應用探究:探索發

[摘 要] “導數在研究函數中的應用——函數的單調性”的內容較為特殊，具有極強的應用性，是學生后續解析函數性質的基礎. 在教學探究中，教師應注重“導數”與“函數單調性”之間關系的構建，合理設計教學環節，完成知識總結與論證. 研究者對此開展教學解讀，探索教學過程，提出教學建議.

[關鍵詞] 導數;應用;函數單調性;數形結合

教學解讀

“導數在研究函數中的應用——函數的單調性”是人教A版（2019）選擇性必修第二冊教材第五章第三節的內容，是運用導數研究函數的第一個性質. 學生在之前已經掌握了定義法和圖象法等初等方法研究函數的單調性，具備一定的知識基礎. 本章節的學習有利于后續研究函數的極值、最值，討論恒成立問題、存在性問題、零點問題等.

本節課主要引導學生探究導數在判斷函數單調性中的適用性和實用性. 在探究教學中，教師要注重啟發和引導，合理創設情境問題，鼓勵學生合作探究、自主思考、互動交流.

過程探究

對于“導數在研究函數中的應用——函數的單調性”的教學過程，建議分為四個環節：情境引入、直觀感知、論證生成、應用拓展. 各環節緊密相連，逐步深入，教師要引導學生探索發現，嚴謹論證. 下面具體闡述.

1. 教學環節一——情境引入，思維沖突

情境1 生活感悟.

已知某市氣象站觀測冬季某天氣溫，統計2～5時氣溫變化，氣溫f（x）與相應時間x可近似用函數f（x）=x-lnx-1來擬合，問這段時間內的氣溫f（x）隨時間x的變化，具有哪些特點？

教學引導 引導學生從生活中抽象數學問題，明確研究實質為函數f（x）=x-lnx-1（x∈[2，5]）的單調性;引導學生思考能否借用定義判斷函數的單調性，遇到障礙時是否有其他方法，便于后續探索新知.

情境2 思考解法.

如何判斷下列函數的單調性？

（1）f（x）=x3+3x;（2）f（x）=2x3+3x2-12x+1;（3）f（x）=x3-2x-3;（4）f（x）=sinx-x，x∈（0，π）.

思考：使用圖象法和定義法容易求解嗎？

教學引導 引導學生判斷上述函數的單調性，在學生所掌握的知識中，圖象法和定義法較為常見. 對于圖象法，需要繪制函數圖象，顯然難以實現;而采用定義法雖可行，但過程繁雜，求解困難. 由此引發思維沖突，促使學生思考其他解法.

2. 教學環節二——直觀感知，探究發現

（1）示例分析

圖1是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數h（t）=-4.9t2+4.8t+11的圖象.

設問：運動員從起跳到最高點，及從最高點到入水這兩段時間中，運動員的重心離水面的高度有什么變化？

教學引導 引導學生關注區間內函數的增減.

（2）引導生成

在上述基礎上引導學生思考：區間（0，a）和（a，b）內f′（x）的符號是怎樣的？可以得到怎樣的結論？

教學中可以采用填空的方式，引導學生歸納總結. 例如給出以下問題.

一般地，設函數y=f（x）在區間（a，b）內可導.

①如果在（a，b）內，f′（x）>0，那么y=f（x）在此區間是______;

②如果在（a，b）內，f′（x）<0，那么y=f（x）在此區間是______;

教學引導 引導學生初步發現導數值與函數單調性的關系. 教學中要注意兩點：一是強調“區間”，必須是定義域內的某個區間;二是認識f′（x）=0，函數f（x）為常數.

3. 教學環節三——抽象思維，論證生成

根據上述探究，可以初步總結以下結論.

對于函數y=f（x）：①在某個區間（a，b）上，如果f′（x）>0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）上單調遞增;②在某個區間（a，b）上，如果f′（x）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）上單調遞減.

思考：要證明函數y=f（x）在給定區間I上單調遞增，需根據定義證明什么？

教學引導 引導學生進行論證探究. 以上述結論①為例，分兩步進行：第一步，轉化問題，探究證明本質;第二步，借助直觀圖象，完成證明.

第一步，任取x，x∈I，且x<x，證明f（x）<f（x）成立. 也可將其轉化為證明>0成立.

第二步，借助函數圖象，證明在區間I內，連接任意兩點的割線的斜率都大于零. 以圖2為例，過點A（x，f（x）），B（x，f（x））的割線平行移動到與函數圖象相切的位置，設切點為（x，f（x）），得到=f′（x）>0.

4. 教學環節四——應用拓展，知識強化

完成知識論證后，引導學生運用強化. 建議選用直觀多樣的問題，探索導數與函數單調性的關系.

問題1 已知導函數f′（x）的下列信息：當1<x&lt;4時，f′（x）>0;當x>4或x<1時，f′（x）<0;當x=4或x=1時，f′（x）=0. 試畫出函數y=f（x）圖象的大致形狀.

教學引導 引導學生根據上述信息判斷固定區間內函數的單調性，再根據函數單調性繪制其圖象.

①當1<x<4時，f′（x）>0，函數在區間內單調遞增;

②當x>4或x<1時，f′（x）<0，函數在區間內單調遞減;

③當x=4或x=1時，f′（x）=0，為函數的臨界點.

根據上述信息，繪制出圖3所示的函數圖象.

問題2 y=f′（x）的圖象如圖4所示，則y=f（x）的圖象最有可能的是（ ）

教學引導 引導學生根據不同區間內的導函數f′（x）的正負來判斷函數f（x）的單調性，從而確定函數f（x）的圖象. 即按順序“導函數的正負→函數的單調性→函數的圖象”完成反向推導. 此處強調判斷函數f（x）的單調性，關注的是導函數f′（x）的正負，而不是導函數f′（x）的單調性.

教學反思

1. 關注知識生成，挖掘知識內涵

對于導數研究函數的單調性，用情境問題引發思維沖突，引導學生探索、論證，更易于接受. 此過程涉及多種圖象，如情境圖象、函數圖象等，利于學生直觀把握“形”的特征，回歸函數本質，挖掘知識內涵.

2. 自主活動探究，體驗論證過程

本章節著重探討導數與函數單調性之間的關系，采用活動探究方式教學. 引導學生從熟悉情境出發，互動思考，構建知識聯系. 結合圖象論證，提升學生觀察、歸納、概括、抽象等思維能力. 注重適時引導，關注學生思維，把控課堂進程.

3. 滲透數形結合，提煉思想方法

對于“導數在研究函數中的應用——函數的單調性”的教學，建議應用數形結合思想方法，引導學生從“數”與“形”兩個角度進行探究，直觀感知函數圖象與其導數圖象的差異，并建立關系. 通過“形”到“數”的直觀認識和“數”到“形”的抽象理解，有機融合兩過程，體現導數研究函數的優勢，助力后續解題.

作者簡介：劉巧芬（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.