基于概念生長的單元整體教學設計

［摘 要］ 當前正弦、余弦定理的教學大多注重公式的記憶和應用，疏忽了發現和探索，以及知識聯系和框架的構建. 文章基于概念生長設計單元整體教學模式，重構解三角形章節內容，幫助學生把握整體框架，自主探求定理.

［關鍵詞］ 單元整體教學；概念生長；余弦定理；正弦定理

引言

單元整體教學是系統論下的教學策略，是指在實施教學時，選取單元知識作為教學主體，引導學生整體獲取知識，提高學習效率. 數學單元教學設計是在整體思維指導下，從提升學生數學學科核心素養出發，通過教學團隊合作，對相關教材內容進行統籌重組和優化，并將優化后的教學內容視為一個相對獨立的教學單元，以突出數學內容的主線以及知識間的關聯性，在此基礎上對教學單元整體進行循環改進的動態教學設計［1］. 以往的中學數學課堂多以課時的形式組織教學，導致原本具有邏輯聯系的數學知識被分解成一個個的知識點，長期向學生灌輸碎片化的知識內容卻不講清楚其內在聯系，不利于學生把握知識本質，無法構建清晰的知識結構框架. 因此，新一輪的課程改革注重單元整體教學模式，《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》的頒布，讓單元整體教學成為研究熱點，基于核心素養的單元整體教學成為一線教師及職前教師的創造和研究重心［2］.

概念生長是數學單元整體教學主題之一，即由舊概念生長新概念或以命題為主線貫穿單元來組織教學.將原有的核心概念進行外延擴大或內涵縮小，產生一些與原有的核心概念密切相關的新概念就是所謂的概念生長過程. 因此，在探索余弦定理和正弦定理時，借助從解直角三角形到解三角形的概念生長過程，構建解三角形的單元結構，引導學生探索和證明余弦定理和正弦定理，讓學生體會數學知識的關聯性和整體性，發展學生的整體性思維［3］.

總體教學分析

1. 知識結構與內容分析

從三角形的知識結構來看，余弦定理和正弦定理描述了三角形的邊角關系，對解三角形具有重要價值. 初中學習解直角三角形為高中學習解三角形奠定了基礎.

從向量的知識結構來看，余弦定理和正弦定理的證明屬于向量知識應用范疇：先將三角形三邊關系轉化為向量等式，然后將向量等式數量化. 這一過程將幾何問題轉化為代數問題，體現了向量在數學領域的實用價值. 等式不斷轉化的過程就是余弦定理和正弦定理的證明過程.

從教材課時編排來看，人教A版教材將余弦定理和正弦定理并入“向量的應用”章節，分兩課時講授. 蘇教版教材以解三角形為主題單獨成章，將余弦定理放在第一課時講授. 兩版教材的編制都體現了向量法在余弦定理和正弦定理證明中的重要性.

通過上述分析，現以概念生長的單元教學為導向，將解三角形這一章節分配課時如下：第一課時，利用單元知識框架探索得出余弦定理和正弦定理，掌握其證明方法，并解決簡單的解三角形問題；第二課時，通過觀察和分析，明晰余弦定理和正弦定理可以解決哪幾類解三角形問題；第三課時，建立數學模型，應用余弦定理和正弦定理解決實際問題. 本文將聚焦第一課時的內容進行教學設計.

2. 教學目標及重點和難點

根據課程標準要求和上述教學分析，確定教學目標如下：①經歷從特殊到一般的推理過程，構建從解直角三角形到解三角形的結構框架，了解探索三角形邊角關系的必要性.②探索三角形的邊角關系，發散思維尋找更多的證明方法，并通過比較領悟向量法的價值，在此過程中發展直觀想象和邏輯推理素養. ③掌握余弦定理和正弦定理，能用兩定理解決簡單的實際問題. ④掌握從特殊到一般的數學思維邏輯，把握解直角三角形和解三角形的密切聯系，理解數學知識的關聯性和整體性對探索新知的意義.

教學重點：①構建從解直角三角形到解三角形的結構框架，理解從特殊到一般的知識生長邏輯. ②掌握余弦定理、正弦定理的內容和證明方法，用兩定理解決簡單的實際問題.

教學難點：①探索三角形邊角關系，采用“化斜為直”法和向量法證明兩定理. ②了解余弦定理、正弦定理的多種證明方法，體會向量法的價值和簡捷性.

教學活動設計

1. 喚醒舊知

課前小組活動 以小組為單位，畫出解直角三角形的知識框架.

課堂初始，組織各小組匯報總結.

設計意圖 利用課前活動，引導學生回顧解直角三角形的知識結構.課堂開頭讓學生匯報總結，教師進行評價和引導，幫助學生完善解直角三角形的知識框架，如圖1所示.該活動為接下來的解三角形的單元知識框架的構建提供了參照.

2. 激活新知

教學活動 類比構建解一般三角形的知識框架.

情境 揚州是一座河網密布的運河城市，為緩解交通壓力，在已有水下隧道AC的基礎上，計劃在AB處建造一座橋梁，則需要測量河流兩岸之間的距離. 可采用構建三角形的方法測量. 如圖2所示，已知隧道AC的長度，運用專業工具測得B，C之間的距離和角C的大小，則可以計算得到A，B之間的距離.

問題1 根據上述情境表明，在實際生活中，大多需要根據一般三角形的已知邊和角求解未知邊和角，所以你能類比解直角三角形的知識框架，構建解一般三角形的知識框架嗎？

設計意圖 該問題顯示，學習解三角形既符合數學學習邏輯，又滿足實際應用需求，具有雙重必要性. 學生借助對三角形知識系統的認識，明白從解直角三角形到解三角形是概念擴展的過程，理解“一般化”的解三角形可以解決更多實際問題.基于二者之間的聯系，學生類比解直角三角形的知識框架，得到解三角形的知識框架，包括從本質、條件到應用的一般套路和需要具體研究的內容［4］.

問題2 觀察框架，你能填補解一般三角形知識框架哪些內容？哪些要繼續探究？

設計意圖 該問題是讓學生對照解直角三角形的知識框架，推測解三角形的本質，填補三角形邊之間的關系和角之間的關系. 通過圖3左右兩側知識內容的比較，學生明確需要進一步探究三角形邊、角之間的關系，進而啟動本節課的探究.

3. 探究新知

教學活動1 探索并證明余弦定理.

問題3 如圖2所示，在三角形ABC中，如果已知邊AC，BC的長度和角C的大小，如何求AB的長度？（為解決此問題，教師利用3個追問逐步引導學生思考.）

追問1：該三角形是否唯一？

追問2：既然三角形是唯一的，那么邊AB也是唯一的，依據現有的已知條件，有哪些方法能夠求得AB的長度？每一種方法的思路如何？

追問3：請奇數組（序號為奇數的小組）采用向量法，偶數組（序號為偶數的小組）采用“化斜為直”法求解，并觀察結論，能發現三角形各元素間具有怎樣的關系嗎？

設計意圖 該問題是探索余弦定理的重要模型，三個追問引導學生逐步解決問題.追問1：學生明確在兩邊及其夾角確定的條件下，三角形是唯一的，可以求解其他未知元素. 追問2：讓學生在明確目標后探索方法，教師根據學生的認知水平進行不同程度的引導.學生若無求解思路，教師引導學生分析已知條件并思考：“在已學知識中，哪些能將長度與角度聯系在一起？”學生能聯想到直角三角形中的邊角關系和向量.由此，啟發學生運用轉化與化歸思想構建直角三角形，“化斜為直”的求解思路易于形成，但向量法的產生則需要做進一步引導. 教師引導學生從向量的視角理解已知條件和求解目標，構建三角形三邊關系的向量等式，然后提問：“為求得目標，你要如何‘加工’上述向量等式？”為實現向量向數量轉化，學生聯想到向量數量積運算，從而疏通向量法的求解思路. 追問3：讓學生分成兩個小組分別用兩種方法（其他方法留作課后作業）解決問題，得出余弦定理. 問題求解完畢后比較兩種方法，讓學生體會向量法用于證明余弦定理的簡捷性，激起學生對向量法的重視.

問題4 請同學們觀察，如果圖2中的角C是直角，那么由余弦定理可得到什么結論？你有何發現？

設計意圖 該問題引導學生發現勾股定理與余弦定理是特殊與一般的關系，并啟發正弦定理的探究思路.

教學活動2 類比方法，探索并證明正弦定理.

問題5 從問題4中發現，直角三角形的邊角關系可能隱藏著更一般的結論. 請同學們寫出直角三角形中用正弦表示的邊角關系. 同學們能從中發現新關系嗎？

設計意圖 經過問題4的鋪墊，學生認識到從知識內在結構中生長新概念的過程. 在教師的引導下，學生從直角三角形的邊角關系中發現三個角的正弦之間存在某種關系，并通過轉化猜想到正弦定理.

問題6 這種新關系在銳角、鈍角三角形中也成立嗎？你能類比余弦定理的證明，探索正弦定理的證明嗎？請先分析思路，然后再證明.

設計意圖 學生類比余弦定理的證明，自然得出“化斜為直”法和向量法. 教師同樣將學生分成奇數組和偶數組，分別采用兩種方法，合作完成正弦定理的證明，并通過互動交流，使所有學生都能在課堂上經歷兩種方法的證明過程（其他證明方法留在課后作自主練習和拓展）.

教學活動3 歸納總結余弦定理和正弦定理.

教師板書余弦定理和正弦定理，介紹其文字表述及公式變形.借助單元知識框架，幫助學生明晰宏觀角度的直角三角形到一般三角形和微觀角度的邊角關系都存在從特殊到一般的內在聯系.

4. 總結課堂，啟發思考

問題7 本節課學習經歷了哪些過程？回顧這些過程，我們是怎樣完善解三角形知識框架的？還要做什么以進一步完善？

設計意圖 反思本節課的學習過程，讓學生把握解三角形的單元知識框架，明晰解直角三角形與解三角形的聯系.通過分析框架的完整性，明確還需要探究余弦定理和正弦定理可以解決哪幾類解三角形問題，以及兩定理在實際問題中的應用.

5. 課后活動

練習題：工程隊要在河道上建造一座橋梁，如圖2所示，需要求得河道兩岸之間的距離AB.

（1）如果測得AC=80 m，BC=60 m，∠C=60°，求AB（精確到1 m）.

（2）如果測得BC=75 m，∠B=60°，∠C=45°，求AB（精確到1 m）.

思考題：思考并嘗試整理余弦定理和正弦定理可以解決哪幾類解三角形問題.

設計意圖 本節課引導學生探索兩個定理及其證明過程，課程容量較大，因此將練習題設置在課后活動中，其內容與課上的情境相呼應，形成解決問題的閉環. 經過本節課的學習，學生具有一定的推理和歸納能力，思考題的設計在學生能力范圍內，同時承接第二課時的內容.

反思總結

上述設計對余弦定理和正弦定理證明過程的啟發和引導沒有做詳細說明，在教學實施中，教師需要根據學生的實際情況進行點撥和啟發，尤其是向量法的應用，需要先引導學生形成論證思路，然后再放手讓學生自主證明. 這里主要是呈現余弦定理和正弦定理的整體式設計結構，體現兩個定理的內容和證明方法，以及教學的內在結構性，構建自然的生長機理.

1. 深析知識關聯，概念自然生長

數學概念間的關系密切，但教材中的數學概念大多是碎片化的.因此，教師在設計課堂活動時要深入分析知識間的關系，從整體上把握知識脈絡，實行單元整體教學活動. 本教學設計借助概念生長邏輯構建單元知識框架，從特殊到一般，引導學生自主構建新舊概念的關系，激發學生的探索欲，在整體把握知識結構的同時體會到學習余弦定理和正弦定理的必要性.

2. 踐行生本課堂，新知自主探究

學生是課堂主體，教師要鼓勵學生在最近發展區內自主探索新知識.本教學設計課前回憶舊知，建立解直角三角形的知識框架；課上學生自主類比，構建解三角形的知識框架，確定探究目標，在教師的引導下自主探索證明方法，小組通過合作，得出余弦定理和正弦定理；課后讓學生自主完善單元知識結構框架，并將思維延伸到下一課時的學習內容. 整堂課的教學活動都是學生自由、主動的探索過程，有利于學生深度理解知識結構，把握知識本質.

3. 激發思維活力，素養自行發展

數學課堂需要給予學生思維展示的機會，也要促進學生思維能力的提升，從而落實核心素養. 本教學設計的問題給學生提供了思考載體，能夠激發學生的思維活力，學生經歷概念生長的探索過程，從特殊到一般的思維過程，以及從既定目標尋找方法解決問題的過程，有助于發展數學抽象、數學運算、直觀想象和邏輯推理等核心素養.

參考文獻：

［1］ 呂世虎，楊婷，吳振英. 數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟［J］. 當代教育與文化，2016， 8（4）：41-46.

［2］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 陳算榮，王瑩. 數學教學“結構思想”的意蘊與內化［J］. 教學與管理，2023（22）：37-40.

［4］ 薛紅霞. 轉變數學知識觀 做好單元教學設計［J］. 數學通報，2022，61（2）：12-16.