核心素養視域下GeoGebra軟件在高中數學課程可視化教學中的應用

新課標以培養學生學科核心素養為導向，將信息技術和數學教學內容有效結合，提高數學教學質量。GeoGebra（GGB）軟件是一種動態化操作軟件，涵蓋幾何、表格、圖形、統計、代數、微積分等教學內容。在高中數學教學中充分利用GGB的動態表現形式和可視化功能，能將抽象的數學關系和數學問題以更加直觀的方式展現出來，加深學生對數學知識的理解。

一、教材分析

“橢圓”選自人教版普通高中數學教科書A版，選修1第三章第3.1節。橢圓是生活中較為常見的圓錐曲線，但橢圓的形狀與橢圓的定義之間并沒有直接聯系，需要以數學思維進行分析、推理，探究橢圓形狀變化的本質。從學習地位來看，教材中這個單元按照教學先后劃分，包括橢圓、雙曲線以及拋物線三種類型。三類曲線都是按照幾何特征、標準方程、方程中的曲線性質三個步驟由淺入深地進行研究，在研究內容、研究過程以及研究方式上具有極大的相似性。橢圓是研究的第一類曲線，對后續兩類曲線的研究具有示范作用。因此，教師在教學中尤其要重視其蘊含的數學思想、研究基本方式以及邏輯思維方法等，為其他曲線的類比研究做好鋪墊。

二、學情分析

高二學生已經具備研究直線和圓的方法和思想，具備研究橢圓及其標準方程的坐標法思想和數學運算方式等。但是在教學實踐中，教師應該關注學生的數學抽象思想和運算能力，保證學生能準確掌握橢圓的定義。

三、教學方法

基于以上分析，筆者初步確定從幾何的角度，利用坐標法來分析橢圓的標準方程及其幾何性質。首先借助實驗引導學生了解橢圓的幾何特征和幾何定義；其次從定義中推導橢圓的標準方程。在此過程中總結建立曲線方程的步驟，培養學生的數形結合、等價轉化等數學核心素養，并理解橢圓方程中各個符號在幾何中對應的含義，加強學生對橢圓定義的理解。主要應用的教學工具有GeoGebra軟件、PPT、黑板。

四、教學過程

（一）問題引導，營造學習氛圍

筆者首先在課堂上提問學生圓的定義，在學生舉手回答后，筆者總結：圓是指到某一定點距離相等的點的軌跡，該定點為圓的圓心，定點到軌跡點的距離為半徑。為了提高學生的學習興趣，筆者利用GeoGebra軟件引導學生學習，具體操作如下：

1.點擊GeoGebra軟件中的“定長線段”，彈出待輸入點和線段長度的指令框。

2.根據指示在線段點位置處輸入2，在長度位置輸入AB，代表建立長度單位為2的AB定長線段。

3.完成創建后，筆者直接在軟件中進行演示，分別拖動線段的A點和B點，并組織學生觀察、討論隨著筆者的拖動操作，在線段的A點和B點的移動中，線段分別產生了什么變化。學生觀察后發現：拖動定長線段的點A，線段隨著點A的移動而移動；拖動定點B，則B繞著點A轉動。據此，筆者引出了B為動點的概念。

4.在軟件中將動點B定義為“跟蹤”，隨后點擊“啟動動畫”，點B自行圍繞點A旋轉，其運動軌跡形成圓，如圖1所示。

（教學思路：在帶領學生學習新的數學知識之前，對學生已經學習過的數學知識進行復習，一方面對原有知識進行強化，另一方面能激活學生原有知識結構中的坐標、圖形等概念。同時在GeoGebra軟件中進行演示，能激發學生的學習興趣，引導學生積極參與課堂學習，為后期利用GeoGebra軟件直觀演示教學，培養學生的抽象思維、推理能力和想象力奠定基礎。）

（二）繼續變式教學，引入新的知識點

筆者首先利用PPT播放橢圓形狀，引導學生從對圓形的直觀感受轉化為橢圓的直觀感受。隨后筆者以提問的方式鼓勵學生猜想橢圓的定義。最后教師再利用GeoGebra軟件引導學生深入探索橢圓的形成及其定義，具體操作方式為：

1.在軟件中選擇滑動條，建立變量并明確變量的取值范圍，設變量為a。

2.以F1為圓心，繪制半徑為2a的圓。

3.在繪制好的圓內任意選擇一處F2，測量從圓心到圓內任意一點的距離2c。

4.在圓的軌跡上任意選擇一點A，將點F2和點A相連并作出AF2的垂線，垂線與AF1相交于點M，得到MF2=AM，借此筆者引導學生思考MF1+MF2、MF1+AM、AF1、2a之間存在的關系，最后得出MF1+MF2=MF1+AM=AF1=2a。

5.在GeoGebra軟件中，將點A作為控制動點，將點M作為追蹤動點，隨后點擊“啟動動畫”生成M點的運動軌跡，如圖2所示。

筆者引導學生觀察由M點運動軌跡生成的圖像，學生得出這一運動軌跡實際上是橢圓的結論。在此基礎上筆者通過提問和小組討論引導學生思考橢圓的數學特征，得出橢圓的定義為：在平面內到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡。

為了研究橢圓的定義，筆者在學生完成討論后，繼續操作GeoGebra軟件：

6.調整軟件滑動條，以此改變量a值，帶領學生從軟件中直觀觀測隨著a值的變化，圖形的變化情況，隨后提問并組織學生討論2a和2c的值與圖形之間的關系，最后筆者再進行總結：2a>2c>0時，圖形為橢圓；2a=2c時，圖形為圓，如圖3所示。當2a<2c時，演示軟件中AF2的垂線與AF1無法相交，并未形成圖形，如圖4所示。根據以上圖形的變化，筆者在前期得到的橢圓定義基礎上帶領學生進一步完善，得到更為準確的橢圓定義為：在平面內的兩個定點F1與F2之間存在的距離之和為常數2a，并且2a大于F1F2的絕對值2c時，由2a生成的點的運動軌跡為橢圓，并且稱兩個定點F1、F2分別為橢圓的左焦點和右焦點、F1F2即2c為焦距，從橢圓的定義中可以看出a>c>0。

（教學思路：在這一階段的教學中，筆者首先利用GeoGebra軟件將抽象的橢圓概念知識進行可視化演示，并利用動畫生成功能直觀演示橢圓的形成過程，不僅能集中學生的學習注意力，還能幫助學生理解橢圓背后蘊含的抽象數學概念，以降低學生理解的難度。）

GeoGebra軟件以圖形的方式直觀地展示概念，學生能通過觀察圖像的變化和分析圖像變化后的數學關系，理解橢圓的相關概念。在這一階段，筆者在學生了解圖像的變化后，主要以提問和小組討論的方式組織學生自主概括其中的關聯性，并嘗試總結橢圓的概念。隨后筆者再通過演示，讓學生觀察、分析橢圓的概念，對這個知識點進行循序漸進的理解。通過這一階段教師可以有效培養學生的學科核心素養，包括數學抽象思維、邏輯推理能力以及想象能力等。

維果斯基的“最近發展區”理論強調教師開展教學活動時應該選擇合適的工具協助學生盡可能減小最近發展區，讓學生達到更高層次的學習水平，培養學生良好的數學思維能力。筆者在進行橢圓概念教學時，選擇GeoGebra軟件將抽象的橢圓概念知識轉化為直觀的橢圓圖形變化問題，幫助學生初步感知橢圓的概念。之后，通過軟件中的滑動條變化展示橢圓中a和c的變化及其與橢圓的關系，從而對學生的原有知識結構進行優化，在一系列教學活動中培養學生的交流能力、想象能力、抽象思維能力、邏輯思維能力等。

（三）知識的鞏固和強化

（作者單位：溧陽市光華高級中學）

編輯：蔚慧敏