在實踐探索中走向深度學習

［摘 要］ 在小學數學教學中，教師應貫徹“以生為本”的教學理念，結合教學實際設計實踐活動，讓學生的思維在實踐探索中走向深入。研究者以“正比例圖像”教學為例，讓學生通過描點、連線等活動，初步認識正比例圖像；借助幾何直觀，培養學生數形結合意識，提高學生深度思維的能力。

［關鍵詞］ 以生為本；實踐活動；深度思維

在“正比例圖像”教學中，教師以學生的已有認知為起點，結合教學實際精心創設問題，讓學生在問題的引導下初步認識正比例圖像的特點及要素。同時，教師引導學生在變化中抽象不變的規律，以加深學生對正比關系中變化規律的認識，提高學生自主探究能力，提升教學的有效性。

一、教學過程

1. 回顧舊知，復習引入

師：上節課我們學習了有關正比例的知識，誰來說一說當兩個量存在怎樣的關系時，它們成正比例呢？

生1：當兩個量的比值總是一定時，這兩個量就是正比例關系。

師：如果用一個關系式來表達，可以如何表達呢？

生2：=k，其中x和y表示相關聯的兩個量，k表示它們的比值。

案例1 1輛汽車在公路上行駛，其行駛時間和路程如表1。時間與路程這兩個量有什么關系呢？

問題給出后，學生積極交流，很快有了發現。

生3：它們兩個是成正比例關系。結合表1可知，路程與對應時間之比為定值80，如=80，=80……符合正比例的定義，它們成正比例關系。

師：分析得很到位。生3通過計算發現，路程與時間之比一定，由此判斷兩者成正比例關系。那么除了該方法，是否還有其他方法可以判斷兩者是正比例關系呢？今天我們就來一探究竟。

教學思考：課始，教師先引導學生回顧正比例概念，然后給出具體練習讓學生回顧判別兩種量是否成正比例關系的方法，強化學生對正比例概念的理解，喚醒學生判別兩個量是否成正比例的已有經驗。在此基礎上，教師提出新的問題，以此引出本課研究的主題，激發學生的探究欲。

2. 深入探究，建立模型

環節1：自主操作探究

師：如圖1，它是直角坐標系的一部分，你們知道它的橫坐標、縱坐標分別表示什么嗎？

生1：橫坐標表示時間，每格表示1小時；縱坐標表示路程，每格表示80千米。

師：你們能將表1中的第一組數據在圖1中描出來嗎？

教師先讓學生獨立思考，然后進行組內交流，最后點名讓學生上臺描點。

師：大家看看他描點的位置對嗎？（生點頭表示贊成）

師：誰來說一說，你是如何確定點的位置的？

生2：我是先在橫軸上找表示1小時的點，然后在縱軸上找表示80千米的點，最后分別作平行于y軸和x軸的直線，兩直線的交點就是所求的點，其表示1小時行駛80千米。

師：非常好，按照這種方法，你們能找出其他各組數據對應的點嗎？

生（齊聲答）：可以。

教師預留時間讓學生描點。

師：連接圖中各點，看看你有什么發現？

生3：這些點正好在一條直線上，而且是從左下向右上延伸。

師：這條線的起點在哪里呢？

生4：表1中的第一組數據就是起點。

生5：我不同意，汽車怎么可能一下子行駛80千米呢？我覺得應該將0小時0千米作為起點。

師：非常好，考慮得非常全面。起點就是這個點（教師在圖1中指出該點），就是生5所說的0小時0千米。這個點在直角坐標系中叫作“原點”。

師：現在我們讓汽車動起來。

教師動畫演示汽車在0～1之間行駛，讓學生觀察圖像的變化。

師：這條線段表示什么意思呢？

生6：表示汽車從起點出發，行駛1小時的距離。

師：這段距離呢？汽車行駛了幾小時，距離是多少呢？

教師繼續動畫演示汽車在1～2小時之間行駛。

生7：汽車行駛了1小時，其行駛距離為80千米。

師：很好，還可以怎樣表示呢？

生8：汽車從起點出發，行駛了2個小時，共行駛了160千米。

接下來，教師繼續進行動畫演示。最后，教師演示小汽車開出畫面，圖像也隨之延伸出畫面。

師：汽車能像這樣一直開下去嗎？

生9：我認為可以，如果不設定終點，汽車可以一直行駛下去。

生10：這應該是一個理想狀態，但是要保證汽車有用不完的油。

師：說得很有道理。我們設想汽車有足夠的油，在不設定終點的情況下可以一直開下去，這條直線向右上一直延伸下去。這條無限延伸的直線就是我們今天學習的正比例圖像。

教學思考：出示直角坐標系（第一象限），讓學生在這個直角坐標系中描點、連線，初步完成圖像的建構。這樣借助圖像直觀幫助學生充分感受隨著時間的變化，其行駛路程也隨之變化的規律。在此過程中，教師讓學生思考“起點在哪里”，啟發學生結合生活實際解決問題，培養思維的縝密性。此外，教師動畫展示小汽車的行駛過程，讓學生體會用圖像刻畫數量間的變化規律，培養學生數形結合意識。

環節2：合作交流，探尋圖像特點

師：觀察圖像，你們還有哪些發現？

生1：直線上的點所表示的是路程和時間這兩個相關聯的量。

生2：當時間發生變化時，路程也隨之變化。

生3：汽車行駛的時間增加，其行駛的路程也增加。

師：大家通過觀察不僅發現一個量隨著另一個量的變化而變化的規律，而且發現兩個量是同時增加的規律，非常棒！那從變化的規律中，你們是否看到了不變的本質呢？

生4：盡管路程隨著時間的變化而變化，但是兩者的比值不變，也就是速度不變。

生5：我還發現，不管時間和路程如何變化，只要其中一個量確定了，那么另一個量也就確定了。比如，汽車行駛2小時，它的行駛距離就是160千米；若汽車行駛240千米，那么它的行駛時間為3小時。

師：很好，也就是說，已知時間，則有唯一的路程與之對應；已知路程，則有唯一的時間與之對應。你能進一步解釋一下嗎？

生5：因為路程和時間的比是不變的，就是說汽車行駛的速度不變，所以若時間（或路程）確定了，那么相應的路程（或時間）也就確定了。

師：非常好，其實很多變化都是有規律的，我們要學會用數學的眼光看世界。

師：通過以上操作、觀察、分析等活動，我們掌握了正比例圖像的一些特點。不計算，你們能根據給出的路程或時間來判斷其對應值嗎？

生（齊聲答）：能。

師：汽車4小時行駛了多少千米？汽車行駛400千米需要多少小時？

問題給出后，學生在圖中操作，很快有了答案。

生6：首先在橫軸上找到4小時，它剛好在格點上，沿著方格線向上看，找到方格線和圖像的交點；然后順著交點向左看，它在縱坐標上所對應的值為320，就是說汽車4小時行駛了320千米。

師：很好，你能在圖像上找到行駛400千米所需的時間嗎？

生7：其實和剛才的方法是一樣的，不過這次需要從縱軸出發，在縱軸上找到400千米，沿著網格線向右看，找到網格線和圖像的交點；然后從交點沿著方格線往下看，它與橫軸的交點是5，就是說汽車行駛400千米需要5小時。

師：剛才我們找的點有什么共同的特征嗎？

生8：這些點剛好在方格線上。

師：如果這些點不在方格線上，是否能夠在圖像上找到對應的值呢？比如，汽車2.5小時行駛了多少千米？

生9：可以，其操作方法是一樣的，可以在橫軸上找到2.5這個點，從這點出發，作平行于縱軸的直線，找到直線與圖像的交點；然后從交點出發，作平行于橫軸的直線，這條直線與縱軸的交點就是我們要找的對應值。

師：很好，請大家動手做一做，然后給出你的值。（學生積極操作）

生10：這個點不在格點上，所以不一定得到準確值，我估計了一下，這個點對應的數值大約是200千米。

師：這里的“估計”和“大約”用得非常恰當。我們一起來看一下剛才的操作過程。（教師動畫演示，得到圖2）

師：如果汽車行駛360千米，需要多長時間呢？

教師讓學生自己操作，然后與同學進行交流。

生11：先在縱軸上找到表示360千米的點，從該點出發向右作平行于橫軸的直線，找到直線與圖像的交點；然后從交點向下作平行于縱軸的直線，該直線與橫軸的交點即為我們要找的點。根據圖像我估計了一下，應該是4.5小時。

師：這樣利用圖像，我們可以根據一個量找到對應的另一個量。借助圖像，你們還有什么發現？

生12：還能看出汽車1.5小時可以行駛120千米。

生13：汽車行駛720千米需要9小時。

……

師：在正比例圖像上有無數個點，你們知道這些點有什么共同點嗎？

生14：它們都表示速度為80千米/時。

師：在變化中尋找不變的關系，讓數學變得更有魅力。

教學思考：教師引導學生充分挖掘圖像中隱含的信息，讓學生在“變”與“不變”的比較中厘清正比例圖像的特點和要素，提升學生自主探究能力。此外，教師引導學生應用圖像估值，讓學生將“數”與“形”有機結合在一起，在求同比較中發展學生推理能力，提高學生數學素養。

3. 鞏固練習，完善認知

案例2 小紅打字時間和打字數量如表2。根據表2數據，你能判斷打字數量和打字時間成正比例嗎？給出你的理由。

案例2 與案例1研究的內容基本一致，屬于基礎練習，教師讓學生獨立完成。從學生反饋來看，有的學生從“數”的角度出發，通過計算發現“打字數量與打字時間之比為定值”，根據正比例概念判別兩個量成正比例；有的學生從“形”的角度出發，通過描點、連線，根據圖像判斷兩個量成比例。

案例3 小軍和小明周末騎車去游樂場玩，他們兩次騎行的路程和時間的關系如圖3和圖4，你能根據圖像判斷這兩次騎行的路程和時間成正比例嗎？說一說你的理由。

該題主要考查學生對正比例圖像特點的掌握情況。解題前，教師引導學生根據以上練習對正比例圖像的特點進行歸納總結，學生發現：正比例圖像是一條經過原點的，從左下向右上延伸的直線。

師：根據圖像你們是否能判斷騎行時間和路程成正比例關系？

生1：圖3不是，圖4是，因為圖3中的圖像不是一條直線，而圖4中的圖像是一條直線。

師：非常好，你根據正比例圖像的特點給出了判斷。如果讓你們驗證這個判斷是否正確，你們該如何驗證呢？

生2：可以看看路程和時間的比是否一定，如果該比值一定，那么它們就是正比例關系，否則不是。

師：很好，請大家驗證一下。

生3：圖3中，=，=，顯然其比值不是一定的，所以它們不是正比例關系。圖4中，路程與時間之比均為，所以它們成正比例關系。

師：很好，對于以上兩種判別方法，你們更喜歡哪個呢？

生4：我喜歡用圖像來判別，圖像更加直觀，一目了然。

師：很好，現在我們在原有情境的基礎上變一變，你們有什么發現？（教師給出案例4）

案例4 小軍和小明兩人周末相約去游樂園玩，圖5是他們騎行路程和時間的關系。圖5與剛才的圖像相比有何不同，你們有什么發現？

教師先預留時間讓學生互動交流，然后展示學生交流成果。

生1：圖4中有一條直線，表明小軍和小明的速度是相同的。圖5中是兩條直線，表明他們騎行的速度不同。

師：如果騎行的距離是16千米，根據圖像你們能判斷誰先到達嗎？

生2：小明先到達，結合圖像可知，小明騎行16千米需要40分鐘，小軍騎行16千米需要60分鐘。

師：很好，僅根據圖像，你們能判斷他們兩人誰的速度更快一些嗎？

生3：小明的速度更快一些，因為除了原點外，虛線一直在實線的上方。

生4：圖像與橫軸所成的角度越大，速度越快，所以小明的速度更快一些。

師：說得非常有道理，大家不僅善于觀察，而且善于推理，這樣利用圖像可以快速解決問題。

教學思考：在練習階段，教師以現實生活為依托，引導學生應用所學知識解決實際問題，這樣既提升了學生的解題技能，又讓學生感悟了“學以致用”的真諦。同時，在此過程中，教師鼓勵學生進行總結歸納，進一步強化對正比例圖像的特點和要素的理解，讓學生充分感知圖像的直觀、形象、簡便等特點，促進學生直觀想象素養的培養和數學能力的提升。

4. 課堂小結，內化知識

該環節教師引導學生回頭看，對所學知識、方法、思想等進行總結歸納，組織學生進行互動交流，幫助學生積累活動經驗和提高學習能力。

教學思考：課堂小結是課堂教學的重要組成部分，是學生將知識內化為能力的重要途徑。教學中，教師要預留時間讓學生進行反思回顧，以逐漸完善學生的認知體系，提高學生的認識水平。

二、結語

在小學數學教學中，若想引發深度思考，讓學生學會學習，教師要少一些講授，多提供一些機會讓學生自主探究，引導學生在“變與不變”中探尋數學規律，以提高學生學習的主動性、積極性。在“正比例圖像”教學中，教師從學生已有的正比例概念入手，讓學生在比較中找到判斷正比例關系的另一種方法，進而讓學生感知圖像在解決實際問題中的直觀性，培養學生數形結合意識，提升學生數學素養。

總之，在小學數學教學中，教師應結合教學內容和學生學情創設一些有價值的問題，讓學生在解決問題的過程中學會思考、學會探索、學會歸納，提高其深度思維的能力。