基于單元視角下的正弦函數、余弦函數的圖象教學

［摘 要］ 人教A版（2019）教材在三角函數的編寫上充分發揮單位圓的工具性作用，以單位圓為載體，從點坐標視角給出三角函數的概念，這便于使用GeoGebra軟件直觀展示正弦函數在一個周期內的精準圖象的制作過程，在明確圖象走勢的基礎上，學生能用“五點法”畫出草圖解決一些簡單問題.

［關鍵詞］ 單元視角；可視化；核心素養

單元教學是新課改的亮點，課時教學設計應該在單元教學的基礎上進行，以充分體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方式的普適性和思維的系統性，切實防止碎片化教學，能更好地強化學生的“四基”，發展學生的“四能”，使數學學科核心素養真正落實于數學課堂.

單元內容及其解析

三角函數單元內容包括任意角和弧度制、三角函數的概念、誘導公式、三角函數的圖象和性質.

本單元從研究生活實際中的周期現象出發，通過數學抽象為質點做勻速圓周運動. 如圖1所示，先將角的范圍推廣到任意角，然后介紹弧度制，引入單位圓簡化計算，實現角度制與弧度制的互化，這解決了從點坐標視角引入三角函數概念的定義域問題. 接著介紹同角三角函數基本關系和誘導公式，目的是將余弦函數的圖象轉化為正弦函數的圖象，先研究正弦函數一個周期內的圖象和性質，再擴展到整個定義域內，并通過類比研究正切函數的圖象和性質.

教學目標及其解析

1. 教學目標

（1）了解任意角的概念，能進行角度制與弧度制的互化，體會引入弧度制的必要性.

（2）借助單位圓理解三角函數的概念，能作出三角函數的圖象，借助圖象了解三角函數的周期性和奇偶性. 借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式.

（3）理解同角三角函數基本關系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.

（4）借助圖象理解正弦函數在［0，2π］上、余弦函數在［-π，π］上、正切函數在

-，

上的性質.

2. 目標解析

通過任意角和弧度制的學習，為理解單位圓上點P的坐標與旋轉角α之間的對應關系，以及給出三角函數的概念做鋪墊，提升學生的數學抽象素養，同時為作正弦函數的圖象奠定基礎.

單位圓的引入，不僅可以簡化計算，還可以構造直角三角形. 通過圖形直觀展示，助學生發現同角三角函數基本關系式，提升學生的直觀想象素養，同時為正切函數的圖象和性質的教學奠定基礎. 借助單位圓的對稱性可得誘導公式，提升學生的數學運算素養，同時可將余弦函數的圖象轉化為正弦函數的圖象，并將正弦函數的圖象聚焦在［0，2π］內進行研究，提高學生分析問題和解決問題的能力.

教學策略分析

人教A版（2019）教材（下文簡稱新教材）與舊教材相比有較大變化，主要體現在新教材以單位圓為載體，從點坐標視角給出三角函數的概念. 教學時應以質點作勻速圓周運動為背景，提出研究周期性現象的變化規律的必要性，從而勢必將角的范圍推廣到任意角. 為準確刻畫周期性現象的變化規律，需要畫出質點運動的圖象，前提是將角度轉化為實數，從而認識到引入弧度制的必要性. 為簡化計算，巧妙地引入單位圓，從而利用質點在單位圓上的運動引出三角函數的概念，由質點坐標間的關系自然過渡到同角三角函數基本關系，由質點在不同位置的對稱關系自然過渡到誘導公式，從而便于學生理解在［0，2π］內研究正弦函數圖象的重要性. 可以借助信息技術，如GeoGebra軟件精準、直觀地作出正弦函數的圖象，通過圖象研究其性質. 通過優化正弦函數的圖象和性質的研究路徑，啟發學生規劃正切函數的圖象和性質的研究.

正弦函數、余弦函數的圖象的教學設計

1. 課時目標

（1）理解正弦曲線和余弦曲線之間的關系，用“五點法”畫出給定區間上的正弦函數、余弦函數的圖象.

（2）掌握正弦函數圖象與余弦函數圖象之間的關系，以及圖象變換，利用函數圖象解決簡單問題.

2. 教學重點和難點

教學重點：正弦函數與余弦函數的圖象.

教學難點：作正弦函數的圖象.

3. 教學設計

（1）創設情境，引出課題

問題1 如圖2所示，點P在單位圓上自點A（1，0）逆時針旋轉x弧度，你能寫出此時點P的坐標嗎？

由點P的坐標引出正弦函數y=sinx和余弦函數y=sinx，從而板書課題.

問題2 什么是正弦函數和余弦函數？它們的定義域是什么？它們是怎么得來的？

它們的定義域均為R，但是部分學生不理解，此時可以幫助學生回顧任意角的推廣過程，在弧度制下建立角的集合與實數集R之間的一一對應關系，統一三角函數的自變量和函數值的單位. 為幫助學生用定義法作正弦函數y=sinx，x∈［0，2π］的圖象做準備.

設計意圖 創設問題情境，激發學生回顧舊知，引出三角函數的定義，再次認識其定義域，為用定義法研究三角函數的圖象奠定基礎.

（2）提出問題，激發思維

問題3 教材給出正弦函數和余弦函數的定義后，為什么不像以往研究冪函數、指數函數和對數函數一樣立即研究它們的圖象和性質呢？

讓學生明白此時知識儲備不足，能力還不夠強大，暗示同角三角函數基本關系和誘導公式將在研究正弦函數和余弦函數的圖象中發揮重要作用.

問題4 誘導公式sin（α+2kπ）=sinα對我們研究正弦函數的圖象有何啟示？

對于正弦函數y=sinx，x∈R的圖象，由周期現象可知，只需研究y=sinx在一個周期內的圖象即可，初步體現三角函數的周期性的價值.

問題5 誘導公式sin

α+

=cosα對我們研究余弦函數的圖象有何啟示？

想到y=cosx=sin

x+

，說明余弦函數的圖象可由正弦函數的圖象向左平移個單位得到. 因此，可將正弦函數和余弦函數的圖象問題聚焦于研究y=sinx在一個周期內的圖象問題.

設計意圖 利用問題串幫助學生回顧單元知識結構，理清本節重點內容是研究正弦函數在一個周期內的圖象.

（3）借助技術，聚焦定義

問題6 如何精準畫出正弦函數y=sinx，x∈［0，2π］的圖象？

問題2讓學生清楚了在［0，2π］內∠AOP的弧度數x與的長度值相等，此時可利用GeoGebra軟件操作如下：

在單位圓O上取點P→選中扇形AOP→度量的長度為x→繪制點（x，0）→右擊開啟跟蹤→讓點P與點A重合→在圓O上按逆時針方向旋轉點P，如圖3所示. 學生發現點N（x，0）的橫坐標就是的長度. 過點P作x軸的垂線，垂足為M，連接線段MP→過點P作x軸的平行線，與過點N的x軸的垂線相交于點T（x，sinx）→右擊開啟跟蹤→在圓O上自原點開始按逆時針方向旋轉點P一周→繪制出正弦函數y=sinx，x∈［0，2π］的圖象，如圖4所示.

問題7 正弦函數y=sinx，x∈［0， 2π］的圖象與直線y=x有幾個交點？

當x∈

0，

時，引導學生觀察圖5，發現sinx=

MP

<

，即點T的橫坐標大于它的縱坐標，點T在直線y=x的下方，所以正弦函數y=sinx，x∈［0，2π］的圖象與直線y=x有且僅有1個交點為原點.

設計意圖 利用GeoGebra軟件作圖，展示正弦函數的圖象與直線y=x有且只有一個交點，為介紹三角不等式sinx<x<tanx，x∈

0，

，以及后面利用圖象關系解決簡單問題做準備.

問題8 如何畫出正弦函數y=sinx，x∈R的圖象？

由sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z，且k≠0）可知，函數y=sinx，x∈［2kπ，（2k+1）π］（k∈Z，且k≠0）的圖象與函數y=sinx，x∈［0，2π］的圖象完全一致，因此將函數y=sinx，x∈［0，2π］的圖象不斷向左、向右平移（每次平移2π個單位），從而得到y=sinx，x∈R的圖象（同時利用GeoGebra軟件展示圖6所示的圖象）. 正弦函數的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線.

問題9 如何畫出余弦函數y=cosx，x∈R的圖象？

由y=cosx=sin

x+

可知，只需將y=sinx，x∈R的圖象向左平移個單位即可得余弦函數y=cosx，x∈R的圖象（同時在GeoGebra軟件上向左（φ>0）或向右（φ<0）拖動

φ

個單位展示動態圖象，如圖6所示）. 余弦函數的圖象叫做余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線.

（4）動手作圖，感受變化

問題10 在正弦函數y=sinx，x∈［0，2π］的圖象上，哪些點比較關鍵？

觀察圖象走勢，發現兩類點比較關鍵：一是與x軸的交點（0，0），（π，0），（2π，0）；二是圖象的最高點

，1

和最低點

，-1

. 向學生介紹“五點法”作圖.

問題11 在同一直角坐標系內畫出下列函數的簡圖：①y=sinx，x∈［0， 2π］；②y=-2+sinx，x∈［0，2π］.

練習 在同一直角坐標系內畫出下列函數的簡圖：①y=cosx，x∈

-，

；②y=-cosx，x∈

-，

.

（5）課堂小結

讓學生自己總結所學內容和其中蘊含的數學思想方法.

設計意圖 旨在強化學生用“五點法”作圖，讓學生通過作圖，從對應點間的關系去感受圖象的平移變換，為后面研究正弦函數和余弦函數的性質服務，也為研究y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質做準備.

教學反思

1. 理清知識結構，做好單元教學

教師教學站位要高，要從學科知識體系出發，理清單元知識結構和編寫意圖，做好單元起始課和章末單元復習課教學準備. 在三角函數單元中，引入任意角和弧度制可解決三角函數的定義域問題，引入同角三角函數的基本關系，可幫助學生理解同角正弦值、余弦值和正切值之間的內在聯系，為研究正切函數的圖象和性質服務. 誘導公式的引入，將正弦、余弦函數的圖象問題聚焦在正弦函數的一個周期內，突出研究重心，達到“窺一斑而知全貌”的效果，使學生明確周期類問題的解決通法，為研究函數y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質做準備.

2. 立足學生認知，做好問題設計

問題設計要立足學生認知，理解學生的認知特點、學習方式和知識水平，這是設計問題的出發點和依據.教師只有理解了學生，才能根據學生的最近發展區做好教學設計，才能厚積薄發，做到有的放矢.通過對函數的概念和性質，以及冪函數、指數函數和對數函數的學習，學生掌握了研究新知的套路；通過對三角函數的概念的學習，學生認識到它是一種特殊的函數. 利用問題串讓學生回憶三角函數的定義，清楚定義域的來源，明白弧度制對實現由“角”到“數”的轉化的價值所在，理解教材介紹同角三角函數基本關系和誘導公式的教學目的，認識到單位圓上點的縱坐標與其對應的角的正弦值始終相等，能借助單位圓畫出正弦函數的圖象.整個教學過程都在問題的引導下，把思考的機會留給學生，彰顯學生的能力.

3. 借助信息技術，做好直觀展示

教師要提升信息技術的使用能力.新課標指出：教師應注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果.在人教A版（2019）必修第一冊教材的第87頁專門介紹了GeoGebra軟件. 教師要掌握GeoGebra，Excel和幾何畫板等常用數學軟件的使用方法，提高信息技術與數學教學整合水平，助力學生思維. 例如通過對單位圓上點坐標的分析，利用GeoGebra軟件，充分發揮單位圓的功能，精準畫出正弦函數在區間［0，2π］上的圖象，直觀展示三角函數的圖象走勢，教學生用“五點法”畫簡圖. 順勢剖析正弦函數的圖象與直線y=x之間的位置關系，為介紹三角不等式和利用三角函數圖象關系解決簡單問題奠定基礎.