基于GeoGebra運用的數學教學設計

[摘 要] GeoGebra軟件是探究數學、培養學科素養的重要教學工具.在中學數學中，平面向量基本定理的探究過程充分體現了GeoGebra軟件在數學教學中的便利性.在發現和驗證猜想的過程中，注重GeoGebra軟件的多元表征功能和動態演示功能，能夠深化學生對知識的理解，提高學生分析和解決問題的能力.

[關鍵詞] GeoGebra軟件;平面向量基本定理;代數與幾何

GeoGebra軟件的教學價值

1. 信息技術對教學的重要性

隨著教育信息化的發展，技術—教學法—內容知識（簡稱TPACK）成為國內外教師教育和教育技術學研究的一個重要領域. 每一位教師都是教育信息化乃至技術整合的關鍵因素，也是教育變革的自主行動者[1]. 中學數學教師面臨的最大教學挑戰是平衡學生心理、教學用具和信息技術之間的關系. 在數學教學中，依據學生心理，結合教學用具和信息技術，簡化知識，使其易懂，并讓數學知識在學生腦海中更加生動靈活. 現有的數學軟件包括幾何畫板、GeoGebra和Mathematica等，它們具有不同的功能和作用.

2. GeoGebra軟件的功能和作用

2001年美國數學教授Markus Hohenwarter創建了一個GeoGebra項目，并于2008年對其進行軟件化. GeoGebra是自由且跨平臺的動態數學軟件，主要包含幾何（Geometry）和代數（Algebra）. 該軟件功能強大、開源免費，內有代數區、繪圖區（分為平面和3D）、表格區、概率區等功能塊，既可簡單地直接書寫數學公式，也可在工具、命令、腳本三個層次探究復雜的數學課題. 在中學數學教學中，GeoGebra軟件可用于課堂演示、學生互動、作業檢查等多個方面. 利用GeoGebra軟件進行數學教學，可優化教學內容呈現形式，豐富師生互動方式，有利于激發學生的學習興趣.

根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求，無論是在數學課程中，還是在數學教學中，都需要突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過數形結合體會數學知識間的聯系，加強對數學知識整體性的理解[2]. “平面向量基本定理”教學可從物理、幾何、代數三個角度展開，用GeoGebra軟件引導學生理解和掌握定理，充分發揮信息技術在數形結合思想方面的優勢.

基于GeoGebra軟件的數學教學設計

1. 教學內容分析

向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象. 在教學“平面向量及其應用”這一章節時，教師通常按照代數對象的研究路徑展開，在此過程中通過對向量運算、運算律的幾何意義的研究，以及用于解決幾何問題來體現其幾何屬性[3]. 向量基本定理既是溝通代數與幾何的橋梁，也是連接直線、平面、空間的要素.

在“平面向量基本定理”教學中，如何自然地引入GeoGebra軟件進行輔助，首先要理清這一章節的整體知識框架（如圖1所示）.可以看出，在“平面向量基本定理”教學前，探究向量問題主要從幾何角度出發，抓住向量的大小和方向進行運算;在“平面向量基本定理”教學后，探究向量問題主要從代數角度出發，抓住向量的坐標表示進行運算和研究性質. 因此，在“平面向量基本定理”教學中，可以從幾何角度切入，得到代數結論.

2. 教學現狀分析

很多教師對這一課時的教學并不重視，往往將定理結果灌輸給學生，以便盡快進入向量坐標表示的教學. 究其原因如下：第一，教師認為平面向量基本定理不夠重要，其不是考試重點，對其蘊含的數學思想的認識不足;第二，定理中“任意向量a”“不共線向量e1，e2”無法動態呈現，教師只能讓學生憑借直觀想象，理所當然地接受這一結論.

面對第一種原因，教師要充分理解平面向量基本定理的重要性，要不斷追問自己：為什么要講解這個定理？為什么被稱為“基本定理”？這一定理的作用是什么？能夠解決什么樣的數學問題？教師在課前要深入鉆研教材，確保充足知識儲備進行教學.

面對第二種原因，教師可以借助GeoGebra軟件輔助教學，利用GeoGebra軟件的動態演示功能，不僅可以解釋和說明向量a的任意性，還可以解釋和說明基底的任意性.利用GeoGebra軟件，用“形”探究“數”，用“數”表達“形”，可以培養學生多元表征意識和能力，促使學生深刻理解平面向量基本定理.

3. 教學過程設計

（1）新知導入

教材分析 人教A版（2019）教材（下文簡稱教材）首先回顧向量共線定理，強調向量共線與平面向量基本定理的聯系，旨在用類比和比較的方法建構線性運算，培育學生基底化意識.在此基礎上，教材利用物理上的“力的合成和分解”提出問題、導入新知：能否通過平行四邊形法則將向量a分解為兩個向量呢？沿用教材這一思路，我們首先回顧向量共線的充要條件，發現“一個向量無法表示平面內所有向量”這一事實，引出本節課的學習主題.

問題1 如圖2所示，給出一組共線向量，回答：兩個向量共線的充要條件是什么？

設計意圖 利用GeoGebra軟件，通過數形結合，動態再現向量共線的充要條件. 向量共線定理實際上是一維向量基本定理，通過“一維”情形的引入，引導學生直觀開展“二維”情形的探究. 由向量共線的充要條件得出結論：位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示. 即存在實數λ，使得v=λu. 由λ構建起從u到v的一一對應關系，為后面“二維”情形下基底和坐標的探究做鋪墊. 利用GeoGebra軟件重現向量共線定理（即無論v的模長如何變化，都有一個關于v的數乘運算的等式成立），有助于學生直觀理解向量共線定理.

問題2 假設平面內有一個非零向量u，那么該平面內的任意一個向量能否用u表示？如果用一個向量u無法表示，那么至少需要幾個向量？為什么？

設計意圖 這一問題引導學生從“一維”向“二維”過渡. 根據學生的觀察和想象，很容易得出平面中的任意一個向量無法用單一向量u表示出來.聯想需要增加的向量個數，很多學生初步猜測“用兩個向量可以表示平面內的任意一個向量”，但是無法說明理由. 此時可以通過層層詰問，引導學生思考，得出“只需兩個不共線向量”的猜想.

（2）數學探究

教材分析 在驗證猜想的過程中，教材給了一個具體問題：將a按e1，e2的方向分解，你有什么發現？隨后給出結論. 從學生的認知來看，提出的猜想找不到反例，便理所當然地接受了結論. 但是，從具體實例出發得到的結論未必可靠，對于數學結論的正確性，必須盡可能給出嚴格的分析論證或一般性說明[4]. 借助GeoGebra軟件，可以實現傳統教學中難以實現的動態演示，這是一個由感性上升至理性的思維過程，可以培養學生嚴謹的思維品質，使學生獲得的結論更加合理可信.

問題3 如圖3所示，固定一對不共線向量e1，e2，現有一向量a，如何用e1，e2表示a？若任意改變向量a，向量a都可以用e1，e2來表示嗎？為什么？

設計意圖 利用向量相加的平行四邊形法則，可以將a按照e1，e2的方向分解，得到a=+. 再根據向量共線定理，得到=1.44e1，=1.58e2，從而得到a=1.44e1+1.58e2. 借助幾何直觀，學生猜想如下：任意改變向量a，都存在實數λ，λ，使得a=λe1+λe2.如何驗證呢？大部分學生認為，可以隨機選取幾個目標向量，通過上述分解過程驗證等式. 此時教師要指出，該做法不具普遍性.

在傳統的板書教學中，為探究a的任意性，可按照不共線向量e1，e2所在的直線將平面分成四個區域（如圖4所示），對向量a所在的位置分類討論（如圖5所示）：當a位于第Ⅰ區域時，可直接根據平行四邊形法則用e1，e2表示向量a;當a位于第Ⅱ區域時，先找出e2的相反向量-e2，利用e1，-e2表示向量a;同理，當a位于第Ⅲ區域時，利用-e1，-e2表示向量a;當a位于第Ⅳ區域時，利用-e1，e2表示向量a. 此外，要考慮向量a在直線上的特殊情況.

可以看出，這一檢驗過程煩瑣，只能選取區域內部分向量分解，無法進行普遍性驗證.但采用GeoGebra軟件，抓住向量的兩大要素（方向和大小），從特殊到一般可對a的任意性進行驗證.

問題4 如圖6所示，固定一對不共線向量e1，e2，現有一向量a，固定a的模長，不妨令a=8. 如何用e1，e2表示a？若任意改變向量a的方向，都可以得到猜想中的等式嗎？為什么？

活動預設 固定向量a的起點O，終點軌跡為圓（如圖6所示）. 通過動畫演示可知，不管a的終點落在何處，它都可以用e1，e2線性表示. 因此，我們可以得到結論：任意模長的向量a，都可以用e1，e2線性表示. 接下來，如何驗證向量模長的任意性呢？

問題5 如圖7所示，固定一對不共線向量e1，e2，現有一向量a，固定a的方向，若任意改變向量a的模長，如何用e1，e2表示a呢？

活動預設 作向量a所在直線l，作與a同起點、同方向，模長為8的向量u. 根據向量共線定理可知，存在實數λ，使得a=λu. 由問題4的探究可知，對于向量u，必存在實數λ，λ，使得u=λe1+λe2，于是a=λu=λ（λe1+λe2）=λλe1+λλe2. 令μ=λλ，μ=λλ，由向量a的任意性，可以得到結論：固定方向的任意向量a，存在實數μ，μ，使得a=μe1+μe2.

設計意圖 從具體的目標向量出發，遷移到模長確定、方向任意的目標向量，再推廣至模長任意、方向任意的目標向量，從而驗證向量a的任意性. GeoGebra軟件使分析論證過程直觀可視，激發學生的求知欲.

問題6 當a是零向量時，如何用e1，e2表示a？當a與e1或e2共線時，如何用e1，e2表示a？

設計意圖 討論特殊情況，加深學生對所得結論的理解. 如圖8所示，若a是零向量，令λ=λ=0，則a=0·e1+0·e2. 如圖9所示，若非零向量a與e1同向，令λ=，λ=0，則a=e1+0·e2. 同理，若非零向量a與e1反向，令λ=-，λ=0，則a=-e1+0·e2.

問題7 對于任意給定的向量a，表示a的向量e1，e2唯一嗎？

活動預設 根據平行四邊形法則可知，表示a的向量e1，e2不唯一. 如圖10所示，已知向量a，以a的起點O為圓心，任意長為半徑作圓. 以O為起點，任取圓上一點為終點作向量e1. 根據e1方向和圓O半徑的任意性可知，任意長度、任意方向的e1都有對應的e2. 從而驗證表示a的向量e1，e2不唯一.

設計意圖 在板書教學中，通常是列舉幾組不同的e1，e2說明表示a的向量e1，e2不止一組，但這并不能證明e1，e2具有任意性. 而利用GeoGebra軟件不僅直觀證明了e1，e2的任意性，還提出了新的問題：當a為任意向量時，e1，e2是否具有限制條件？

問題8 是否任意的兩個向量e1，e2都可以表示平面內的任意一個向量a呢？

設計意圖 在問題2中，學生已經猜想到e1，e2要表示平面內的任意一個向量，需滿足e1，e2不共線的條件.這里可以運用反證法進行驗證：若e1，e2共線，根據向量共線定理可知，e1，e2只能表示與它們共線的向量.

通過上述問題鏈的構建，在教師的啟發和引導下，借助GeoGebra軟件，學生深刻認識到平面向量基本定理中“e1，e2是不共線向量”“任意向量a”“e1，e2選取方式不唯一”等關鍵內容，這為向量基底概念的學習做好了鋪墊.

（3）推理論證

教材分析 存在性、唯一性問題在前面學習向量共線定理時已經接觸過，所以學生有解決該問題的基礎.教材中從代數角度出發，利用反證法證明了唯一性問題. 在教學中，還可以從幾何角度出發解釋唯一性，有助于培養學生的幾何分析論證能力.

問題9 通過上述探究可知，如果e1，e2是平面內的兩個不共線向量，對這一平面內的任意一個向量a，存在實數λ，λ，使得a=λe1+λe2，那么λ，λ唯一嗎？為什么？

設計意圖 在驗證該問題時，可以分別從代數角度和幾何角度入手.幾何解釋：從圖形中可以看到，已知向量a，e1，e2的方向和模長，則分向量的方向和模長被確定. 這里，e1，e2確定分向量的方向，λ，λ則確定分向量的模長. 從形的角度用作圖法說明，從數的角度用反證法或同一法證明，使學生進一步體會到向量是集數與形于一身的數學概念.

問題10 回到問題2，為什么平面內的任意一個向量只需要兩個不共線的非零向量表示即可？如果是三維空間內的任意一個向量，又需要幾個向量表示呢？

設計意圖 直線的定性刻畫：一個非零向量e可以確定一條直線. 引入向量數乘運算，則直線上的任意向量都可以由e定量表示. 平面的定性刻畫：兩條相交直線確定一個平面.根據這個刻畫，可以得到“兩個不共線的非零向量e1，e2可以確定一個平面”的性質，引入向量數乘運算和加法運算，則平面內的任意一個向量都可以由基底{e1，e2}定量表示. 以此類推，猜想：三個不共面的非零向量可以確定一個空間，空間內的任意一個向量都可以由這三個向量定量表示. 這樣可為后面學習空間向量的坐標表示打下基礎，深化學生對向量線性運算的理解.

學生通過提出猜想、驗證猜想、得出結論和推廣定理，理解了平面向量基本定理，那么，平面向量基本定理能解決什么問題？基底化對解決向量問題有什么作用？為了加深學生對平面向量基本定理的理解，教學中還要選擇恰當的問題，培養學生應用意識.

（4）理解應用

根據課程標準的要求，要解決平面向量問題，需要培養學生四個意識：①基底化意識;②坐標化意識;③數量化意識;④幾何化意識[5]. 本節課通過對平面向量基本定理的探究，學生掌握了在類比與比較中建構線性運算的方法. 在“理解應用”這一環節，需要加深學生對數學思想的理解，培養學生基底化意識.

問題11 如圖11所示，，不共線，且=t（t∈R），用，表示.

設計意圖 本題是教材例題，難度不大. 通過例子中的t∈R可以看到，點P會隨著t的變化而變化;但無論點P如何變化，都可以用不共線的，表示，體現了平面向量基本定理的巧妙之處.

同時，這一結論實際上是三點共線定理的特殊表達形式. 三點共線定理的基本內容是：若平面上=λ+μ（O為平面內任意一點），且λ+μ=1，則A，B，C三點共線. 如圖12所示，運用GeoGebra軟件進行動態演示，可驗證三點共線定理的正確性.

問題12 （2014年高考江蘇卷第12題）如圖13所示，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·的值是______.

解析 從已知條件·=2入手，用未知表示已知，可求出·=22.

設計意圖 本題充分體現了基底化的作用，考查學生對基底的選擇.在分析此問時，很多學生會因為思維定式，將目標·轉化為（+）·（+），但由于不知道向量間的夾角而無法繼續解題. 若將，作為一組基底，利用平面向量基本定理，把與分別用基底線性表示出來，則可以輕松解決該問題.

應用GeoGebra軟件的教學反思

1. GeoGebra軟件在數學探究中的功能體現

（1）注重多元表征功能的運用

數學的多元表征是指同一數學對象的多種表達形式. 在數學教學中，外在多元表征可分為符號表征、文字表征、圖形表征、動作表征、情境表征. 其中最常用的是符號表征和圖形表征. 在傳統教學中，教師容易顧此失彼，很難做到兩者兼顧，使兩種表征方式同時呈現. 為解決上述問題，教師可以利用GeoGebra軟件在一個屏幕中同時呈現兩種表征，加強由數到形、由形到數的相互轉化，使學生對知識點有更深層次的理解. 在本節課中，數學猜想先通過符號表征呈現，隨后借助GeoGebra軟件將符號表征轉化為圖形表征，并且在任意變化向量的過程中，每一個圖形都能得到相關數據，為驗證猜想提供了便利. 教師應注重GeoGebra軟件的多元表征功能，幫助學生建立幾何模型，簡化數學運算，提高探究效率，培養學生直觀想象素養.但由于GeoGebra軟件的運用使得運算難度降低，教師要避免這一便利給學生帶來思維上的惰性.

（2）注重動態演示功能的運用

動態演示就是借助教學工具動態展示數學知識，從而將抽象轉化為具體，幫助學生理解和掌握知識.中學數學的抽象性比較強，如果不借助信息技術進行動態演示，學生便會理解困難，對知識的認識停留在靜態層面. 例如，在“平面向量基本定理”的傳統教學中，教師通常取向量a夾在e1，e2之間的情況進行驗證，難以體現向量a的任意性. 但利用GeoGebra軟件的動態演示功能可實現這一探究過程. 因此，教師應結合學生認知水平，利用GeoGebra軟件的動態演示功能，促進學生直觀感知所學知識. 另外，要避免教學停留在動態演示表面，教師須引導學生從演示中歸納總結，提升學生的歸納推理能力和數學抽象素養.

2. GeoGebra軟件在數學猜想中的應用思考

（1）利用GeoGebra軟件發現數學猜想

教師如何引導學生猜想是開展教學設計的關鍵. 猜想并非學生憑空想象或由教師直接提出，而是引導學生根據學習經驗和認知發展水平，對未知進行合理推測. 教師可借助GeoGebra軟件設計層層遞進的問題鏈，讓學生發現已有知識無法解決新的問題，從而提出新的猜想，培養學生的創新思維. 例如，本節課中，在GeoGebra軟件中輸入指令，學生觀察到位于同一直線上的向量可由位于這條直線上的一個非零向量表示，但是在平面內則不行. 隨后學生發現，平面內兩個不共線向量可以表示該平面內的一個固定向量，此時教師進一步提出問題引導學生提出猜想. 因此，教師要靈活運用GeoGebra軟件的輔助功能，幫助學生循序漸進地進行猜想，讓學生對數學知識的產生有更加深入的理解.

（2）利用GeoGebra軟件驗證數學猜想

在數學教學中，驗證數學猜想不是照本宣科，將教材提供的過程重新講解一遍，而是考慮學生可能的思維方式，抓住猜想的要點進行嚴格的邏輯推理. 特別是對“任意”“所有”等條件的猜想，教師可利用GeoGebra軟件確保驗證過程的嚴密性. 例如，驗證三點共線定理時，傳統教學通常利用幾個具體例子給出定理內容. 這種驗證過程忽視了向量的任意性，使得學生對這一定理的理解不夠深入.而利用GeoGebra軟件任意改變點C的位置，等式仍然成立，學生可能會提出疑問：若任意改變點A或點B的位置，等式仍然成立嗎？學生同樣可以利用GeoGebra軟件分析這個問題，從而更嚴謹地驗證猜想. 在驗證猜想的過程中，教師應鼓勵學生借助GeoGebra軟件解決問題，讓學生有意識地借助現代信息技術促進學習，培養學生自主思考習慣和邏輯推理的能力，這是應用GeoGebra軟件進行教學設計的重要意義.

參考文獻：

[1] 焦建利，鐘洪蕊. 技術—教學法—內容知識（TPACK）研究議題及其進展[J]. 遠程教育雜志，2010，28（1）：39-45.

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[3] 章建躍. 利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律：“平面向量及其應用”內容分析與教學思考[J]. 數學通報，2020，59（12）：4-13+29.

[4] 史寧中. 數學基本思想18講[M]. 北京：北京師范大學出版社，2016.

[5] 陳志江. 基于“三個理解”的平面向量單元教學構想[J]. 數學通報，2019，58（2）：30-33.

基金項目：教育部人文社會科學研究項目“數學深度學習的認知理論分析、測評模型建構與教學實證研究”（22YJA880021）.

作者簡介：高婷（1998—），福建師范大學數學與統計學院2022級碩士研究生，研究方向為數學教育.

通信作者：李祎（1971—），博士，福建師范大學與統計學院教授，主要從事數學教育研究和教學工作.