一道多變元代數式最值模擬試題的解法探究

[摘 要] 涉及雙變元或多變元代數式的最值問題，一直是各類考試的熱點問題之一. 研究者剖析一道多變元代數式最值模擬試題的內涵，利用基本不等式、函數、導數、方程思想等，研究尋求并歸納總結該類試題的一般破解之法，幫助學生打開求解思維.

[關鍵詞] 多變元;基本不等式;代數式;通性通法

因函數的基礎性、抽象性、邏輯嚴謹性等特征，故常與其他知識交叉考查[1]. 雙變元或多變元的代數式最值問題或取值范圍問題是函數與不等式融合較高的一類問題，常在高考、各級競賽、強基計劃考試中出現[2]. 此類問題往往難度較大，思維角度多變，方法多樣. 在解完題之后，要不斷反思總結，多角度切入，尋找通性通法，從而達到觸類旁通的效果. 下面結合一道多變元代數式最值模擬試題進行說明.

試題呈現

（2022年天津濱海新區塘沽第一中學校一模）已知a，b，c∈R+，且ab+2ac=4，則++的最小值是______.

問題剖析

本題是一道已知多變元代數式定值條件求解最值的問題，通過提取公因式，將“和”轉化為“積”，即將ab+2ac=4轉化為a（b+2c）=4，巧妙地把變形后的代數式有機地融合到對應的代數式中，從而確定多變元代數式的最小值. 破解問題的關鍵在于，在已知條件下，認真審題，多角度切入思考. 可以通過代入、常值代換、消元等方法，借助基本不等式求最小值，也可以借助方程思想[3]，利用“根的判別式”去求解，還可以通過構造函數模型，利用求導及函數單調性知識解得最小值.

解法探究

思路1 靈用“通分”.

解法1 由a，b，c∈R+，ab+2ac=4，得a（b+2c）=4. 通分后結合基本不等式，得++=+≥2=4，當且僅當=，即a+b+2c=4時等號成立. 故所求代數式的最小值為4.

評注 觀察到所求代數式的前兩項通分后的分子為第三項的分母，分母則為已知代數式，因此通分后結合基本不等式求解.

思路2 敏借“常值”.

解法2 由a，b，c∈R+，ab+2ac=4，得·a·（b+2c）=2. 結合基本不等式，得++=++=（a+b+2c）+≥2=4，當且僅當=，即a+b+2c=4時等號成立. 故所求代數式的最小值為4.

評注 觀察到已知式子與所求代數式的前兩項的分子存在關系，于是將常數代換為字母，最后化為熟悉的基本不等式模型求解.

思路3 統一“變量”.

解法3 由a，b，c∈R+，ab+2ac=4，得b+2c=.結合基本不等式，得++=++=+≥2=4，當且僅當=，即a=2，b+2c=2時等號成立. 故所求代數式的最小值為4.

評注 利用已知條件將另兩個變量用同一個變量表示，將所求代數式轉化為只含有一個變量的代數式，然后通過簡單的通分變形，轉化為基本不等式模型. 這種解法的關鍵在于用含一元的簡單代數式表示含兩元（多元）的復雜代數式.

總評 上述3種解法通過觀察已知條件與所求代數式之間的聯系，利用直接轉化、常數代換或消元（統一變量）的思路，將所求代數式轉化為熟悉的基本不等式模型. 選取合適的方法配湊出基本不等式模型是關鍵.

思路4 巧用“導數”.

解法4 由a，b，c∈R+，ab+2ac=4，得b+2c=，則++=++. 構造函數f（a）=++，求導可得f′（a）=+.當a>0，b>0，c>0時，由f′（a）=0得a=2，由f′（a）<0得0<a<2，由f′（a）>0得a>2. 所以，f（a）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增. 因此，當a=2時，f（a）=f（2）=4. 故所求代數式的最小值是4.

評注 對已知條件進行變形，利用消元思想統一變量，建立函數模型，結合函數求導方法，確定導函數的零點，進而求出其最小值. 將多元問題轉化為一元問題，借導數知識求最值，是處理該類問題的重要方法之一. 這種解法目標明確，思路簡單，但是其計算量較大.

思路5 妙使“Δ”.

解法5 設++=t（t>0），在該式兩邊同時乘a（b+2c）·（a+b+2c），可得2（b+2c）（a+b+2c）+2a（a+b+2c）+8a（b+2c）=ta（b+2c）（a+b+2c）.

結合a（b+2c）=4，整理得2（a+b+2c）2-4t（a+b+2c）+32=0. 關于（a+b+2c）的二次方程有實根，所以Δ=16t2-256≥0，解得t≥4. 故所求代數式的最小值為4.

評注 根據題目條件，設所求代數式的值為t（t>0），然后乘分母的最小公倍數，變形得到關于參數（a+b+2c）的二次方程，利用方程有實數解的條件，結合根的判別式確定t的取值范圍求解. 該方法需要將化簡后的式子根據題目已知條件做變形處理.

<D：＼DW＼數學教學通訊（下旬）＼2023年＼2023數學教學通訊中旬（02期）＼aa-2.tif> 變式拓展

探究 保留原問題的基本條件，通過參數引入，將原問題推廣到一般問題，并為學生提供該類問題的通性通法.

分析 上述問題是關于a，b，c三元的代數式最值問題，可以對已知等式中左邊的代數式提取公因式（一元代數式）變成積的形式，而所求代數式是以公因式、另一因式、公因式加另一因式為分母的分式（分子為常數）之和. 因此引入參數λ，μ（λ>0，μ>0）表示所求代數式中的分式的常數分子，k（k>0）表示已知代數式的常數值，A表示關于a的單項式，B表示關于b的單項式，C表示關于c的單項式.

變式 已知a，b，c∈R+，λ，μ，k（λ>0，μ>0，k>0）為常數，A為關于a的單項式，B為關于b的單項式，C為關于c的單項式，且AB+AC=k，則++的最小值是_____.

解析 由a，b，c∈R+，λ>0，μ>0，k>0，且AB+AC=k，結合基本不等式，得++=+≥2=2，當且僅當=，即A+B+C=時等號成立. 故所求代數式的最小值為2.

評注 從多角度切入，尋找一道多變元代數式最值模擬試題的多種解法，挖掘其內涵，引入參數，建立該類試題的基本模型，并得到相應結論. 對該模型及結論，可繼續深入研究和推廣.

破解多變元代數式最值或取值問題，最基本的方法是通過消元、代換，將多變元代數式轉化為基本不等式模型. 函數與方程思想、求導知識也是解決該類問題的重要方法. 引導學生用多種方法求解，不僅培養學生舉一反三、觸類旁通的能力，還促進學生形成良好的思維習慣，掌握基本的思想方法與解題技巧. 在此基礎上，引導學生探究深層次的變式模型，總結出變式模型的通性通法及結論，可提高學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，落實數學學科核心素養.

參考文獻：

[1] 潘賢沖. 一道雙變元代數式試題的探究[J]. 中學數學教學參考，2022（36）：39-40.

[2] 欒功. 一道2022年清華大學新領軍試題的解法探究[J]. 中學生數學，2023（5）：30-31.

[3] 郭樹軍. 一道雙變元最值試題的多解探究[J]. 中學數學教學參考，2022（12）：33-34.

基金項目：云南省教育廳科學研究基金項目“初中生數學問題提出能力測評模型的構建”（2023Y1015）.

作者簡介：肖躍（1998—），全日制研究生在讀，主要從事數學教育研究工作.

通信作者：王彭德（1966—），教授，碩士生導師，大理大學數學與應用數學專業負責人，云南省數學教育學會副秘書長，云南省應用統計學會理事，主要研究方向為統計評價與數學教育.