面接觸物體沿接觸面法向方向的加速度一定相等嗎

通過面接觸可以看作剛體的兩個物體，由于剛體受力能夠保持形狀和大小不變的性質，所以面緊密接觸兩物體，他們沿著接觸面法向方向速度相等，這是顯而易見的；然而法向方向與加速度存在什么關系，是否也一定相等呢？學生常常認為他們一定是相等的，這是錯誤的認識，是亟待解決的一類問題。文章分析了教學中普遍存在的這種錯誤，并使用了相對運動法和求導法兩種方法詳細地討論了面接觸物體加速度關聯問題，最后提出了有效的教學建議。

一、問題提出

例1.如圖1所示，一半徑為r的半圓柱體沿水平方向做加速度為a的勻加速運動，在圓柱面上擱置一豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動，當圓柱體的速度為v時，桿與半圓柱體接觸點P的角位置為θ。求此時豎直桿運動的速度和加速度。

錯誤解答：直桿上的P點和半圓柱體接觸點沒有分離，始終緊密接觸，故沿法向方向的速度相同，即vPcosθ=vsinθ，化簡得vP=vtanθ；對分別將直桿下端P的加速度aP及圓柱體的加速度a沿著接觸面法向方向進行分解可得aP cosθ=asinθ，化簡得aP=atanθ。

直桿與半圓柱體緊密接觸，沒有分離，故沿著法向方向二者沒有相對運動，法向分速度相等，因此對速度的求解是正確的。對于加速度求解，很多學生根據a=得出：經過相同的時間，沿著法向方向加速度也相等。以上學生作答似乎嚴密，但實際上加速度的求解是錯誤的，教學中發現學生在這里很容易出錯。

二、特例檢驗

我們用一個特例來檢驗一下。當θ=0時，直桿下端運動到半圓柱頂，a sin θ=0，aP cos θ≠0，可見a sinθ≠aP cos θ，所以aP=a tan θ是錯誤的。下面我們分別用兩種方法給出正確解析。

三、錯因分析

解析1：相對運動法

題后反思：我們也可以直接對公式vPcosθ=vsinθ兩邊分別對時間求導化簡得aP cosθ=asinθ-。可見桿下端與半圓柱體接觸點在法向方向的速度分量的大小變化率是相等的。由以上兩種方法得出的結果可知aP cosθ≠asinθ，aP≠atanθ，即桿端P的加速度沿著法向方向分量與半圓柱體的加速度a沿著接觸面法向方向分量并不相等。究其原因是豎直桿上的P點相對半圓柱體做變速圓周運動，相對半圓柱有沿著法向指向圓心方向的向心加速度an=-。接下來，我們用相對運動法分析木塊和斜面相對地面的加速度關系。如圖4所示，一物塊放在斜劈上，各接觸面均光滑。分析木塊和斜劈相對地面的加速度關系。物塊沿斜劈的斜面下滑，而斜劈后退；以斜劈為參考系，物塊始終緊貼在斜面上，且物塊相對于斜劈沿著斜面向下滑動，有沿著斜面向下方向的加速度。物塊并沒有相對于斜面轉動。因此，在垂直斜面方向上，物塊、斜面的加速度分量相等。可見用相對運動法能有效解決此類問題。我們用此方法來分析例2。

例2.一半徑為R的半圓柱面在水平面上向右做加速度為a的勻加速運動，在柱面上有一系在水平繩子自由端的小球P，繩子的另一端固定在墻面上。如圖5所示，當小球相對于半圓柱面的角位置為θ時，半圓柱面的速度為v，求此時小球的速率和加速度的大小。

解析：相對運動法

綜上所述，對面接觸物體，其接觸面間沿法向方向具有相同的速度，接觸點在法向方向的速度分量的大小變化率是相等的。但法向方向加速度分量不一定相等。繩連接和桿連接與面接觸物體具有類似的規律，連接體的加速度關系比較復雜，要考慮到連接體之間，繩桿等是否有相對轉動而引起的向心加速度。當然高中階段不要求定量計算加速度大小不同的連接體問題，但是此類問題并沒有超出高中學生的能力問題。教師教學中應該慎重把握教學深度，建議用相對運動法，畫矢量圖形直觀地處理該類問題。實踐表明，學生還是比較容易理解和掌握的。對于用求導法計算，難點在于復合函數求導法則，建議教師對學有余力的學生介紹一下。教學中要特別強調對于繩連接和桿連接與面接觸物體等三類連接體，只有在接觸面之間、繩桿沒有相對轉動的條件下，連接體在接觸面法向方向、沿著繩桿方向才具有相同的加速度，否則，學生會錯誤地認為任何情況下都是相等的。

（作者單位：江蘇省宿遷市第一高級中學）

編輯：溫雪蓮