基于問題解決模型的小學數學教材比較研究

【摘 要】不同版本的教材在編排思想、內容邏輯上各具特色，吸收借鑒不同版本教材的特點，有助于給教師提供更豐富的教學設計視角。文章圍繞“比賽場次”這一內容，選取滬教版與北師大版兩個版本的數學教材作比較研究，對比教材內容編排方式和特點，分析“比賽場次”的教學功能和價值，得出兩個版本的教材在教學策略、推理方法、結論表達、習題安排上側重點不同的結論，得到同樣的題材能實現不同的目標、不同的題材能實現同樣的目標的教學啟示。

【關鍵詞】比賽場次 教材比較 教學啟示

許多版本的教材都安排了“比賽場次”這一教學內容，要解決的是若干參賽隊伍進行單循環賽需要安排多少場比賽，這本質上是一個簡單的組合問題：從n個元素中取兩個有多少種組合？由于組合問題與元素排列的順序無關，所以，組合數=n×（n-1）÷2。在小學數學中，與其數學本質相同的問題還包括“數線段”“數圖形”“握手問題”等。我們不禁要問：同樣的教學內容，不同版本的教材采取的學習路徑與教學策略相同嗎？對我們的教學有什么啟發？

本文選取滬教版和北師大版教材“比賽場次”的正文內容和習題作為研究對象，作教材的呈現內容對比，同時從教材與教學、學情與起點等方面作進一步的定性分析。

一、教材的呈現內容對比

（一）滬教版教材描述

滬教版教材以中國女排參加2004年奧運比賽獲得金牌的情境引入，提出“中國隊在小組賽中要進行幾場 比賽？”的問題，引導學生用連線、列表的方法展開有序思考，通過不重復、不遺漏的枚舉解決問題，進而引導學生用算式表示思考的過程和結果。在鞏固練習中創設了學校乒乓球比賽的情境，引導學生用學到的方法解決問題，意圖讓學生體會乘除法計算方法在數量較大時的優勢。

（二）北師大教材描述

北師大版教材先引入“10名同學進行乒乓球比賽”的實際情境，引導學生從簡單的情形開始，用列表或畫圖的方法，數出相應的比賽場次。進而，引導學生發現比賽場次與參賽人數之間的對應規律。鞏固練習安排了“聯絡方式”的習題，引導學生進一步體會“從簡單情形開始”尋找規律解決問題的優勢。

顯然，兩個版本的教材都以“問題解決”為出發點，但它們在年級安排、情境創設、教學策略、推理方法、習題安排等方面都有所不同，側重點也有所不同。

二、教材的定性比較

（一）教材與教學：同為“問題解決”

相對于小學數學的數與代數、圖形與幾何、統計與概率的主流知識而言，“比賽場次”研究的是一個非常規的問題，列出“5+4+3+2+1”和“6×5÷2”這兩個算式的依據不是通常所說的“數量關系”，即使涉及運算意義，那也不是源于簡單的識別，而是經歷了頗為艱難的探索才認識到它與運算意義的關聯，即便如此，“6×5÷2”中“÷2”的意義也看不出與“等分除”“包含除”之間有什么明顯的關聯。使用了畫圖、列表的方法，卻與圖形與幾何、統計與概率的知識沒什么關系，凸顯的是解決問題的策略，兩套教材基本上都遵循了波利亞提出的問題解決四步驟：審題、擬訂方案、執行方案、反思。

從情感態度與價值觀的角度來看，滬教版教材重在通過有德育意義的問題情境展開探究活動，培養學生的模型意識，使學生獲得成功的體驗；北師大版教材重在使學生感受到數學與現實生活的密切聯系，在學習活動中感受發現的樂趣。

（二）多樣與單一：教學策略不同

兩個版本的教材都采用了探索發現的教學策略，但兩者的使用目的完全不同。滬教版中畫圖、列表的作用是解釋性的，功能比較單一，教材中連線畫圖、列表均是解釋列式的算法不正確，從而引出正確的算法。北師大版中畫圖、列表的作用是探索性的，功能比較多樣。學生第一次用畫圖或列表策略嘗試解決問題時，由于參賽人數比較多，不容易數清楚，從而引出“退”的策略。第二次使用這一策略不僅需要根據參賽人數探究比賽場數，還要探究兩者之間的關系以發現規律，并說明規律的合理性，進而解決復雜問題。

（三）演繹與遞推：推理方式不同

一般而言，本質上邏輯推理只有演繹推理和歸納推理兩種形式。滬教版側重的是演繹推理。教材中在解釋中國隊在小組賽中為什么要比賽5場，整個B組比賽場次的計算方法為什么是“5×6÷2”或“5+4+3+2+1”時，都是演繹推理。北師大版側重的是歸納推理，特別是遞推思想的滲透。教材利用畫圖、列表的方法，引導學生發現其中的規律是n名學生比賽時，比賽場數是從1加到n-1。教材把一個復雜的實際問題轉化為每次在前面的基礎上增加一個，滲透了遞推的思想方法，為學生以后的學習作好鋪墊。

（四）乘法與加法：結論表達不同

滬教版教材呈現了兩種計算比賽場次的方法：5+4+3+2+1和6×5÷2，側重的是后者，即簡單的組合問題的公式算法。教材基于第一個問題得出結論：一個隊要比賽5場，再提出“6個隊要賽幾場”的問題，學生自然地認為是6×5=30。教材通過連線、列表法驗證，30場中有重復，需要“÷2”去除重復部分。教材雖然通過有序列舉，給出了加法算式“5+4+3+2+1=15（場）”，起到的主要作用還在于體會重復——為了避免重復所以出現了算式中的數字遞減。可見，滬教版教材在加法和組合公式算法之間選擇了側重后者，當然，這對解決復雜問題是有利的。

北師大版教材通過畫圖、列表讓學生發現其中的規律，解答此題的列式是“1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（場）”。同樣是加法，但與滬教版的加法有本質的區別，滬教版的加法指向“6個隊賽幾場”的問題解決，加法算式中的數字是遞減的，這與有序列舉時需要避免重復的要求是一致的。北師大版教材的加法算式是與遞推思想一致的，因此式子中的數字是遞增的。

（五） 類題與異題：練習安排不同

兩個版本的教材提供的課后習題完全不相同。滬教版教材安排了三道習題，都是圍繞有關比賽場次進行鞏固練習，都是解決不同情境的同類問題。北師大版教材安排了1道習題“聯絡方式”，這道題與比賽場次的學習內容毫無關聯，也不能用解決比賽場次問題的結論來解答這道題。要解決這道題，就只能從簡單的情形開始尋找規律，這就凸顯了“從簡單情形開始尋找規律”，也就是“退”的解決問題策略的重要性，側重體會圖表的簡潔性和有效性，培養綜合應用意識。

同樣的教學內容，練習安排不同，源于兩個版本教材的教學目標不同，滬教版的目標是得出解決比賽場次問題的計算方法，北師大版是讓學生經歷探索過程，通過“退”的策略尋找規律，強調的是解決問題的策略（思想方法）。

三、比較研究的啟示

比較研究不能簡單地就滬教版、北師大版哪個更好輕易下結論，但給我們帶來了一些啟示：同樣的載體可以有幾乎迥然不同的用法，產生大不相同的教學效果。特別地，北師大版和滬教版的教材處理似乎能互成教學系列，先以北師大版的教學思路幫助學生經歷探究過程、積累活動經驗，再以滬教版的教學思路提煉活動經驗，建立數學模型。這將促使我們進一步思考：在同一套教材中，如何用同樣的主題實現不同的目標？如何用不同的主題實現同樣的目標？

（一）用同樣的題材實現不同的目標

用同樣的題材實現不同的目標，一方面要挖掘題材不同側面的教學功能，通過教學，使學生在達成學科教學目標的同時形成對主題的多角度、立體認知，這有利于深化學生對數學與現實世界緊密聯系的認知；另一方面要挖掘同一側面在不同學習階段的教學功能，隨著學習的深入不斷深刻認識問題的本質。如浙教版教材中有“一莢豌豆有幾粒”的主題，這一主題出現在三年級下冊統計單元的實踐活動中，三年級學生對此有一定的生活經驗，但這種經驗是零散的，他們對其中蘊含的規律的認識也是不清晰的，通過調查統計可以使之系統化和清晰化。四年級下冊學習可能性時，就可以用這一題材認識可能性及大小，并由此推斷1000莢豌豆的情形。

實際上，三年級上冊實踐活動所得的數據還可以作為四年級上冊條形統計圖學習的作圖和數據分析的題材，通過條形統計圖表示數據多少，體驗數據中蘊含的規律性，感悟眾數和正態分布；也可以作為六年級上冊扇形統計圖的作圖和數據分析題材，引導學生用樣本的頻率分布估計總體，驗證可能性大小，從而作出合理推斷，學會用數據說話，形成數據分析觀念。這樣的主題教學，緊密聯系學生的生活經驗，體現了統計與概率之間的緊密聯系，既能有效降低學生理解揣摩教材情境的難度，又能使其充分利用之前的知識經驗，不斷深化對統計規律的認識，更好地實現不同的教學目標。

（二）用不同的題材實現共同的目標

在同一版本的教材里，教材選用的主題應該豐富多樣，貼近學生生活實際而又有所拓展。

用不同的題材實現共同的目標，常見的是用不同的題材來實現共同的知識與技能目標。題材的使用通常有兩種方法：一是先后使用，如滬教版教材先使用比賽場次情境，再使用兩人組合拍照；二是并列使用，為學生提供選擇學習的機會，如學習乘法分配律時同時提供以下不同主題的問題情境：（1）已知上衣和褲子的單價，求5套衣服的價格；（2）在3元店里（每樣物品單價都是3元），買5個小喇叭和12條彩帶的總價是多少；（3）求兩個共邊長方形的面積和；（4）6行4列和6行8列的點子數量和。

較少見到的是用不同的主題實現共同的過程與方法目標。比如本文中北師大教材中的比賽場次問題與聯絡方式問題。要注意分析不同主題的問題情境中過程與方法目標的內涵，形成序列和群組，通過反復運用積累經驗，形成意識。如數學中“轉化”的思想方法，首先要基于基本的原理，如加減法中的“同單位數才能直接相加減”，由此小數加減法可以轉化為同單位前提下的整數加減法，分數加減法也可以轉化為同單位前提下的整數加減法。

【參考文獻】

戚洪祥.數學問題解決：演變、內涵及實踐路徑[J].上海教育科研，2020（11）.