多視角探究高考解析幾何問題

[摘 要] 文章以兩道高考解析幾何試題為載體，多角度探究解決方法.從運(yùn)動(dòng)變化的源頭上由因?qū)Ч槃?shì)而為;以目標(biāo)為導(dǎo)向由果索因，逆向思考;從斜率雙用的角度建立直線方程;從二次曲線系的角度用一次（直線）建構(gòu)二次;通過平移齊次化建構(gòu)直線斜率的和積關(guān)系;通過二次曲線的極點(diǎn)、極線來解決定點(diǎn)、定直線問題.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;多視角;定點(diǎn);定直線

解析幾何的研究對(duì)象是幾何，研究方法是解析法，對(duì)象的載體是直線與圓錐曲線. 在點(diǎn)或線的運(yùn)動(dòng)變化中蘊(yùn)藏著的不變性成為高考解析幾何試題探究的主要內(nèi)容，就是這種變與不變?yōu)楦呖济}增添了新意，為考生解題增加了挑戰(zhàn). 為方便高三師生在二輪、三輪復(fù)習(xí)或高考沖刺階段從多維度、多視角拓寬解題思路，提高解題效率，筆者以兩道高考解析幾何試題為例，展開多視角探究，與同行交流.

試題呈現(xiàn)

例1 （2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第20題）已知A，B分別為橢圓E：+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，·=8，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

例2 （2023年高考全國(guó)Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（-2，0），離心率為.

（1）求C的方程;

（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為A，A，過點(diǎn)（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA與NA交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直lLtYYxjtm82HtBW58dVVfQ==線上.

多視角分析（例1、例2的第（2）問）

視角1 從源頭來看

例1的源頭是動(dòng)點(diǎn)P（6，y）：點(diǎn)P的變化引起直線PA和PB的變化，而直線PA和PB的變化引起交點(diǎn)C，D的變化，即直線CD隨之變化. 順著以上思路完成以下工作（見圖3），即可解決這個(gè)問題.

例2的源頭是動(dòng)直線MN：直線MN的變化引起點(diǎn)M和N的變化，于是直線AM和AN隨之而變，兩直線的交點(diǎn)P也隨之而變. 順著以上思路完成以下工作（見圖4），即可解決這個(gè)問題.

證明 由第（1）問可得A（-2，0），A（2，0），設(shè)M（x，y），N（x，y），顯然直線MN的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為x=my-4，且-<m<，與-=1聯(lián)立可得（4m2-1）y2-32my+48=0，則Δ=64（4m2+3）>0，y+y=，yy=.

直線MA的方程為y=（x+2），直線NA的方程為y=（x-2）.聯(lián)立直線MA與直線NA的方程，得======-.

由=-，得x=-1，即x=-1. 因此，點(diǎn)P在定直線x= -1上.

視角2 從目標(biāo)來看

例1的目標(biāo)是直線CD，直線CD與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線AC與BD交于點(diǎn)P. 順著以上思路完成以下工作（見圖5），即可解決這個(gè)問題.

上述思路可行，但是通過求C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)去求直線AC和BD的方程，運(yùn)算較為復(fù)雜，有沒有簡(jiǎn)化運(yùn)算，繞開求C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)的方法呢？可以嘗試將C，D兩點(diǎn)與已知點(diǎn)B聯(lián)系起來. 由于k=，k·k=-，因此k=-. 又k=，所以k·k=-，即k·k=·== -. 這樣就不需要求出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，使用韋達(dá)定理即可.

視角3 從直線斜率雙用來看

例1 由k=3k，得k=3k，xy+3y=3xy-9y，由k·k=-=-和k·k=-=-，對(duì)k=3k進(jìn)行斜率雙用替換，最終得到直線CD的一般式方程，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直線CD過定點(diǎn)（見圖6）.

斜率雙用的前提結(jié)論：

（1）若A（x，y） ， B（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上任意兩點(diǎn)，則k==-·;

若A（x，y） ， B（x，y）是雙曲線-=1 （a>0，b>0）上任意兩點(diǎn)，則k==·;

若A（x，y），B（x，y）是拋物線y2=2px上任意兩點(diǎn)，則k==.

（2）直線l過P（x，y） ，P2（x，y）兩點(diǎn)，P（x，y）為直線l上任意點(diǎn)，則直線l的兩點(diǎn)式方程為=?（y-y）x-（x-x）y+xy-xy=0.

視角4 從二次曲線系來看（二次曲線系方程的相關(guān)結(jié)論見文[1]）

例1 設(shè)直線CD：x=my+n，即x-my-n=0;直線CA：y=（x+3），即tx-9y+3t=0;直線BD：y=（x-3），即x-3y-3t=0;直線AB：y=0.

設(shè)過點(diǎn)A，B，C，D的二次曲線方程為（tx-9y+3t）（x-3y-3t）+λy（x-my-n）=0，整理得x2+y2+xy+y-9=0①. 橢圓E：+y2=1，即x2+9y2-9=0②.

由①②兩式的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，得λ-12t=0，

18t-nλ=0，整理得18t-12tn=0，所以n=，CD：x=my+，所以直線CD過定點(diǎn)

另外，也可以這樣解答：

設(shè)P（6，t），則直線PA的方程為y=（x+3），即tx-9y+3t=0.同理可得直線PB的方程為tx-3y-3t=0.

經(jīng)過直線PA和直線PB的方程可寫為（tx-9y+3t）（tx-3y-3t）=0，化為t2（x2-9）+27y2-12txy+18ty=0①.

易知A，B，C，D四點(diǎn)滿足上述方程，同時(shí)A，B，C，D四點(diǎn)又在橢圓E：x2-9=-9y2上，將其代入①式得（27-9t2）y2-12txy+18ty=0，即y[（27-9t2）y-12tx+18t]=0，可得y=0或（27-9t2）y-12tx+18t=0.其中y=0表示直線AB，而（27-9t2）y-12tx+18t=0表示直線CD. 令y=0，得x=，即直線CD過定點(diǎn)

例2 設(shè)直線MN：x=my-4，即x-my+4=0;直線AM：x=hy-2，即x-hy+2=0;直線AN：x=ty+2，即x-ty-2=0;直線AA：y=0.

設(shè)過點(diǎn)M，N，A，A的二次曲線方程為（x-hy+2）（x-ty-2）+λy（x-my+4）=0，整理得x2+（ht-λm）y2+（λ-h-t）xy+（4λ+2h-2t）y-4=0①.雙曲線C：-=1，即x2-y2-4=0②.

由①②兩式的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，得λ-h-t=0，

4λ+2h-2t=0，即

h=-λ，

t=λ.所以AM：x=-λy-2，AN：x=λy+2. 聯(lián)立AM，AN，有

x=-λy-2，

x=λy+2，整理得x=-1. 所以，點(diǎn)P在定直線x=-1上.

視角5 從平移齊次化來看

例1 將橢圓E：+y2=1和直線x=6整體向左平移3個(gè)單位，橢圓E的右頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，得到曲線E′：+y2=1（整理為x2+9y2+6x=0）和直線x=3. 設(shè)直線CD經(jīng)過同樣的平移后的直線l′：mx+ny=1，將其代入x2+9y2+6x=0，得x2+9y2+6x（mx+ny）=0，整理得9

+6n

+6m+1=0.

令k=，方程9k2+6nk+6m+1=0的兩根即B′C′，B′D′的斜率.據(jù)題意得kk==-，解得m=-，所以直線l′：-x+ny=1，過定點(diǎn)M′

-，0

，則直線CD過定點(diǎn)M

，0

.

例2 將雙曲線C：-=1和直線MN整體向右平移2個(gè)單位，雙曲線的左頂點(diǎn)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，得到曲線C：-=1，整理為4x2-y2-16x=0.設(shè)直線MN經(jīng)過同樣的平移后的直線M′N′：mx+ny=1，將其代入4x2-y2-16x=0，得4x2-y2-16x（mx+ny）=0，整理得

+16n

+16m-4=0.

令k=，方程k2+16nk+16m-4=0的兩根k，k即A′M′，A′N′的斜率. 據(jù)題意得k+k=-16n，kk=16m-4. 因?yàn)橹本€M′N′：mx+ny=1過點(diǎn)（-2，0），所以m=-，kk=-12.

令k=k，則kk==4，所以=-3. 設(shè)直線MA：y=k（x+2），NA：y=k（x-2），兩式聯(lián)立得k（x+2）=k（x-2），==-3，x=-1. 所以，點(diǎn)P在定直線x=-1上.

總結(jié) 已知平面內(nèi)一定點(diǎn)A（m，n）和圓錐曲線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，當(dāng)k+k=k或k·k=k時(shí)，可以用平移齊次化方法來解決，解決步驟整理如下：

第一步，將直線與圓錐曲線平移，使題設(shè)中給定的點(diǎn)成為坐標(biāo)原點(diǎn).對(duì)于平移后的方程可以這樣書寫：x“左加右減”，y“下加上減”.

第二步，將平移后的直線方程設(shè)為mx+ny=1，這樣方便下一步代換“1”.

第三步，化簡(jiǎn)平移后的圓錐曲線方程，按各項(xiàng)次數(shù)排列整理為整系數(shù)方程后，將“mx+ny”乘到一次項(xiàng)上得到齊二次方程.兩邊同時(shí)除以x2得到關(guān)于k的一元二次方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理解決問題.

視角6 從極點(diǎn)極線來看

例1 據(jù)題意可知，直線CD所過定點(diǎn)與點(diǎn)P所在定直線是關(guān)于橢圓E的一組極點(diǎn)與極線. 直線CD過定點(diǎn)M（x，0），橢圓E：+y2=1，點(diǎn)P所在定直線為+0·y=1，即x=，即=6，所以x=.所以直線CD過定點(diǎn)M

，0

.

例2 據(jù)題意可知，直線MN所過定點(diǎn)與點(diǎn)P所在定直線是關(guān)于雙曲線C的一組極點(diǎn)與極線.直線MN過定點(diǎn)M（-4，0），雙曲線C：-=1，點(diǎn)P所在定直線為-=1，即點(diǎn)P在定直線x=-1上.

極點(diǎn)、極線的相關(guān)結(jié)論：

已知圓錐曲線C：Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0（A2+B2≠0）的極點(diǎn)為A（x，y），極線l：Axx+Byy+D（x+x）+E（y+y）+F=0.

（1）已知橢圓C：+=1（a>b>0），若點(diǎn)A（x，y）是橢圓C上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)極線為：直線+=1;

（2）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），若點(diǎn)A（x，y）是雙曲線C上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)極線為：直線-=1;

（3）已知拋物線C：y2=2px，若點(diǎn)A（x，y）是拋物線C上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)極線為：直線yy=p（x+x）.

教學(xué)建議

針對(duì)上述六個(gè)不同視角，建議教師在日常教學(xué)中將視角1和視角2下的解決路徑和運(yùn)算過程示范到位，落實(shí)到位.有必要親眼“目睹”學(xué)生的思考過程和運(yùn)算過程，需要拿出“算不出結(jié)果誓不罷休”的氣魄，因?yàn)檫@是考生必須熟練掌握的通性通法. 對(duì)于視角3和視角4，需要教會(huì)學(xué)生其適用范圍，識(shí)別試題特征，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí). 視角5是倍受學(xué)生喜愛的方法，建議以本文為例，找出近些年高考中的相關(guān)試題供學(xué)生專項(xiàng)訓(xùn)練. 視角6則只適用于以極點(diǎn)、極線為背景設(shè)置的問題，雖然適用范圍較窄，但考生如果熟悉，在解答相關(guān)問題時(shí)可以做到未卜先知，游刃有余.

參考文獻(xiàn)：

[1] 周躍佳. 運(yùn)用二次曲線系方程巧解高考解析幾何試題[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（15）：91-93.

作者簡(jiǎn)介：周躍佳（1986—），高級(jí)教師，昆明三中副校長(zhǎng)，云南師范大學(xué)碩士生導(dǎo)師，全國(guó)杰出教師，云南省級(jí)優(yōu)課名師，市級(jí)名師，區(qū)級(jí)名師，市級(jí)骨干教師，區(qū)級(jí)學(xué)科帶頭人.