關注知識聯系突出融合關系發展核心素養

[摘 要] 關注數學聯系，突出知識間的融合關系，可促使學生更好地理解教學內容，提升學習能力，發展數學核心素養. 文章以“拋物線的標準方程”教學設計為例，從“新舊聯系，揭露主題”“多元聯系，構建新知”“變式應用，鞏固新知”“歸納總結，提煉升華”四個環節談一談設計理念與思考.

[關鍵詞] 聯系;融合;核心素養

辯證唯物主義認為事物之間具有普遍聯系的特征. 數學學科與其他學科之間、數學與現實生活之間、數學知識與知識之間都有千絲萬縷的聯系. 關注知識聯系，挖掘其中的融合關系是完善學生認知結構，發展學生數學學科核心素養的必經之路. 數學知識結構可視為與數學相關的各種聯系所組成的蛛網結構，它由縱橫交錯的聯系所組成，其中包含了并列、相似等層級結構[1].

教學設計

1. 新舊聯系，揭露主題

問題1 在本節課之前，大家已經探索過一些曲線，還記得當時研究了它們的哪些內容嗎？用了哪些研究方法或思路？

問題2 本節課將要研究拋物線這一類曲線，猜想需要研究它的哪些內容，可以用什么方法來研究？

上述兩個問題成功激發了學生的興趣. 經回憶，學生提出之前探索過的曲線有橢圓、雙曲線等，著重從它們的概念、標準方程、幾何性質與應用等方面展開了分析與探究，基本思路可分為如下幾步：①抽象曲線的定義;②結合定義構建標準方程;③探索曲線的幾何性質;④探尋直線與曲線之間的位置關系;⑤用曲線性質解決實際問題.

類比橢圓與雙曲線的研究方法，學生認為拋物線的研究可從“定義、標準方程、幾何性質與應用”四個方面展開. 教師順勢揭露本節課的教學主題為拋物線的標準方程.

設計意圖 舊知研究方法的回憶為學生指明了新知研究方向，在師生積極的互動中，學生不僅明確了本節課的研究主題，還從宏觀的角度認識了拋物線的研究思路. 此環節明確提出本節課教學的主要目的在于讓學生明晰研究拋物線的思維策略.

研究解析幾何不外乎兩個方向：①結合已知條件建立曲線方程;②由方程分析曲線的幾何性質. 不論是從代數還是幾何的角度出發進行研究，都離不開數形結合思想的應用. 此環節的教學設計成功增強了前后知識、方法與思想的聯系，為接下來的教學做鋪墊.

2. 多元聯系，構建新知

問題3 拋物線的定義是什么？如何驗證該定義？拋物線的形狀是怎樣的？

如圖1所示，教師借助信息技術手段（幾何畫板）動態演示拋物線的形成過程，并要求學生說一說每一條拋物線上的特殊點是什么.

追問：在我們生活實際中存在大量拋物線，請列舉一些實例.

設計意圖 明確拋物線的概念是建立拋物線標準方程的前提，從猜想到驗證離不開學生積極的思考，由定義出發實施教學是最常見的教學策略. 此處，教師帶領學生緊緊圍繞拋物線的定義，從“三定”（定點、定直線、定距離）確定拋物線的標準方程，并借助幾何畫板引發學生認識線段KF的中點的特殊性. 列舉生活實例，意在讓學生感知生活與數學的聯系，感悟研究拋物線的重要性.

問題4 拋物線的標準方程該如何推導？想一想橢圓的標準方程的推導方法.

在問題4的引導下，師生、生生積極互動，共同復習并總結橢圓的標準方程的推導過程，分別為：建系、設點、列式、代入與化簡.

追問1：推導拋物線方程的第一步是建系，該怎么建系呢？為什么？

學生通過合作交流，最終獲得三類建系方法（見圖2）.

追問2：觀察這三種建系方法，哪種更便利一些？說明理由.

要求各個小組選擇其中一種建系方法，用來推導拋物線的方程，完成后各小組展示交流.

學生對這三種建系方法進行運算與推理后獲得方程：①y2=2px-p2;②y2=2px;③y2=2px+p2. 其中p>0，p=KF.

新知建構1 根據上述結論，學生經交流后一致認為第二種建系方法最簡潔、美觀，由此確定y2=2px為拋物線的標準方程，

，0為焦點坐標，x=-為準線方程，這里涉及焦準距（用p表示）的概念，即焦點F到相應準線l的距離.

在問題的驅動下，學生類比橢圓的標準方程的推導過程，從真正意義上明晰拋物線方程的建立應遵循的步驟，并通過互動明確建系方法，在最簡潔、最美原則的驅使下，確定最合理的建系方法. 由于曲線關于橫軸對稱，不關于縱軸對稱，因此方程必然含y2項，不含x2項（但含x項）.

上述一系列的教學設計，對發展學生的思維能力、抽象能力、運算素養與直觀想象素養等具有重要意義. 因此，突出知識間的融合關系是發展學生數學學科核心素養的關鍵.

問題5 是否還存在其他的建系方法？如調整拋物線的開口方向，又能獲得哪些形式的拋物線的標準方程？

面對問題5，基于獨立思考與合作交流，學生很快就提出了新的建系方法（見圖3）.

鑒于學生對函數圖象的對稱變化比較熟悉，此處教師適當引導學生從對稱變化的角度來猜想與論證方程，獲得以下三類形式的標準方程：①y2=-2px;②x2=2py;③x2=-2py. 其中p>0.

追問1：上述三類形式的標準方程有哪些異同點？

追問2：函數y=x2-2x+3的圖象確定為拋物線，我們能否確定它是拋物線的標準方程？

追問3：若y2=x和y=x2的圖象均為拋物線，這兩者是否均為拋物線的標準方程？是否都能表述為“y是x的函數”？

設計意圖 此環節通過幾種建系方法的類比，使學生感知其中的共同點為：這些都是二元二次方程，零點為原點，焦點均位于坐標軸上;差異點為：方程中的符號、一次項、平方項不同，拋物線的開口方向與焦點位置不同. 綜上可知，一次項的變量決定焦點位于的坐標軸，一次項的正負決定焦點所在的位置.

上述設計的目的在于讓學生明確“焦點看字母，開口看符號”的規律，深化學生對函數的概念，以及拋物線的標準方程的認識.

新知建構2 填表分析：

設計意圖 設計該表格的意圖在于突出拋物線的標準方程與其他知識之間的聯系：第一點，讓學生感知概念的基礎性作用;第二點，借助圖象、焦點坐標、開口方向、準線方程等，表征拋物線的標準方程，讓學生從多維度理解拋物線的標準方程，從真正意義上實現知識的互相轉化與融合;第三點，類比二次函數，凸顯方程與函數之間的聯系，促使學生重新審視自身的認知結構，為形成批判性思維奠定基礎.

3. 變式應用，鞏固新知

例1 已知y2=4x為拋物線的標準方程，那么該拋物線的焦點坐標、準線方程分別是什么？

變式題1：已知y=4x2為拋物線的方程，那么該拋物線的焦點坐標、準線方程分別是什么？

變式題2：已知（-2，0）為拋物線的焦點坐標，那么該拋物線的標準方程是什么？

變式題3：已知y=-1為拋物線的準線方程，那么該拋物線的標準方程是什么？

例2 若拋物線過點P（-2，4），寫出該拋物線的標準方程.

變式題：如果拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的某一點P與焦點F之間的距離恰巧是4，y軸與點P之間的距離為1，那么該拋物線的標準方式是什么？

設計意圖 對數學事物進行準確表征是學生獲得長時記憶的重要方法，究竟該如何從多維度準確表征同一個數學對象，是值得每一個學生思考的問題，靈活轉化與理解表征方式是學生從真正意義上掌握新知的關鍵[2]. 此環節，教師借助例題和變式題，帶領學生對具體的拋物線的標準方程、準線方程、焦點坐標、圖象等進行拓展，促使學生從真正意義上掌握教學內容，在理解的基礎上觸類旁通，穩固認知結構.

4. 歸納總結，提煉升華

問題6 本節課所研究的與拋物線相關的內容有哪些？應用了哪些數學思想方法？

問題7 根據拋物線標準方程的基本研究思路來看，后續咱們研究的內容有什么？

設計意圖 本節課教學的目的并不僅僅在于傳授知識與技能，更重要的是優化學生的思維，促使學生自主探尋知識間的聯系，為發展學生的數學學科核心素養服務. 總結環節的設計一方面促使學生縱觀整節課的教學過程，從宏觀的角度來分析研究過程、思路與方法，提煉數學思想，積累學習經驗，發展數學能力;另一方面為接下來的教學奠定基礎.

幾點思考

1. 關注類比，觸類旁通

開普勒曾經說過：類比是最值得信賴的老師，它能有效揭示數學的奧秘，因此我珍視類比勝過一切. 類比是將兩個在某些方面相似或相同的對象放在一起比較，推導出它們在其他方面相似或相同的一種推理形式，它是揭露數學規律，以及數學對象之間的聯系的重要方法[3].

在教學中，新舊知識的類比可將原有知識作為新知的“生長點”，使學生從中發現新知的特征與規律，實現知識的觸類旁通. 本節課的雙曲線、橢圓的研究思路與拋物線的研究一脈相承，因此類比它們，可促進學生認知順應與同化，成功構建新知.

2. 關注聯系，融會貫通

將各個知識有機地融合在一起，形成完整的知識體系可深化學生理解. 事實證明，數學知識間，大到學科，小到知識點，都存在一定聯系. 關注知識間的聯系，并從整體性與邏輯性的角度認識、理解、應用這些聯系，可掌握知識本質，實現知識的融會貫通，這也是發展學生數學學科核心素養不可或缺的一關.

3. 緊扣本質，一通百通

在教學中，若將目光鎖定在“部分”上，則學生無法從真正意義上理解知識間的聯系;只有緊扣知識本質，促進知識“部分”與“整體”的融通，才能讓學生從真正意義上理解教學內容. 本節課的本質為“建系”，因此教師在授課時緊扣這個本質，引導學生從真正意義上實現對知識的一通百通，能有效促進學生數學學科核心素養的發展.

參考文獻：

[1] 約翰·杜威. 我們如何思維[M]. 北京：新華出版社，2010.

[2] 李庾南. （數學）自學·議論·引導（教學法）[M]. 北京：人民教育出版社，2004.

[3] G.波利亞. 數學與猜想：數學中的歸納和類比[M]. 李心燦，王日爽，李志堯，譯. 北京：科學出版社，2001.

作者簡介：沈佳瑤（1999—），本科學歷，中學二級教師，從事高中數學教學工作.