中學數學標準差的理解與教學重構

[摘 要] 在中學數學教學中普遍存在對標準差理解不深刻的現象，從標準差的歷史發(fā)展、內涵，以及整合中學數學教材的角度，重構課堂教學，以使學生厘清標準差的內涵，深刻認識標準差的作用.

[關鍵詞] 中學數學;標準差;教學

問題提出

標準差在初高中教材中多次出現，但大部分中學師生對標準差的內涵的理解局限于“是反映數據離散程度大小的量”. 一是初高中的數學教材關于標準差沒有更多的說明，僅僅是為數不多的關于標準差的概念、樣本估計總體的離散程度的內容介紹. 二是教師基本遵循中學數學教材編排體系進行教學，使得學生對標準差的理解是碎片化的，且常常局限于教材那一小節(jié)的理解. 三是標準差在考試內容、日常生活中涉及很少，也是造成師生理解不深刻的一個重要原因.

標準差的理解

1. 從標準差的來源進行理解

標準差的來源與平均數、誤差有關. 誤差的定義是測定值減去真實值，而真實值又認為總是得不到的，所以真實值往往用測定值的平均值來代替. 托勒密（Ptolemy）在《天文學大成》中指出：取最大值和最小值的平均數是一條法則，這樣做的目的是降低觀察值的誤差，使所得的結果介于最大值和最小值之間，也就是說誤差和平均數總是聯到一起的“孿生姐妹”. 說到平均數，不得不想到算術平均數有消除誤差、提高精度的作用，這是因為一般測量誤差的概率分布符合正態(tài)分布. 為了尋找一組數據的算術平均數，數學家勒讓德（Legendre）發(fā)明了最小二乘法，即對于一組觀測數據x，使誤差平方和∑（x-a）2達到最小的a是這組數據的算術平均數[1]. 英國科學家卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）進軍生物統(tǒng)計學時發(fā)現生物現象缺乏數量描述和定量分析，于是根據正態(tài)分布的密度函數和最小二乘法結構特點提出了“標準差”概念及其符號（σ）表示[2qTbMk1kuruMNVkolWTI8zA==]. 因此，標準差的教學，可以從平均數與誤差的發(fā)展關系開始.

2. 從標準差的含義進行理解

標準差是隨機誤差的代表，是衡量隨機誤差的標準. 對于一個測量過程來說，可以得到很多隨機誤差值δ，但不管用哪個具體的隨機誤差值來代表隨機誤差都不合適. 怎么辦呢？能否構造一個參數，讓它從總體意義上來表征隨機誤差呢？人們自然想到用各隨機誤差的平均值來代表它，可是這行不通，因為隨機誤差的總和為零，于是人們又想到用各隨機誤差絕對值的平均值來代表它，即令δ=，并稱它為平均偏差，但是最受歡迎的參量是標準差σ，具體表達式為σ==. 標準差的最佳估計值是實驗標準差s，具體表達式為s=，公式中除以n-1而不是n，是因為實驗標準差的分布一般不是正態(tài)分布，是偏分布;公式中的是算術平均值，=x，它是期望u的最佳估計值[3]. 因此，可以用標準差來比較兩組數據離散程度的大小，但如果兩組數據的測量尺度相差太大，或者數據量綱不同，就需要用變異系數來比較兩組數據的變異程度的大小了[3].

標準差的結構特征使它的應用很廣泛. 標準差的平方是方差，對于一個變量的誤差用方差表示，對于兩個變量的總體誤差則用協方差COV表示（COV=（x-）（y-））. 協方差可以表示兩個變量的相關性的正負，若考慮量綱，又可演變成相關系數rr=. 因此，標準差的教學還可以從它自身的結構特征分析出發(fā)，適當突出它在誤差理論、數理統(tǒng)計、測量方法等領域的應用.

3. 從標準差的教材分布進行理解

在小學階段，教材中的統(tǒng)計只有平均數的算法，沒有涉及標準差的概念和含義，但在教材中有“量一量，比一比”的內容，涉及誤差的說法，也就是說小學教材滲透了誤差的思想方法.

在人教版八年級下冊教材的“數據的波動程度”中，學生學習了標準差的公式及它反映數據的離散程度的意義，并利用標準差來比較平均數相等或者比較案例優(yōu)劣. 教材在“閱讀與思考”中設置了“數據波動程度的幾種度量”，介紹極差、平均差、標準差等反映數據波動程度的特點. 教材還設置了數學活動和課題學習，要求學生進行統(tǒng)計實踐活動并計算標準差，最后做出實際的說明判斷. 但閱讀與思考、數學活動和課題學習并沒有引起教師的注意，大部分教師關注的只是教材中的“數據的波動程度”的正文內容，使得大部分學生在學習中只知道標準差的“離散程度”作用和會用公式計算標準差.

人教A版（2019）高中數學必修第二冊教材的“9.2.4 總體離散程度的估計”給出平均數、中位數、眾數都相同的兩個運動員的射擊數據，讓教練用標準差來選擇運動員，并提出總體標準差、樣本標準差的概念，這個案例和上述初中教材選取的案例的功能基本一致. 教材最后指出平均數和方差一起能反映數據的取值信息，給出的案例是居民月均用水量的100個數據落在[-2s，+2s]外只有7個，也就是說絕大部分數據落在[-2s，+2s]內，但這個案例并沒有在教材中得到重視，只是淡淡地提到而已，不能引起師生的重視.

人教A版（2019）高中數學選擇性必修第三冊教材的“7.3.2 離散型隨機變量的方差”，以兩名同學射擊環(huán)數的分布列為例，在期望相同的情況下判斷射擊水平，從考慮穩(wěn)定性的角度出發(fā)引出方差、標準差的概念，并研究了方差的性質（D（aX+b）=a2D（X）），然后給出例題用方差進行決策判斷，還指出方差的大小可以反映技能的穩(wěn)定性、加工的精度、投資風險的高低等，但沒有給案例進行說明. 7.3.2的內容和9.2.4的內容相差不大，只是站在離散型隨機變量的角度思考問題，且教材也沒有突出此角度的標準差和7.3.2中的標準差的區(qū)別. 在“二項分布”中推導二項分布的方差np（1-p），在“正態(tài)分布”中給出誤差分布函數后，研究標準差大小與圖形的關系，并給出“3σ”法則，且在信息技術應用中給出概率分布圖及概率計算，強化“3σ”法則. 在成對數據的統(tǒng)計分析中，給出“樣本相關系數”的推導過程，其中數據“中心化”出現了統(tǒng)計量L（即協方差），為了統(tǒng)一量綱而“標準化即”形成樣本相關系數. “一元線性回歸模型及其應用”中假設隨機誤差e=0、方差為定值σ2的一元線性回歸模型Y=bx+a+e，并用最小二乘法得到經驗回歸方程=x+，教材著重體現了最小二乘法的形成使用過程，但是對“隨機誤差e=0、方差為定值σ2”沒有解釋. 也就是說，標準差在教材中出現的頻率很高，但是很“碎”很“散”.

教材在“標準差”部分的編寫思考：一是作為“數字特征”，作為刻畫離散程度數學化的一個量，研究它的性質、計算，這是教材主要體現的部分;二是作為“決策”手段，進行決策判斷，比如判斷射擊水平，選拔運動員等;三是與平均數一起表征數據信息，如“3σ”法則，教材限于篇幅，欲語還休，在“總體離散程度的估計”和“正態(tài)分布”中都只是簡單提及;四是與“標準化”的聯系，這在樣本相關系數的形成中提到過;五是與隨機誤差的關系，在一元線性回歸模型中蘊含著.

不足的是，教材正文并沒有強調標準差與平均數之間的關系;標準差的應用案例很少，且教材將關于標準差的應用和內涵，相當一部分放在選修、閱讀中去了，比較散亂;教材不看重歷史，關于標準差的歷史篇幅很少. 這些不足給師生的整體理解帶來了一定困惑，因此教師有必要重構教學標準差.

標準差的教學重構

1. 從誤差、統(tǒng)計、概率三個角度重構教學“標準差的概念”

（1）情境引入

公元4世紀，在古印度有一個估計果樹上果實數目的故事：一棵枝葉茂盛的大樹長有兩條大的樹枝，Rtupama需要估計這兩條樹枝上果實的數目.他首先估計根部的一條細枝上的果實數目，然后乘以樹枝上的細枝數目，得到估計值為2095. 經過一夜計數，證明Rtupama所估計的果實數目十分接近實際的果實數目.

問題1 Rtupama所選擇的細枝上的果實數目代表什么樣的數學含義？Rtupama所估計的果實數目與實際的果實數目之間的差異叫做什么？

設計意圖 選擇的細枝上的果實數目代表平均數，差異是誤差，揭示誤差和平均數是相隨相伴的關系.

（2）誤差角度理解

16世紀，天文學家通過計算多個觀測值的平均數，以便把誤差降低到較小的程度. 英國天文學家、數學家辛普森（1710—1761）試圖推廣天文學界計算平均數的方法，他證明，若以觀測值的平均數去估計真值，誤差將比單個觀測值要小，而且隨著觀測次數的增加，誤差會進一步減小.

問題2 下面（表1）是某天一個女生身高的10次測量值（單位：cm）.

這個女生的身高平均值是多少？用身高平均值代替女生的真實身高，每次測量的誤差是多少？

這10個數的平均數=（x+x+…+x）=165.09（cm），用它代表該女生的真實身高，測量隨機誤差如表2所示.

追問：代表10次身高數據的是身高的平均數，那么代表10個隨機誤差的是什么數呢？

設計意圖 銜接問題1，根據辛普森的介紹，引導學生思考追問，學生自然想到用隨機誤差的平均數來代表它，但平均數之和為零，不得不想到加絕對值、簡便運算、單位統(tǒng)一等要素，從而理解標準差的含義，引出標準差的概念.

（3）統(tǒng)計角度理解

標準差的概念是誰提出來的？為什么叫標準差呢？

問題3 甲、乙兩名射擊隊員在一次射擊測試中各射靶10次，每一次命中的環(huán)數如下（表3）：

如果你是教練，你會如何評價這兩名運動員的射擊情況？如果這是一次選拔考核，你會如何選擇？

追問：通過上面計算標準差的過程，如果知道數據x，x，...，x的頻率，那么還可以怎樣計算標準差？

設計意圖 介紹提出標準差概念的卡爾·皮爾遜及標準差的含義，借助問題3進行驗證，同時通過結論分析去認識樣本標準差的局限，以及s=的形式，為隨機變量的標準差的形成做好鋪墊.

（4）統(tǒng)計概率的結合理解

伯努利大數定律是數理統(tǒng)計的一塊基石，是指在n重伯努利試驗中，在實驗次數足夠大的條件下，某一事件發(fā)生的頻率無限接近其發(fā)生的概率.

問題4 要從甲、乙兩名同學中選一名代表班級參加射擊比賽，根據以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數X和Y的分布列如表4和表5所示. 如何評價甲、乙兩名同學的射擊水平？

追問：如果甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數的平均數不同，又怎么比較呢？

設計意圖 借助伯努利大數定律體會隨機變量的標準差和樣本標準差的聯系和區(qū)別，借助問題4的追問延伸出變異系數的知識.

上述四個問題從誤差理解開始，過渡到統(tǒng)計學、數理統(tǒng)計，促使學生明白標準差的生成發(fā)展，整體認識標準差，解決教材知識分散導致學習碎片化的問題.

2. 從真實案例的角度重構教學“標準差的作用”

（1）真實數據，引出課題

情境 某校6個理科班289人參加數學競賽選拔考試，成績如表6所示，平均分61，標準差12. 其中前10名成績分別為100，98，95，95，93，88，88，88， 88，87，86，86，85，84，83. 如何根據平均分和標準差確定最佳的參賽人數？

設計意圖 用一個實例引入課題，調動學生的積極性，并闡明學習標準差的作用.

（2）公式剖析，揭示本質

問題5 標準差的公式是什么？反映的意義是什么？

設計意圖 通過問題引導學生回顧標準差反映數據離散程度大小的作用，理解標準差反映數據離散程度大小的本質是它與數據偏離平均數的平均距離有關，并從這個本質引出偏離平均數n個標準差距的三個區(qū)間（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）（u指平均數，σ指標準差），以及數據落在這三個區(qū)間上的頻率有某種規(guī)律.

（3）計算發(fā)現，探索新知

例1 算一算上述情境中的成績數據落在（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）區(qū)間上的頻率.

總人數為289，平均分u=61，標準差σ=12，因此成績數據落在（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）區(qū)間上的頻率分別約為66.06%，94.98%，99.48%.

例2 下面是27人每30秒的心跳次數紀錄：

這組數據的平均數u=34.4，標準差σ=6.8，因此其落在（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）區(qū)間上的頻率分別約為74.07%，96.29%，100%.

追問：結合這兩個例子，數據落在上述三個區(qū)間的頻率有什么共同特點？當樣本數據很多時，數據落在上述三個區(qū)間的概率有什么特點？

思考：換個角度，區(qū)間（u-3σ，u+3σ）外的概率有什么特點？

設計意圖 通過小組合作討論交流，揭示數據落在偏離平均數n個標準差距的（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）區(qū)間上的概率分別約為66%，95%，99%，以及小概率事件原理.

（4）應用鞏固，體會作用

練習1 圖1是工廠生產零件時的質量監(jiān)控圖，即在生產過程中，每隔一定的時間任取一個零件進行檢查，并將檢查零件的尺寸用圓點標注在圖中，若圓點在控制界（u-3σ，u+3σ）外，就要進行停機檢查，請解釋這樣做的理由.

練習2 回到前面情境中的問題，根據平均分和標準差，你能確定最佳的參賽人數嗎？

學生通過計算判斷，得98分和100分的兩位學生為最佳人選，因為分數在區(qū)間（u-3σ，u+3σ）外.

練習3 某同學在這次數學競賽選拔中考了84分（平均分61，標準差12），同時又在物理競賽選拔中考了76分（平均分30，標準差15），84分、76分屬于（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）中的哪個區(qū)間？他的數學成績和物理成績哪個更好？

84分在區(qū)間（u-2σ，u+2σ）內，76分在區(qū)間（u-3σ，u+3σ）外，所以物理成績更好.

設計意圖 通過練習，引導學生體會標準差不僅可以為決策服務，還可以比較不同類別的數據優(yōu)劣. 上述案例著重體現標準差的應用與其含義緊密相關，并揭示標準差在生產生活中有著廣泛應用，以彌補教材發(fā)揮標準差作用的不足，還可以讓學生在課后收集標準差的應用案例，促使學生對標準差的作用有更深刻的認識.

反思與建議

重構后的標準差的教學設計在實踐中得到了教師的認可，學生有更大的收獲和情感體驗. 課堂教學實踐選擇的是普通中學的高二學生，在標準差的概念教學中，學生經歷了標準差的形成過程，了解了標準差的起源，知道了標準差在統(tǒng)計概率中的不同表達形式、區(qū)別、聯系和其中的歷史文化，形成了標準差的知識結構，學生也興趣盎然地投入到課堂中，這是重構后很成功的地方. 標準差的應用使學生理解到標準差與平均數一起反映的信息到底在生活中的具體作用是什么，從而彌補教材“欲言又止，輕描淡寫，忽視本源作用”的不足. 但是這種跨越式學習的前提是學生要有一定的知識積累，對教師整合教材的要求也比較高，同時考慮到學情，沒有選取標準差作用于生產生活中的更多案例.

通過實踐，建議教師用單元整體教學思想教學標準差知識內容，這樣可以避免按照教材順序教學的時間浪費. 另外，可以擇取標準差知識縱深發(fā)展的閱讀材料供學生選擇性學習，使學生對標準差的認識不局限于“反映離散程度大小”的視角，便于學生整體認識和理解標準差的地位和作用.

參考文獻：

[1] 吳駿，黃青云. 基于數學史的平均數、中位數和眾數的理解[J]. 數學通報，2013，52（11）：16-21.

[2] 陳希孺. 數理統(tǒng)計學簡史[M]. 長沙：湖南教育出版社，2002.

[3] 李謙. 縱談標準差[J]. 廣東電力，2001（2）：76-78.

基金項目：重慶市教育科學“十三五”規(guī)劃2020年一般規(guī)劃課題“基于學科大觀念的高中數學單元教學設計策略研究”（2020-07-494）.

作者簡介：吳家全（1973—），教育碩士，中學數學正高級教師，重慶市骨干教師，主要從事中學數學教育教學教研工作，主持的市級課題“中學數學自然目的式教學”獲市教育學會成果評比二等獎.