數(shù)學史融入高中數(shù)學單元教學的實踐

［摘 要］ 數(shù)學史是數(shù)學與歷史的結合. 高中日常教學應根據(jù)教學內(nèi)容，整體規(guī)劃設計，選擇與當前單元內(nèi)容相關的數(shù)學史知識，將數(shù)學史融入高中數(shù)學單元課，由課內(nèi)延伸到課外，從零散走向整合，學知識育素養(yǎng)，幫助學生更好地理解數(shù)學的發(fā)展歷程和應用背景，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習興趣，調(diào)動學生學習積極性，發(fā)掘數(shù)學史對數(shù)學學科的教育價值.

［關鍵詞］ 數(shù)學史；高中數(shù)學；單元教學；課堂實踐

引言

某位哲學家曾言：因為歷史上人類知識和個體知識發(fā)生統(tǒng)一，所以教育不得偏離歷史. 數(shù)學史主要研究數(shù)學規(guī)律和科學發(fā)展，要求學生探索數(shù)學歷史，理解知識形成過程，感受數(shù)學內(nèi)容和方法的演變，認識到數(shù)學家的貢獻，體會研究的價值，并學習創(chuàng)新精神. 在歷史長河中，人類始終堅持探索數(shù)學認知規(guī)律. 學生在單元知識的學習過程中發(fā)現(xiàn)、推理、認識、理解、探究、應用、反思，可在前人的引導下繼續(xù)研究、體會收獲. 承古強今，向新而行. 高中數(shù)學課堂實踐中，要以學生為主體，實施主動建構. 將數(shù)學史融入單元課堂，有助于構建結構化的教學內(nèi)容，實現(xiàn)知識點的縱橫聯(lián)系. 通過深入研究數(shù)學史中的邏輯，科學地探索單元教學的實踐方法，從而促進對數(shù)學更深層次的理解和領悟.

數(shù)學史融入高中數(shù)學課堂的意義

1. 體現(xiàn)知識和諧

數(shù)學知識螺旋上升而又不斷發(fā)展，借鑒歷史上的數(shù)學教學，幫助學生理解知識，建立知識間的整體聯(lián)系，搭建知識網(wǎng)絡框圖.

2. 獲取探究樂趣

設計與數(shù)學史相關的實驗或探究活動，交流困惑之處，改善對數(shù)學學習的焦慮. 研究新問題，深入理解數(shù)學原理，積累活動經(jīng)驗，獲得成功體驗.

3. 感受方法精妙

通過學習接觸應用相關科學研究方法，體會數(shù)學思想，比較古今方法之異同，重組整合，提升經(jīng)驗，拓寬認知，促進思維再生成.

4. 體驗能力晉升

培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)，提高理解、合作、創(chuàng)新、表達和思維能力，培育遠見卓識.

5. 展示文化融合

數(shù)學與多個學科領域交叉，與現(xiàn)實生活緊密相關. 在教學過程中注入數(shù)學活動的文化含義，拓寬學生的視野，為學生跨學科學習提供資源與機遇.

6. 彰顯德育效應

從數(shù)學史的相關材料中學習榜樣的力量，思考數(shù)學研究中的道德責任和科學精神，擁有積極進取、探索真知的勇氣和毅力，擁有良好的操守和品行，形成正確的三觀和價值取向，展現(xiàn)更高遠的目標.

數(shù)學史融入高中數(shù)學課堂的方法

在高中數(shù)學課堂中，有多種將數(shù)學史穿插到數(shù)學教學活動的方法，如：選用數(shù)學史作為背景引入新概念；介紹數(shù)學家的歷史故事；對歷史古跡進行探訪；介紹歷史上的數(shù)學悖論；探索數(shù)學家的生平和貢獻；基于歷史設計教學大綱；重構歷史創(chuàng)設情境；分析歷史上的數(shù)學問題和解決方法；介紹歷史上的數(shù)學實驗；利用數(shù)學史設計課堂例題與習題；利用數(shù)學史建構知識體系；介紹史料中的數(shù)學思想方法；設計與數(shù)學史相關的小組活動；研究與數(shù)學史相關的項目；學習研究數(shù)學文獻……選擇這些方法，將數(shù)學與歷史結合起來，激發(fā)思想共鳴，促進數(shù)學活動的深入發(fā)展，使數(shù)學課堂不僅傳授知識，還能培養(yǎng)素養(yǎng)，啟迪智慧，潤澤心靈.

數(shù)學史融入高中數(shù)學單元教學的實踐案例

1. 引入數(shù)學家的背景和故事

案例1 人教A版（2019）普通高中數(shù)學教科書必修第二冊第七章“復數(shù)”的教學.

單元起始課是單元教學的開端，它概括了整個單元的核心思想，明確了知識結構、邏輯關系和學習路徑，對單元教學的實施至關重要. 在單元起始課中介紹數(shù)學家的歷史故事，可促進數(shù)學概念的引入. “7.1.1 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念”是本章第一節(jié)課.

在課堂引入環(huán)節(jié)，設置情境如下：

情境1 數(shù)學家卡丹在其著作《重要的藝術》中發(fā)問：把10分成兩部分，使其相乘等于40.這需要解方程x（10-x）=40. 他求得的根是5+i和5-i，然后說“不管會受到多大的良心責備，仍然會把5+i和5-i相乘得到25-（-15）=40”.

情境2 卡丹發(fā)表三次方程x3+px+q=0的一個根的表達式為x=+. 求方程x3=15x+4的根，用一元三次方程的求根公式可得x=-2±或x=+；用因式分解法可得x=4或x=-2±. 思考結果為何不同. 用GeoGebra軟件畫出函數(shù)y=x3-15x-4的圖象，發(fā)現(xiàn)其與x軸有三個交點，從而確定根的個數(shù).

設計說明 課堂開始時，通過講述數(shù)學家的故事來激發(fā)學生的興趣，幫助他們迅速融入課堂氛圍，并通過古今對比，體驗數(shù)學家的思維歷程.

在辨析、理解、深化概念的環(huán)節(jié)中，介紹復數(shù)的發(fā)展史：

古希臘數(shù)學家丟番圖求解一元二次方程；

628年左右，印度數(shù)學家婆羅摩笈多指出負數(shù)沒有平方根；

1545年，意大利數(shù)學家卡丹求解一元三次方程；

1637年，法國數(shù)學家笛卡爾在《幾何學》中把負數(shù)的平方根稱作虛數(shù)；

1777年，歐拉在《微分公式》一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)用符號i作為虛數(shù)的單位.

1797年，韋塞爾提出復數(shù)的幾何表示；

1831年，高斯對復數(shù)的幾何意義進行描述，將復數(shù)解釋為復平面上的一個點，并提及復數(shù)的幾何加法與乘法法則.

1837年，哈密頓定義復數(shù)的四則運算.

設計說明 講解復數(shù)的歷史，使學生體會數(shù)學家的探索精神，激發(fā)學生的學習熱情，提高教學效果.

在作業(yè)布置、分層鞏固環(huán)節(jié)，設置閱讀作業(yè)如下：

閱讀書籍《虛數(shù)的故事》；

回顧卡丹求解一元三次方程的歷史，體驗復數(shù)領域內(nèi)一元三次方程根的對稱美；

查閱網(wǎng)站獲取復數(shù)資料，尋找復數(shù)應用信息（選做）.

設計說明 復數(shù)作為數(shù)學工具廣泛應用于多個領域，幫助學生理解數(shù)學與日常生活的聯(lián)系，強調(diào)數(shù)學知識的價值，并激發(fā)學習興趣.

2. 介紹歷史上的數(shù)學悖論

案例2 人教A版（2019）普通高中數(shù)學教科書必修第一冊“4.5 函數(shù)的應用”的教學.

介紹函數(shù)的零點，以及二分法：對于在區(qū)間［a，b］上圖象連續(xù)不斷且f（a）f（b）<0的函數(shù)y=f（x），通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法. 接下來應用函數(shù)性質研究方程的解，也為后續(xù)學習導數(shù)隱零點問題提供依據(jù).

閱讀與思考：中外歷史上的方程求解. 二分法是一種常見的利用計算技術的數(shù)值解法. 二分法悖論是古希臘哲學家芝諾于公元前5世紀中葉去雅典的一次訪問中提出的四個著名悖論之一：以A點為起點出發(fā)前往B點，先走完總路程的二分之一，接著走完總路程的四分之一、八分之一、十六分之一……以至無窮劃分下去，無法抵達B點. 《莊子·天下篇》中寫道：一尺之錘，日取其半，萬世不竭.

設計說明 數(shù)學歷史名題具有重要的研究價值和豐富的內(nèi)涵. 通過閱讀了解古今中外各式各樣方程的解法，探尋二分法的由來，感受二分法蘊含的取中思想、逼近思想、算法思想、極限思想，感知近似和精確的統(tǒng)一，并從不同角度理解問題，領悟真理的形態(tài)不唯一.

3. 借鑒數(shù)學史設計例題與習題

在高三數(shù)學一輪單元復習課中，以歷史問題為基礎，變換提問方式，引導學生深入思考，從而鞏固和深化知識應用.

案例3 人教A版（2019）普通高中數(shù)學教科書必修第二冊“8.6 空間直線、平面的垂直”的教學.

《九章算術·商功》中記載：斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也. 合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣.劉徽注：此術臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云. 中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實據(jù)半，故云六而一即得.

例：《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑. 如圖2所示，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥平面ABCD，PD=DC=1，BC=，E為棱PC的中點，過E作EF⊥PB交PB于F，連接DE，DF，BD，BE.

（1）證明：PB⊥平面DEF；

（2）若平面PAD∩平面PBC=l，證明：AD∥l；

（3）判斷四面體DBEF是否為鱉臑；

（4）求直線DF與直線BC所成角的余弦值；

（5）求直線DF與平面ABCD所成角的余弦值；

（6）求平面DEF與平面ABCD所成的二面角的大小；

（7）求陽馬P-ABCD的外接球的體積；

（8）求陽馬P-ABCD的內(nèi)切球的半徑.

思考：請以小組為單位，自主編題并解答.

設計說明 從歷史原題中提取模型，為單元復習提供問題背景，設計、解決、衍生、改進問題，復習大單元專題系列知識點，整合知識，應用方法.

案例4 人教A版（2019）普通高中數(shù)學教科書必修第二冊“6.4.3 余弦定理、正弦定理”的教學.

例：我國南宋時期數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了求三角形面積的“三斜求積”公式S=，其中a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊. 該公式和古希臘數(shù)學家海倫所列的三角形面積公式頗為統(tǒng)一：S=

p=（a+b+c）

.

（1）已知b=2，tanA=，求△ABC面積的最大值；

（2）用正弦定理和余弦定理證明“三斜求積”公式或海倫公式.

設計說明 對于第（1）問，先把tanA=轉化為=，再轉化為sinA-sinAcosB=cosAsinB，變形為sinA=sin（A+B）=sinC，得c=a. 考查兩角和的正弦公式和正弦定理. 又S===（可從二次函數(shù)的角度求出其最值），得到：當a=2時，△ABC面積的最大值為.這是用“三斜求積”公式求解的代數(shù)解法. 也可以通過數(shù)形結合，利用邊b為定值的特殊性，構建平面直角坐標系，設B為動點，嘗試求它的軌跡方程，三角形的最值即為高的最值，此為幾何解法.

對于第（2）問，可巧借余弦定理和正弦定理驗證“三斜求積”公式.

“三斜求積”公式：S=acsinB=ac·=ac·=.

海倫公式：S====.

從三角形面積公式推導出“三斜求積”公式和海倫公式，體現(xiàn)不同形式的公式本質相同.

4. 進行數(shù)學史相關的研究項目

案例5 人教A版（2019）普通高中數(shù)學教科書必修第一冊“5.4 三角函數(shù)的圖象與性質”的教學.

任務1 文獻閱讀與數(shù)學寫作.

我國唐代天文學家一行（683—727）是接觸應用正切函數(shù)的第一人，《大衍歷》便是出自他之手，在“步晷漏術”中制作了一個太陽天頂距和0°～80°每度影長的對應數(shù)表.

將數(shù)學史融入數(shù)學教學，查找相關資料，認真分析素材，談一談自己的看法與體會，形成讀書報告.

作業(yè)成果：隨筆.

成果評價：根據(jù)現(xiàn)有任務要素，確定評價指標，為學生研究提供理論支持.

設計意圖 將數(shù)學文化融入高中數(shù)學教學，以核心概念為指導，培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)，關注數(shù)學概念的歷史發(fā)展，理解數(shù)學知識的形成過程，拓寬學生的視野，引導他們運用數(shù)學語言解釋世界.

任務2 實際應用.

數(shù)學家傅立葉曾說過，正弦函數(shù)的和，能夠以周期函數(shù)的方式體現(xiàn). 請同學們欣賞一首鋼琴曲，感受音色可以表示成簡單的正弦函數(shù)之和. 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加，可解釋聲波的共振現(xiàn)象.

自從降生到這個世界，個體的情緒、體力和智力便開始進入發(fā)展狀態(tài)，且呈現(xiàn)出周期趨勢. 心理學家研究發(fā)現(xiàn)，人的生物節(jié)律由情緒節(jié)律、體力節(jié)律和智力節(jié)律組成. 同時，對應相應的節(jié)律周期. 不僅如此，不管哪個節(jié)律周期，又細分為三個階段，分別是臨界日、高潮期和低潮期. 其中，臨界日即三個節(jié)律周期的半數(shù). 情緒節(jié)律的臨界日是14天，體力節(jié)律的臨界日是11.5天，智力節(jié)律的臨界日是16.5天. 以臨界日為界，高潮期為前半期，低潮期為后半期. 以生日前一天為起點，按照實際的出生日期，嘗試把情緒、體力和智力曲線分別繪制出來. 同時，確認哪一節(jié)點應控制情緒，哪一節(jié)點應加強鍛煉.

以“生活中的三角函數(shù)”為課題，形成學習小組，分工合作，查找資料，制作PPT或視頻，準備交流發(fā)言.

設計意圖 三角函數(shù)實際應用十分廣泛，不僅源于并服務于實際生活，更存在于人的生理和心理領域. 人生境遇各有不同，有波峰有波谷，讓學生感悟到學習要勞逸結合，不以物喜，不以己悲，要以良好的心態(tài)面對生活與學習，改進行為習慣、生活能力，提升意志品質、思想品質.

結語

高中數(shù)學教學應注重教材的整體性，采用單元教學法，培養(yǎng)結構化思維. 同時，教師應利用數(shù)學史中的豐富內(nèi)容，包括理論、邏輯、規(guī)律、方法和智慧，激發(fā)學生的自主學習興趣，促進知識的深入理解和能力的提升. 在歷史和數(shù)學的發(fā)展中，回顧過去，審視現(xiàn)在，展望未來.