數學實驗：優化學生思維品質的新門徑

［摘 要］ 數學實驗是優化學生數學思維品質的門徑：實驗猜想能讓學生的數學思維有廣度，實驗操作能讓學生的數學思維有新度，實驗想象能讓學生的數學思維有深度，實驗反思能讓學生的數學思維有溫度。教師要精心設計、研發、實施數學實驗，讓數學實驗成為驅動學生主動思維、提升學生思維品質的重要載體、媒介，讓數學實驗為學生的數學學習“鋪路架橋”。

［關鍵詞］ 小學數學；數學實驗；思維品質；優化門徑

數學實驗是學生數學學習的一種重要路徑。數學式觀察、數學式調查、數學式操作等都是學生數學實驗的有效方式。數學實驗不僅能引導學生建構知識，而且能優化學生的思維品質，讓學生感悟數學思想方法。教師要充分發揮數學實驗對學生數學思維品質提升的功能，彰顯數學實驗對學生數學思維品質優化的價值。數學實驗是促進學生數學思維品質生成、發展、提升的新門徑。在數學實驗過程中，學生能積極主動地投入數學學習中來，能進行有深度、有質量的數學思維、探究。

一、實驗猜想：讓學生的數學思維有廣度

思維的廣度是學生思維品質的重要方面，思維廣度表征與確證的是學生思維的指向性。在數學教學中，筆者發現有時候學生的思維面、思維路徑比較窄。借助數學實驗的猜想能有效激發學生的思維興趣，調動學生的思維積極性，讓學生敢于、勇于、善于、樂于進行數學思考，從而讓學生的數學思維具有寬廣性。實踐證明，經常讓學生進行數學實驗猜想，學生的思維活躍度就會比較高；如果教師淡化學生的猜想，甚至壓抑學生的猜想，學生的思維就會越來越狹窄，最終陷入思維僵化、思維凝固等境地。

在數學教學中，教師要為學生營造良好的數學實驗猜想的情境，給學生打開實驗猜想的平臺，賦予學生數學實驗猜想的時空、權利等。只有這樣，學生才能積極、主動地猜想［１］。甚至，學生能突破自我的認知習慣、思維定式等，從而進行發散性、多維度、多層次的猜想。對于學生的猜想，教師要多鼓勵、多點撥，從而建構一種“踴躍猜想”的學生數學學習格局［２］。教學“平行四邊形的面積”這一部分內容時，筆者引導學生猜想：平行四邊形的面積與什么有關？如此，學生紛紛根據實驗操作提出自己的猜想。

猜想1：認為“平行四邊形的面積與平行四邊形的底和斜邊的長度有關”，因為用長的小棒做成底和斜邊比用短的小棒做成底和斜邊所得的平行四邊形更大些；

猜想2：認為“平行四邊形的面積與底和斜邊的長度有關”，根據平行四邊形可以推拉成長方形，而長方形的長、寬分別相當于平行四邊形的底和斜邊；

猜想3：認為“平行四邊形的面積與平行四邊形的底、斜邊和夾角的大小有關”，因為平行四邊形在推拉成長方形的過程中，平行四邊形的四個角的大小都發生了變化；

猜想4：認為“平行四邊形的面積與底和高的長度有關”，因為平行四邊形可以剪拼成長方形，長方形的長和寬分別相當于平行四邊形的底和高。

顯然，這里學生的猜想都是有理有據的猜想。這些根據是學生在對平行四邊形的相關簡單操作、實驗基礎上生發的，都確證與表征了學生對影響平行四邊形的面積大小相關因素的認知。教學中，教師必須注重學生的猜想，利用學生的猜想，讓學生的猜想發揮教學功能。

猜想是實驗發現的前奏，也是實驗開展的基礎［３］。通過猜想，學生能提出相關的問題；通過猜想，學生能進行積極的數學嘗試、數學思考、數學探究。猜想讓學生的數學實驗活動成為一種理智歷險、理智探險的活動。

二、實驗操作：讓學生的數學思維有新度

實驗操作是數學實驗的核心環節。實驗操作要讓學生真正地“做數學”，讓學生通過“做”的方式將相關數學知識建構、創造出來。因此，學生的數學實驗操作往往蘊含著學生的思維，是在學生的數學思維導引、驅動下開展的一種自然、自覺、自發的活動。在數學實驗操作過程中，教師要給學生提供相關的結構性素材、結構性資源，充分發揮學生實驗操作的主觀能動性，讓學生的實驗操作成為學生本質力量的確證與表征，成為學生的生命實踐活動。

比如教學“三角形的三邊關系”這一部分內容時，筆者綜合各方面的因素，設計了一組實驗素材，將實驗操作切入學生數學學習的“最近發展區”，讓學生的數學實驗操作富有挑戰性。

材料：1根10cm的藍色小棒，6cm、10cm、12cm的黃色小棒若干根。

實驗1：從6cm、10cm的黃色小棒中選擇1根，將其任意剪成兩段，能與藍色小棒圍成三角形嗎？

實驗猜想1：能圍成三角形或不能圍成三角形。

學生開展實驗操作。

實驗思考：為什么能或不能圍成三角形？

實驗2：用1根12cm的黃色小棒，將其任意剪成兩段，能與藍色小棒圍成三角形嗎？

實驗猜想2：能圍成三角形或不能圍成三角形。

學生開展實驗操作。

實驗思考：為什么能或不能圍成三角形？

這樣的實驗設計不僅選擇了結構性的實驗素材、實驗資源，而且選擇了結構性的實驗操作組織方式，讓學生的數學實驗過程有層次、有階梯。其中，“實驗1”讓學生認識了不是任意的3根小棒都能圍成三角形，如果2根小棒的長度和比第3根小棒的長度還要小，那么這樣的3根小棒不能圍成三角形。“實驗2”以“12cm”的小棒作為素材，進一步探究“三角形的三邊關系”，從而讓學生建構起“任意兩條邊的和都必須大于第三條邊”的數學實驗結論。

實驗操作是學生的一種手腦協同活動。教師要優化學生的實驗路徑，為學生的數學實驗創設條件，借助數學實驗催生學生的數學思維，讓學生自主建構、創造知識，讓學生從數學學習的“看客”轉向數學學習的“創客”，讓學生的數學實驗不斷升級。

三、實驗想象：讓學生的數學思維有深度

想象是數學實驗的必要補充，是豐富數學實驗內容、形式的重要策略。通過數學實驗的想象能讓學生逼近數學知識的本質，讓學生的數學實驗有思維的深度。學生的數學學習就是學生數學操作與數學想象的“珠聯璧合”。教師要善于引導學生的想象、催生學生的想象，讓學生想得合理、想得科學。

為了優化學生的想象，教師在教學中要引導學生直面數學問題本身，要從數學問題本身出發，把控學生的思維方向。通過想象，學生還能克服數學實驗的某些不足，或者數學實驗無能為力的地方，或者數學實驗不到位的地方等。實驗想象讓學生的數學實驗收獲更豐富、完善。比如教學“圓的面積”這一部分內容時，筆者應用多媒體課件呈現方格圖，將圓放置到方格圖中，引導學生用數方格的方法，統計圓的面積大約是正方形面積的多少倍，由此猜想圓的面積和小方格的關系，也就是猜想圓的面積與半徑的平方之間的關系（如圖1）。

在學生猜想的基礎上，筆者引導學生開展數學實驗。學生分小組開展實驗：“小組1”將圓平均分成8份，然后拼成近似的長方形；“小組2”將圓平均分成16份，然后拼成近似的長方形；“小組3”將圓平均分成32份，然后拼成近似的長方形。

在此基礎上，筆者借助多媒體課件動態呈現圓被平均分成若干等份，拼成近似的長方形的過程。在多媒體的演示中，學生直觀地看到，圓被平均分的份數越多，所拼成的近似的長方形也就越接近長方形。由此，學生進行動態的想象：將圓平均分成64份、128份、256份等后會如何？在動態的想象中，學生的頭腦中構建了一個圓演變為長方形的動態發展過程。這一過程建立在學生數學實驗的基礎之上，但超越了數學實驗。教師要有意識地引導學生將數學實驗與合情想象、合理想象等結合起來，從而深化學生的數學體驗，深化學生的數學認知。通過實驗想象，不僅能促進學生對實驗結果的認同，而且能促成學生對實驗過程的認知，這其中融入了數學思想，如極限思想、轉化思想、對應思想、建模思想等。

在引導學生數學實驗想象的過程中，教師要把控學生的想象走向，要助推學生尋求正確的想象路徑，同時相機融入相關的想象方法。通過數學實驗想象，學生對數學實驗內容、實驗結果、實驗過程等不僅“知其然”，更“知其所以然”。實驗操作與實驗思維、實驗想象等是數學實驗的兩翼，它們相輔相成、相得益彰、相互促進、共生共長。

四、實驗反思：讓學生的數學思維有溫度

實驗反思是實驗的一個必要的環節。如果學生在數學實驗中不注重反思，那么學生極容易淪為一個簡單的操作工。因此，教師在學生的數學實驗中要注重引導學生反思，培養、提升學生的實驗思維品質。教學中，教師不僅要引導學生在實驗后反思，而且要在實驗過程中進行反思，甚至在實驗前進行“前反思”。反思，讓學生的數學實驗更加理性、理智，讓學生的數學實驗更有序、更富層次性，讓學生的數學實驗更有效度、信度。

實驗反思讓學生的數學實驗突破碎片化、單子式的模式，走向一種實驗整體、實驗結構。實驗反思讓學生的數學實驗更具系統性。比如在教學“圓的周長”這一部分內容時，筆者發現學生在數學實驗中出現了很多可以避免的錯誤。為了激發學生的實驗思維，筆者引導學生在應用“滾圓法”“繞圓法”測量圓的周長的基礎上進行反思：為什么自己幾次實驗的結果不同？為什么不同小組測量相等直徑的圓的周長，測量結果卻不同？在反思之中，學生進一步檢視自己的實驗工具、實驗過程、實驗方法等，從而催生了學生的實驗思維。這樣的實驗思維讓學生的數學學習更有溫度。

反思1（生1）：我之所以每一次測量圓的周長的結果不同，是因為我在滾圓的過程中，沒有做記號，讓圓多滾了一點距離或少滾了一點距離。

反思2（生2）：我在實驗過程中沒有將棉線緊貼圓周上，導致實驗結果不準。

反思3（生3）：我用的是滾圓法測量圓的周長。我滾圓的時候不是沿著直線滾的，導致實驗結果不準。

反思4（生4）：我用的是繞線的方法來測量圓的周長的，在繞線的過程中線比較松弛，導致測量結果不準。

通過實驗反思，學生改進了實驗，讓實驗操作不斷走向規范、科學。學生用實際測量結果計算的時候，算出來的值雖然有差異，但是非常接近（有學生計算圓的周長和直徑的比值精確到4位小數），由此進一步引發了學生的深度思維。

反思1（生5）：老師，我認為圓的周長除以圓的直徑可能是除不盡的。

反思2（生6）：老師，我認為圓的周長和圓的直徑的商可能是小數，并且小數的位數非常多。

在學生深度反思的基礎上，筆者呈現了圓周率的發展史，讓學生了解古人對圓周率的探索。比如劉徽的“割圓術”、祖沖之的“約率”與“密率”、現代計算機計算的圓周率的位數。有了學生的實驗反思，學生對圓周率是一個“無限不循環小數”（即無理數）有了深刻的體驗。這樣的體驗能深化學生對圓周率的認知，讓學生觸摸無限不循環小數的“無限”“不循環”的特性。

數學實驗是學生重要的數學學習方式，真正的數學實驗一定蘊含著學生的數學思維，并且一定能讓學生的數學思維走向睿智與深刻。教師在數學教學中要精心設計數學實驗方案，有效組織、實施數學實驗，讓學生充分經歷數學實驗的過程，引導學生自主實驗、自能實驗，不斷提升學生的數學實驗能力。只有這樣，學生才能真正借助數學實驗建構數學知識、積累活動經驗，讓數學實驗為自己的數學學習“鋪路架橋”。

參考文獻：

［１］ 鄭毓信.數學教學與學會思維——“教數學、想數學、學數學”系列之四［Ｊ］. 小學數學教師，２０１５（６）：４－１１.

［２］ 潘小福，陳美華. 小學數學實驗教學理論與實踐［Ｍ］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，２０１８.

［３］ 潘小福.小學數學教材的專業化解讀［Ｍ］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，２０１７.