提升高三理科生數學運算能力的教學實踐

以某高中高三部分學生為研究對象，基本初等函數為測試內容，結合調查問卷、教師訪談等方法對學生的數學運算能力進行調查，在結果分析后了解了高三學生數學運算能力現狀，并提出培養學生數學運算能力的有效策略，包括強化課本基礎知識學習、加強題目多元變化訓練、改變學生的運算習慣。

一、運算能力概述

（一）運算能力的定義

《中學數學教育教學論》明確指出，運算能力是基于基本的運算法則，按照相關解題步驟去推理運算并解決問題的能力，是分析題目取得結果的重要條件，快速運算能力的表現就是學生能夠通過簡潔、方便的方法和途徑解決問題。從運算能力結構上來看，主要包括準確程度、快慢程度、簡便程度和合理程度四個判定運算能力水平的要素，能夠為理科學生運算提供相應標準。

（二）運算能力水平劃分

參照數學課程標準，將高三學生數學運算水平劃分為五個層次。

第一層次，學生對運算對象不清晰，對于運算對象的基本概念不夠理解。第二層次，學生對運算對象和基本概念有一個清晰的印象，能夠有效掌握相關數學知識。第三層次，學生對運算對象和基本概念都有明確的印象。第四層次，學生對運算對象和基本概念都有明確的印象，能夠有效應用運算思維和程序。第五層次，學生對運算對象和基本概念都有明確的印象，在綜合性較強的題目中能夠對相關知識進行靈活運用。

二、研究設計

本文以四川省樂山市外國語學校高中理科生為研究對象，抽取男女生各100人，以初等函數為主題，通過實地調查和設計運算題目的方式，研究高三理科生數學運算水平。運算題目一共十道，共一百分，通過試卷發放、回收、整理、分析數據的過程，了解高三理科學生的數學運算能力。

（一）主題確定

筆者在高中數學課程標準的基礎上，以基本初等函數題目為載體，對高三理科學生數學運算能力進行考查。筆者選取了人教A版高中數學必修一的指數、對數和冪函數等相關知識，要求學生對函數的概念和意義進行明確，能夠掌握基本的運算思路和方法，并體現在數學運算能力水平上。

（二）題目的設計

對于運算能力試卷題目的設計，筆者結合數學教材和題目的難度，共設計十道題，涵蓋數學運算能力水平的五個層次，旨在通過分數對學生的運算能力水平進行分析。

第一題和第二題，均對相關函數的概念進行考查；第三題和第四題，分別對函數運算性質和指數與對數關系基本運算進行考查。第五題和第六題，分別對指數公式變形求解和對數運算性質進行考查。第七題和第八題，分別對平方差公式和對數運算性質與二次函數性質的運算能力進行考查。第九題和第十題，分別對對數復合函數單調性和冪函數性質進行考查。設計題目如下：

1.當對數log（x-1）（5+4x）有意義時，則需滿足的條件有 .（填正確的序號）

（1）x-1≠0 （2）x-1>0且x-1≠1

（3）5+4x>0 （4）5+4x∈R

2.函數（m2+2m-2）x（m-1）+n+1是冪函數，則需滿足的條件有 .（填正確的序號）

（1）m2+2m-2=1 （2）m2+2m-2≠0

（3）n+1∈R （4）n+1=0 （5）m-1≠0

3.比較下列數的大小，填“>，=，<”號.

（1）1.012.7 1.013.5

（2）0.75-0.1 0.750.1

（3）In0.5 In0.6

（4）log1.51.6 log1.51.4

4.若alog45=1，求5a+5-a的值.

5.設2a=5b=m，且+=2，求m的值.

6.已知x=lnπ，y=log52，z=e-，則π，y，z有怎樣的大小關系？請說明理由。

7.求函數f（x）=log2·log（2x）的最小值.

8.求函數f（x）=（log0.5x）2-2log0.5x+3的單調區間.

9.已知函數f（x）=-2x2+4x-1，定義域為［m，n］，且m>0，值域為，求m，n的值.

10.已知函數f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數，且f（3）<f（5）.

（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；

（2）若y=loga［f（x）-ax］（a>0且a≠1）在區間［2，3］上為增函數，求實數a的取值集合.

（三）分數評定和數據收集

整套試卷題目滿分為100分，每道題目分數10分，按照每20分劃分數學運算能力水平層次，對學生運算能力水平進行判定。0～20分為第一層次運算水平，21～40分為第二層次以此類推，81～100分為第五層次。在本研究中，共同發放了100份試卷，有效回收試卷100份，回收率百分之百。

數據顯示，第一，大部分高三理科生數學能力水平位于40～80分，平均值在70分左右；第二，高三理科女生比男生得分略高，說明女生運算能力較高于男生，需要教師著重分析男女學生的思維差異，選用不同的教學方法展開學習，推動學生的共同進步；第三，部分學生位于40分以下，處于第一、二層次的運算能力水平，需要教師對該部分學生加以重視引導。

（四）學生運算錯誤分析

通過試卷的調查顯示，高三理科學生數學運算水平基本處于第三、第四層次的水平，整體水平較高。但在閱卷過程中，筆者發現學生常常出現的相關錯誤，并對其進行了歸納總結。第一，部分學生對函數運算基本概念理解不清晰，對于指數冪函數和對數函數的概念有所混淆。部分學生沒有對函數的概念進行清晰的認知，大多數都是靠死記硬背，對該部分的問題沒有引起足夠的重視。第二，部分學生驗算過程中沒有形成良好的習慣，對問題的結果不能做出準確的判斷。第三，部分學生在解答過程中出現粗心大意的情況，沒有發現隱含條件，導致運算流程較為復雜。第四，部分學生思維沒有跳出教材給定的解題思路的局限性，不能根據題意解答問題。

三、提升高三理科生數學運算能力水平的策略

（一）強化課本基礎知識學習

數學運算要求學生根據運算法則解決數學問題，這需要學生充分把握數學概念、公式與法則，在熟練把握數學基礎知識的基礎上進行快速、精準運算。

首先，創新數學基礎知識教學方法。在講解定理、公式、法則等數學基礎知識時，教師要摒棄“灌輸式”“演示式”的傳統教學方法，結合現實生活創設真實生動的數學情境，通過呈現推理過程幫助學生深入理解相關概念、法則、公式等數學基礎知識，使學生在充分理解的基礎上實現舉一反三，切實依托數學運算能力培養學生的數學實踐能力。如在函數應用教學過程中，教師可以緊密圍繞日常生活中的問題建立函數模型，引導學生自主歸納幾種生活問題的共同點和不同之處，并在合作探究學習中推理函數的相關概念，通過將學習主動權交給學生，激發學生的學習與探究興趣，加深學生對基礎知識的理解和運用。

其次，要堅持“以生為本”的教學理念，充分尊重學生的主體地位。在基礎知識記憶中，教師要尊重高三學生的階段特點和學習規律，設計“以生為本”的數學教學活動，支持學生在自主、合作與探究學習中完成數學基礎知識的內化整合、實踐應用與遷移創新，幫助學生準確快速地記憶相關概念，提升學生思維的邏輯性、辯證性與創新性，使學生在探索知識的過程中理解數學基礎知識的基本內涵。比如，在三角函數的課堂教學中，教師可以利用“奇變偶不變，符號看象限”和“一正，二定，三相等”等不等式相關口訣，幫助學生快速記憶做題方法，并以此為基礎理論推導其他相關知識的口訣方法。在復習相關知識的過程中，教師可以用圖表的方法讓學生進行對比學習。再如，在函數復習中，教師可以運用圖表加深學生對數學基礎知識的辨析與記憶，將指數、對數、冪函數相關概念與圖解制作成表格，使學生通過對比與辨析加強記憶，避免知識點的混淆。

最后，要充分利用課前和課后時間。在課堂開始前，教師要借助誦讀、提問、游戲等形式引導學生回顧上課所學的知識、公式，加深學生對基礎知識的印象，引導學生養成良好的學習習慣。在課堂教學結束后，教師應通過加強訓練的方式幫助學生鞏固理解相關知識，多做一些形式不同的概念題目，讓學生在練題刷題的過程中，加強對基礎知識的掌握。

（二）加強題目多元變化訓練

在課堂教學過程中，教師要通過題目的多元化訓練，引導學生做題的基本技巧，借助一題多解、一題多變和多題一解等方法，激發學生的學習興趣，提高學生對問題的分析歸納能力。

首先，要引導學生展開一題多解的相關訓練。教師要運用同一類題目，引導學生從不同的角度思考分析，運用不同的思維方式和運算方法得出多元化的解題方式。在每一章節教學結束之后，教師可以自主設計應用性和代表性較強的習題，引導學生展開思維的訓練，從而掌握一道題目的不同解決方法。

其次，要引導學生展開一題多變的訓練。一方面，教師要設計條件不變的題目，引導學生通過條件來推出結論，加深理解二者之間的聯系。另一方面，教師引導學生通過條件改變對一類題目進行新的推論，幫助學生認識條件對于問題結果所產生的影響。在復習教學的過程中，教師多設計一題多變的題目，運用不同知識之間的相互聯系，幫助學生發散思維，深入思考探究問題，提高學生問題分析能力。

最后，開展多題一解訓練。同一類型的題目從表面上看解法條件和結論都不相同，但解題思路和主要步驟基本相同。教師要明確某一類型的題目解題技巧和方法的共同之處，就同一類型題目要做好習題分類，幫助學生加強訓練，提高學生的運算能力。比如在導數的教學過程中，對最值極值、單調性等不同類型的問題進行歸納總結，引導學生發現解題方法和步驟的相似性，有效轉變學生的思維觀念，提高學生的數學運算水平。

（三）改變學生的運算習慣

在高三理科生學習數學的過程中，部分學生存在不良的運算習慣，這些習慣嚴重阻礙了學生運算能力水平的提升。因此，教師要加強對這些問題的重視，找尋問題存在的原因，并提出合理的解決方案。

一方面，教師要引導學生認認真真做好每一道題，讓學生體驗解題的全過程。在這一過程中，教師要以提升學生數學運算能力為目標，引導學生關注解題過程，運用問題激勵、任務驅動的方法引導學生循序漸進地進入深度學習狀態，促使學生在問題分析及解決中掌握以前漏缺的相關知識點，做到查漏補缺。

另一方面，教師要引導學生對所有知識秉持高度重視，不能存在僥幸心理，不僅要抓重點考點，也要對其他知識有所把握，只有這樣才能在考場中胸有成竹，無所畏懼。對于較為困難和不擅長的題目，教師更應該激勵學生加以克服，引導學生深入分析問題、解決問題，并通過錯題本加以復習，有效提升學生的數學運算能力。

此外，教師還要引導學生充分利用草稿紙，將自己的思路進行梳理，養成良好的卷面習慣，幫助學生在運算過程中理清邏輯思維，提高運算能力。

綜上所述，當前高中數學課程標準對學生的運算能力提出了更高的要求。教師要轉變傳統的教學思維，以培養學生的數學運算能力為目標，根據高三理科生的階段特點與學習規律，創新數學教學理念與方法，以促進數學教學提質增效。在這一過程中，教師不應以成績衡量學生，要引導學生充分掌握數學運算的基本理念、方法、技能以及規律等，課堂中因材施教，啟發誘導，重點關注解題過程，注重學生的性別思維差異，推動高三學生運算水平的整體提升。

（作者單位：四川省樂山市外國語學校）

編輯：曾彥慧