課標強調學生在課堂中的主體地位，以問題啟發思維，并將“以生為本”理念貫穿教學各個環節. 本教學案例，雖然由教師設計問題，但對問題的探索都以學生為主. 學生在獨立思考、合作交流中充分暴露思維過程，并隨著思維的逐步深入揭露數學本質，由此構建完整的知識體系，發展數學核心素養.

3. 問題啟發是落實核心素養的關鍵

數學是思維的體操，問題是數學的心臟，問題對促進學生思維發展具有重要價值與意義，而思維發展又是落實核心素養的關鍵路徑. 因此，教師在課前應客觀評價與判斷學情與教情，根據實際情況設計問題，以更好地激活學生的思維.

總之，數學核心素養的發展是一個漫長的過程，教師要引導學生在課堂中不斷思考與探索，才能掌握各個核心素養的特征與要求，從整體上把握好學習方向，全方位掌握數學本質，提升學力.