精準把握學情，深究概念教學

［摘 要］ 為了精準把握學情，探究概念教學，文章以“因數和倍數”教學為例，設計了五個環節的教學：基于學情，建構倍數的概念；自主探究，發現倍數的奧秘；順學而教，建構因數的概念；自主探究，發現因數的奧秘；鞏固練習，后測學生掌握情況，讓學生在具體的乘法和除法算式計算中理解因數和倍數的概念。

［關鍵詞］ 因數和倍數；概念教學；學情分析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求學生通過簡單的歸納或類比，猜想或發現一些初步的結論；通過法則運用，體驗數學從一般到特殊的論證過程，從而發展學生的推理能力。“因數和倍數”一課讓學生在猜想和驗證中認識因數和倍數，學會在1～100的自然數中有序找出10以內某個數的所有倍數，以及100以內某個數的所有因數，為后續利用倍數的知識探索2、5和3的倍數特征、公倍數和最小公倍數，以及利用因數的知識探索分解質因數、公倍數和最小公倍數做好鋪墊。

一、課堂實錄

1. 基于學情，建構倍數的概念

師：（出示倍數的前測單）同學們，昨天我們已經完成了這份前測單，題目是：你知道什么是倍數嗎？畫一畫或舉例說明。老師把大家的前測單做了整理，主要有四種觀點：（1）倍數就是一組數里最大的數，比如2、6、10這三個數中，10是倍數；（2）倍數就是“誰是誰的幾倍”，比如紅花有2朵、綠花有12朵，綠花的朵數是紅花的6倍；（3）倍數是乘法中的積，比如8×7=56，56是倍數；（4）倍數就是除法中的被除數，比如24÷3=8，24是倍數；24÷4=6，24是倍數；24÷6=4，24是倍數；24÷8=3，24是倍數；24÷5=4.8，24是倍數。對于這四種觀點，你有什么想說的？先獨立思考，然后在4人小組里說說自己的想法。

生1：我認為第一個觀點是錯誤的，倍數不一定是一組數里最大的數，比如12是12的倍數，它們是相同的；而且我們不能說“10就是倍數”，要說成“誰是誰的倍數”。

生2：我認為第二個觀點是錯誤的，這里的倍數不是我們學過的“倍的認識”，所以也不是“誰是誰的幾倍”。

生3：我認為第三個觀點是錯誤的，倍數不是單獨存在的，是兩個數之間存在的一種關系，應該說成“誰是誰的倍數”。

生4：我認為第四個觀點是錯誤的，這個觀點和第三個觀點錯誤的原因是一樣的，應該說成“誰是誰的倍數”。

生5：我有補充，我認為第四個觀點中24÷5=4.8這樣的小數是不可以的，我們是在不是0的自然數范圍內研究倍數的。

師：既然這四種觀點都是錯誤的，你們能說說什么是倍數嗎？請你們把這四種觀點改一改。

生5：第一個觀點改成“誰是誰的倍數”，第二個觀點改成“倍數和幾倍不一樣”，第三個觀點改成“積是兩個乘數的倍數”，第四個觀點改成“被除數是除數和商的倍數”。

設計意圖：教育家蘇霍姆林斯基說，一個好的教師，是一個懂得心理學和教育學的人。教師在教學中要“以學定教”，先了解學生“在哪里”，再去設計課堂的教學活動。在這個環節中，教師由學生的前測結果引出認識倍數的教學內容，組織學生在辨析四種觀點中用自己的語言描述倍數的概念。

2. 自主探究，發現倍數的奧秘

教師出示任務：

（1）寫一寫，請寫出2、3、4、5、6這5個數的所有倍數；（2）標一標，在數軸上標出2、3、4、5、6這5個數的所有倍數；（3）想一想，你是怎么找出所有倍數的？

生6：2的倍數有2，4，6，8，10，12，14，16，18……；3的倍數有3，6，9，12，15，18，21，24……；4的倍數有4，8，12，16，20，24……；5的倍數有5，10，15，20，25，30……；我們可以根據這個數的乘法口訣來找出它的倍數。

師：同學們，我們來觀察2的倍數，你們發現了2的倍數有什么特征？

生7：我發現2的倍數都是2的乘法口訣里的數。

生8：屬于2的倍數的數的個位都是0，2，4，6，8。我還發現2的倍數都是偶數，不是2的倍數的數都是奇數。

師：我們再來觀察5的倍數，你們發現了5的倍數有什么特征？

生9：5的倍數都是5的乘法口訣里的數。5的倍數的個位是0或者5。

師：請你們觀察這些數的倍數，你們知道倍數的個數有多少嗎？最小的倍數是什么？最大的倍數是什么？

生10：倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。

設計意圖：在這個環節中，為了幫助學生應用倍數的概念發現倍數的奧秘，教師巧妙地設計了一個大任務：首先，讓學生找出這些數的倍數，并讓學生在列舉這些數的倍數過程中探究求一個數的倍數的方法，使他們發現找2的倍數就是2和某一個數相乘所得的積就是2的倍數，或者把2依次與1、2、3……等數相乘，再按從小到大的順序排列起來；其次，讓學生發現2和5的倍數特征并認識偶數和奇數，使學生在觀察2和5的倍數中建立初步的感性認知，在比較、分析和歸納中得出2和5的倍數特征；最后，讓學生發現一個數的倍數的基本特征：倍數的個數有無限個，最小是它本身，沒有最大的倍數。

3. 順學而教，建構因數的概念

師：（出示倍數的前測單）同學們，剛才我們跟隨前測單研究了什么是倍數，接下來我們用同樣的方法研究什么是因數。你能把剛才倍數前測單里的數學信息改成與因數有關的數學信息嗎？先獨立思考，然后在4人小組里說說你的想法。

生11：第一個觀點，2、6、10這三個數中，2是6的因數，2是10的因數。第二個觀點，2和6是12的因數。第三個觀點，7和8是56的因數。第四個觀點，24÷3=8，3和8是24的因數；24÷4=6，4和6是24的因數；24÷6=4，4和6是24的因數；24÷8=3，3和8是24的因數。

師：你們能說說什么是因數嗎？

生12：倍數和因數是一起出現的，乘數是積的因數，除數和商是被除數的因數。

師：看來在乘法或者除法算式中，都存在倍數和因數的關系，它們是成對出現的。

設計意圖：結合倍數的前測單，教師引導學生發現蘊含其中的因數，把倍數關系改寫成因數關系。這時，學生發現倍數和因數是成對出現的，乘數是積的因數，除數和商是被除數的因數，從而幫助他們建立因數的概念，溝通因數和倍數之間的聯系。

4. 自主探究，發現因數的奧秘

教師出示任務：

（1）寫一寫，請你寫出3、9、18、19這四個數的所有因數；（2）想一想，你是怎么找出所有因數的？（3）找一找，倍數和因數之間有什么聯系？

生13：因為1×3=3，所以3的因數有1，3；因為1×9=9，3×3=9，所以9的因數有1，9，3，3；因為1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因數有1， 18，2，9，3，6；因為1×19=19，所以19的因數有1和19。

生14：我有補充，我認為1×9=9，3×3=9，雖然這里有兩個3，但是我們寫因數的時候只要寫一個3就可以了。所以9的因數有1，9，3。

生15：我覺得我們寫因數的時候要像寫倍數一樣，從小到大排列。比如9的因數有1，3，9；18的因數有1，2，3，6，9，18。

師：你們是怎么找出所有因數的？

生16：我們可以根據乘法口訣來找，也可以把這個數分別除以1、2、3……看被除數能不能除盡，如果能除盡就是它的因數。

師：你們知道倍數和因數之間有什么聯系？

生17：倍數和因數是同時存在的，都是在非0自然數里。倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。因數的個數是有限的，最小的因數是1，最大的因數它本身。

設計意圖：在這個環節中，學生實現了學習方法和數學知識的遷移，他們將探究一個數的倍數應用到探究一個數的因數。學生在找一個數的因數過程中，第一步用乘法口訣思考哪兩個數的乘積是某個數，所以這兩個數都是某個數的因數；第二步在找因數中刪除重復出現的數，做到既不重復又不遺漏。在學生找出這四個數的因數后，教師進一步引導學生思考倍數和因數之間的聯系，深刻理解倍數和因數的含義。

5. 鞏固練習，后測學生掌握情況

出示鞏固練習題：

（1）把下面的乘法算式改寫成除法算式，或把除法算式改寫成乘法算式，再寫出哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。

7×8=56；1×11=11；45÷9=5。

（2）①36的因數有（ ），其中最小的是（ ），最大的是（ ）。

我是這樣想的：（ ）。

②8的倍數有（ ），其中最小的是（ ）。我是這樣想的：（ ）。

（3）①2的倍數的特征是（ ），5的倍數的特征是（ ）。

②判斷：18，40，36，15，5，19，哪些數是2或5的倍數？

設計意圖：適量的練習題不僅有助于學生掌握因數和倍數的概念，還有助于教師了解學生的掌握情況。第（1）小題考查學生根據乘法或除法算式找倍數和因數關系；第（2）小題考查學生求一個數的因數的方法和求一個數的倍數的方法，并且知道最大和最小因數、最大和最小倍數分別是什么；第（3）小題考查學生是否了解2和5的倍數特征。

二、教學反思

“因數和倍數”這節課包括認識因數和倍數、求一個數的因數的方法、求一個數的倍數的方法以及2和5的倍數的特征。在教學過程中，教師打破了原來的課時內容，對本單元的教學內容進行了重新整合，使課堂教學活動更加順暢。

1. 借助前測單，精準把握學情

前測單的目的是通過幾道前測題了解學生的學情，便于教師有針對性地開展教學活動。本節課中教師設計了“什么是倍數”這道前測題，不僅能了解學生對倍數的已有知識經驗，還作為教學資源呈現在這節數學課上，并組織學生圍繞前測單中這四種觀點開展深入討論，讓他們在辨析中建構倍數的概念。同時，教師利用修正后的這四種觀點，引導學生將其改寫成與因數有關的數學信息，幫助學生建構因數的概念，體會倍數和因數之間的內在聯系。

2. 借助大任務，開展自主探究

大任務的設計減少了課堂中的一問一答，讓學生在大空間中靜悄悄地獨立思考，在小組合作中發現知識的奧秘。本節課中為了幫助學生掌握求一個數的倍數的方法，教師設計了一個大任務，讓學生在寫一寫中探究找倍數的方法，在標一標中感受倍數的基本特征，在想一想中歸納求一個數的倍數的方法。為了幫助學生掌握求一個數的因數的方法，教師同樣設計了一個大任務，讓學生在寫一寫中探究找因數的方法，在想一想中歸納求一個數的因數的方法，在找一找中尋找因數和倍數之間的關聯。

3. 借助結構化，實現方法遷移

在小學數學教學中，教師要精心設計教學活動，幫助學生發展結構化思維。在“因數和倍數”這節課上，教師先分再合，即讓學生先從比較熟悉的倍數的概念入手，幫助學生牢固建立倍數的概念；然后讓學生將學習倍數的方法遷移到學習因數的過程中，幫助他們牢固建立因數的概念；最后讓學生在認識因數和倍數中感悟倍數和因數屬于關系概念，明白它們是成對出現的，既有聯系又有區別。

綜上所述，學情是課堂的指向標，為教師指明了教學的方向；也是課堂的探測儀，為教師設計教學活動提供了依據。因此，教師要用好學情這一教學資源，從學情出發尋找適合學生的學習路徑，整合相關的因數和倍數的教學內容，讓學生在大任務中經歷數學知識和數學方法的學習，最終發展學生的推理能力。