面向“雙一流”建設的傅里葉變換拓展教學策略

摘" 要：傅里葉變換是世界上最著名的十大公式之一，廣泛應用于復雜數(shù)學問題求解與證明、目標特征信號分析與處理以及實際工程問題簡化與解決。該文立足于大二本科生學情特點，旨在從課堂導入、內(nèi)容講解、思維啟發(fā)和價值引領等方面創(chuàng)新出相對完備的拓展教學策略。

關鍵詞：雙一流；傅里葉變換；拓展教學；思維啟發(fā)；價值引領

中圖分類號：G640" " " 文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2096-000X（2024）25-0038-05

Abstract： Fourier Transform is one of the ten most famous formulas in the world， which is widely used in solving and proving complex mathematical problems， analyzing and processing target characteristic signals， and simplifying and solving practical engineering problems. Based on the characteristics of sophomore students' learning situation， this paper aims to innovate relatively complete expansion teaching strategies from the aspects of classroom introduction， content explanation， thinking inspiration and value guidance.

Keywords： double first-class; Fourier Transform; expanding teaching; thinking enlightenment; value leading

近年來我國提出了發(fā)展高等教育的“雙一流”戰(zhàn)略決策，為世界強國科技創(chuàng)新和成果轉(zhuǎn)化的競爭提供核心驅(qū)動力。新工科背景下的創(chuàng)新型人才培養(yǎng)目標要求強化理工科學生的數(shù)理基礎和工科素養(yǎng)，對于應用類數(shù)學課程教學提出更高的要求與挑戰(zhàn)。數(shù)學物理方法課程是一門與實體科學、工程實踐緊密相結(jié)合的高等數(shù)學學科[1-2]，其中傅里葉變換是復變函數(shù)部分和數(shù)學物理方程部分的關鍵黏合劑，被廣泛應用于聲音處理、圖像分析、信號調(diào)節(jié)和科學研究等。傅里葉變換章節(jié)主要包括四部分內(nèi)容，分別為傅里葉級數(shù)概念、傅里葉變換概念、傅里葉變換性質(zhì)和傅里葉變換應用，主講教師往往需要2～3學時完成講解。傅里葉變換內(nèi)容的教學模式在不斷創(chuàng)新，主要通過兩方面來實現(xiàn)：一方面，通過增加互動、結(jié)合生活等方式提高學生的學習興趣，來緩解冗長復雜公式推導對課堂積極性的削弱[3-4]；另一方面，引入能夠應用傅里葉變換解決的本領域典型工程案例，來提高本科生的概念理解程度和工程創(chuàng)新思維。筆者至今恰好完成三輪課程講解，基于調(diào)研學習、學生反饋和反思總結(jié)不斷改進教學模式，拓展教學策略，旨在不增加學生負擔的情況下落實立德樹人根本任務，借助本節(jié)課程同時提高學生的學術(shù)能力及創(chuàng)新素養(yǎng)。

即使傅里葉變換章節(jié)內(nèi)容具有很強的實用性，但冗長繁雜的公式理論推導對學生們的積極性和專注度造成了嚴重沖擊，數(shù)理基礎薄弱的學生更是心有余而力不足。比如，在傅里葉變換公式推導過程中需要使用到歐拉公式、復變函數(shù)積分公式和三角函數(shù)換角公式等。但與此同時，按照數(shù)學物理方法課程的整體安排，盡管本章內(nèi)容具有較高難度和關鍵意義，任課教師所使用的教學時間往往不會超過3學時。綜上所述，授課教師在進行傅里葉變換章節(jié)講解時，往往會面對三個矛盾：首先是公式推導枯燥性與學生保持積極性的矛盾，其次是理論內(nèi)容復雜性與學生數(shù)理基礎參差不齊的矛盾，最后是課程邏輯緊密性與平滑強化價值引領的矛盾。

一" “生活—學術(shù)—工程—生活”教學閉環(huán)

該課程教學存在的最主要問題就是學生的學習積極性普遍不高，在課堂上容易走神。究其原因，主要是教師在課堂前幾分鐘沒有激發(fā)起學生的興趣和求知欲望。因此，我們在課堂教學中必須重視課堂導入環(huán)節(jié)。雖然課堂導入只占很少時間，但是它卻在集中學生注意力、激發(fā)學生學習興趣及啟發(fā)學生的思維等方面有著重要作用。研究者提出可以用知識遷移、價值取向和情境設置等方法導入課程，為筆者教學設計創(chuàng)新提供了較大的借鑒意義[1]。

在傳統(tǒng)教學研究中，任課教師們通過聯(lián)想生活案例、導入工程實例或介紹科學家生涯趣事等方式來吸引學生注意力，以此為突破點來緩解冗長復雜公式推導對課堂積極性的削弱，盡可能讓學生將注意力保留在課堂之中。這些方法確實起到了很大的成效，但筆者在調(diào)研學習中發(fā)現(xiàn)，在絕大多數(shù)教師的授課過程中這些元素未能有效結(jié)合，因此所引發(fā)的實際效果相對孤立，無法貫穿整堂課教學，課堂效果仍有可提升空間。為了化解公式推導枯燥性與學生保持積極性的矛盾，筆者發(fā)展了“生活—學術(shù)—工程—生活”的成熟教學閉環(huán)模式。

以筆者本人為例，在筆者上本門課程的第一個學年，先引出一個復雜數(shù)學曲線模型，讓學生嘗試用數(shù)學語言去表達描述，激發(fā)學生的好勝心并快速過渡到簡單的三角函數(shù)形成強烈對比，三角函數(shù)可以通過改變振幅、周期、相位和常數(shù)項來調(diào)控縱向長度、橫向?qū)挾?、橫向位移和縱向位移，因而讓學生自然而然地聯(lián)想到，原來通過將簡單元素線性組合的方式就能描述出復雜的數(shù)學模型。然后就引入到傅里葉變換的正常教學過程中，具體展示講解怎么將復雜函數(shù)離散化，當學習完傅里葉變換的基本內(nèi)容后，再過渡到工程實例來說明傅里葉變換的實用價值，讓學生明白該理論雖然復雜，但卻是非常實用的。這樣就相當于形成了“數(shù)學—學術(shù)—工程”的教學模式，也是多數(shù)年輕教師喜歡使用的課堂模式，先用復雜數(shù)學問題激發(fā)學生好勝心，再開展縝密的公式推導，最后遷移到工程實例培養(yǎng)工程思維意識。但是在課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，這樣的教學模式存在一定的弊端，就是大部分學生對解決復雜數(shù)學問題是感興趣并充滿期待的，然而對于數(shù)理基礎、學術(shù)自信薄弱的學生而言，以數(shù)學難題開端所帶來的正面效果非常有限，復雜的數(shù)學模型反而讓他們預判這節(jié)課難度過高，從而產(chǎn)生畏懼心理然后慢慢掉隊。

為此，筆者在執(zhí)教本門課程的第二個學年做出改變，首先引出一個工程實例來吸引學生，然后再慢慢揭示其工作機理，讓學生對于如何通過理論分析實現(xiàn)機理充滿好奇，埋下這個伏筆后讓學生們帶著疑問去學習傅里葉變換的理論公式推導，然后通過教學指引讓學生們在學習的過程中逐步感受到，從數(shù)學學科的一個參數(shù)是如何一步步發(fā)展到工程領域的一個案例，最后慨嘆學術(shù)和工程的密不可分。在此基礎上再通過例題引入復雜工程模型，與課程開始時引入的簡單工程實例前后呼應，難度上也能循序漸進。這樣就相當于形成了“工程—學術(shù)—工程”的教學模式，也是多數(shù)資深教師喜歡使用的課堂模式，先用實際工程問題集中學生注意力，激發(fā)他們對未知領域的好奇心，再開展縝密的公式推導，最后遷移回復雜工程實例強化工程思維意識。但是在課后交流中，發(fā)現(xiàn)這樣的教學模式也存在一定的可提升之處，主要有二：首先，資深教師往往有著豐富的工程經(jīng)驗和項目經(jīng)歷，他們很容易找到較為合適的案例用于課程導入，他們對于這些案例有著更豐富的理解，而年輕教師的實踐經(jīng)驗相對欠缺，因而講解難以直接切中要害，讓本科生快速理解工程案例的關鍵要點，因此如果對課程導入工程案例的選取不當，反而會讓學生覺得乏味或者心生畏懼；其次，與“數(shù)學—學術(shù)—工程”教學模式相同，由于缺乏生動有趣的生活案例，無法將學生帶入到實際情境，無法同時激發(fā)全班同學的好勝心或好奇心，也難以將復雜公式中的諸多參數(shù)形象化、簡單化。

在教學的第三年，筆者吸取先前經(jīng)驗教訓，開始使用“生活—學術(shù)—工程—生活”閉環(huán)教學模式，通過課堂觀察和課后反饋發(fā)現(xiàn)該模式的課堂效果較為良好，具體如下：首先，搜集一系列和傅里葉變換相關的生活場景，集中于一頁PPT以給予學生視覺沖擊，要求這些案例生動形象且相互補充，再配合以多個問句及幽默圖片來快速激發(fā)學生的學習興趣。例如，為什么警察可以從一段嘈雜的錄音中快速提取出目標嫌疑人的犯罪證據(jù)？為什么軟件可以在一張任意的照片中自動識別出關鍵部位并按需進行美化？為什么研究人員可以針對未知信號實現(xiàn)通用的高效化、定制化分析和處理？筆者相信，良好的課堂導入已經(jīng)是成功的一半，從課堂狀態(tài)反饋也可以得到初步結(jié)論，幾乎所有學生都被這些形象生動的生活案例所吸引，自發(fā)地而不是功利地產(chǎn)生濃厚學習興趣，這克服了以復雜數(shù)學問題或?qū)嶋H工程案例進行課程導入的潛在弊端，更有利于兼顧不同層次學生。在此基礎上開展傅里葉變換的細致理論公式推導，與之前模式不同的是，由于在先前引入了生活案例，教師在此處的知識講解不再晦澀難懂。例如，在講到時域信號時就可以舉例說這就相當于一段質(zhì)量不佳的錄音或視頻，而在提及到頻域信號時就相當于那段錄音或視頻所對應的本質(zhì)特性，傅里葉變換包括傅里葉正變換和逆變換，就相當于把音頻或視頻的本質(zhì)特性提取出來并優(yōu)化，再轉(zhuǎn)化回原有格式生成高質(zhì)量音頻或視頻。由此可見，通過生活場景課堂導入，就可以把原本枯燥難啃的理論推導轉(zhuǎn)化為形象生動的思維邏輯分析，讓每一個學生都能輕松跟上教師的節(jié)奏。否則，一些學生很可能會因為時域信號和頻域信號相互轉(zhuǎn)化的公式復雜性陷入思維混亂，在公式推導過程中轉(zhuǎn)變?yōu)榈托ё詫W模式甚至自我放棄。在完成理論知識講解后，筆者通過精選的三道例題來強調(diào)傅里葉變換的重要意義，難度上由簡到難層層遞進，分別闡述了傅里葉變換在復雜數(shù)學問題求解與證明、目標特征信號分析與處理以及實際工程問題簡化與解決方面的實際應用價值。通過幾道例題的學習，筆者不斷強化學生的工程能力和創(chuàng)新思維，并在總結(jié)應用價值后直接遷移回生活場景，為什么我們在喧鬧環(huán)境接電話時會本能地產(chǎn)生皺緊眉頭、微閉雙眼等本能反應，實際上我們的耳朵構(gòu)造和收到的音頻信號是不可能改變的，我們是在開啟并強化大腦的傅里葉變換功能，是將音頻信號轉(zhuǎn)化為頻域信號，并根據(jù)來電者的音色特征判斷他聲音所對應的頻域區(qū)間，對這段目標區(qū)間進行強化，對其他區(qū)間進行弱化，最后轉(zhuǎn)化回人體可以享用的時域信號就可以明白來電者的意圖了，最后畫龍點睛，實際上傅里葉變換不僅是數(shù)學學科和工程領域的關鍵工具，更是人類大腦與生俱來的功能，同學們也感嘆科學的魅力，原來科學真的是源于生活且高于生活。在后續(xù)教學過程中，筆者將繼續(xù)優(yōu)化“生活—學術(shù)—工程—生活”閉環(huán)教學模式，選用更經(jīng)典的生活場景和工程案例來提高學生的積極性和專注度，為提高學生學會本節(jié)課程內(nèi)容、夯實工程創(chuàng)新思維打下扎實基礎。

二" 研討式和分層式教學的有效結(jié)合

本章教學中任課教師所面對的一個難題就是，傅里葉變換的公式推導過程冗長枯燥但又非常緊密，如何在不打斷整體邏輯的前提下讓不同層次學生都能夠積極思考與討論？為了進一步提高學生的好勝心和積極性，并化解理論內(nèi)容復雜性與學生數(shù)理基礎參差不齊的矛盾，筆者在傅里葉變換教學中始終強調(diào)研討式教學和分層式教學的有效結(jié)合。不斷提出新的問題，讓學生在研討中邊學習邊思考，從而提升主觀能動性和自我思考意識。靈活使用PPT和講義等工具，多軌分層次教學，讓不同層次的學生都可以處于良好的學習軌道。

研討式教學的前提和重點在于確定主題，并進行“研”與“討”。為了研究，學生必須查閱資料，儲備理論知識；為了討論，學生必須具有敏銳的綜合分析問題能力和流利的口頭表達能力。研討式課堂教學需要教師和學生雙方都參與進來，他們都將以主導和主體的身份進入研討式課堂，在此過程中，要求教師和學生課前充分準備。確定研討內(nèi)容：應選擇教學中的重點、難點、有爭議的學術(shù)問題或?qū)W科前沿問題為研討內(nèi)容，確定研討目標。學生依據(jù)教師布置的任務，自主地通過不同的方式方法整理相關研究的資料，在資料整理的過程中能夠充分體驗對于問題研究方法的大致理解，寫出具有自己觀點的文字總結(jié)。然后分小組進行介紹和討論。小組研討結(jié)束后，總結(jié)小組發(fā)言，并在全班進行交流，闡述本小組的研究情況[5]。傅里葉變換課程講解的研討式教學策略具體如下：

在公式推導過程中找到最難點，該處也是大部分學生最容易掉隊的位置，從該位置剝離出簡化數(shù)學思維，讓學生進行思考討論，進而實現(xiàn)教學過程的平滑過渡。例如，學生們在理論學習如公式（1）時往往就不會繼續(xù)化簡

等著老師去講化簡方法而不是主動思考，多數(shù)授課教師不會在該位置特殊強調(diào)技巧，而是直接去講解具體的化簡思路和結(jié)果，來保持公式推導過程的邏輯緊密性和教授本節(jié)課程的時間寬裕度。這種授課方式具有一定的合理性，也能節(jié)約出時間來講解更多復雜例題或工程實例，但卻沒能最大程度上促進學生去思考、交流和協(xié)作。實際上公式（1）是級數(shù)和積分的復合表達式，筆者講到這里時會特意拋出一個問題，請大家思考該公式能否通過已經(jīng)學習過的積分和級數(shù)公式化簡推進？這時從課堂反映可以看出部分同學已經(jīng)有了思路，但大多數(shù)同學還比較疑惑，因為他們在之前的學習中背誦過大量相關概念和公式，卻沒有深入理解積分和級數(shù)的相通之處。接下來筆者會讓大家聯(lián)想已經(jīng)學習過的其他課程或相似公式，看看有沒有可能將這個多個概念的復合表達式轉(zhuǎn)化為單一概念表達式，經(jīng)過這樣的指引學生發(fā)現(xiàn)這個級數(shù)的表達式原來就類似于積分定義式，在師生互動過程中我們就將級數(shù)表達轉(zhuǎn)化為積分表達，從而公式（1）可以轉(zhuǎn)化為

在這樣的研討式教學過程中就可以實現(xiàn)三個小目標：首先，讓學生能更深入地理解級數(shù)和積分的區(qū)別和聯(lián)系，既能為本節(jié)課內(nèi)容也能為其他相關課程鞏固基礎；其次，讓學生在理論學習中也能體驗到自己攻克難關的快感，有利于他們保持學習興趣和課堂注意力；最后，強化學生的創(chuàng)新思維，面對日趨嚴峻的競爭環(huán)境，學生們在數(shù)學學科學習過程中可能會陷入一個誤區(qū)，就是會使用公式比理解公式更重要，會背誦公式比會推導公式更重要，這樣的思維模式非常不利于他們形成科研素養(yǎng)和創(chuàng)新思維，所以通過研討式學習能夠緩解此類問題。

除此之外，還應該充分重視例題的多功能作用，例題在于精不在于多，傳統(tǒng)講解過程中的例題偏向于強調(diào)核心知識的具體使用，但實際上可以結(jié)合精選例題和研討式教學來達到一舉三得的效果。例如，傅里葉變換的一個重要應用就是證明復雜數(shù)學公式，很多授課教師選取的第一道例題就是求解矩形脈沖函數(shù)的傅里葉正變換及其逆變換，然后在完成完整求解過程后得到復雜等式，再過渡到傅里葉變換在數(shù)學復雜定理證明上的價值，從課程邏輯而言是完備嚴謹?shù)?，但并未能充分發(fā)揮學生的主觀能動性，這就導致學生只能學會難以深入理解。為了解決這一問題，筆者會在上節(jié)課的課后特意留下課后作業(yè)，讓學生們求解如下積分式

特別地是，筆者給了提示可以考慮用分部積分法、換元法和數(shù)值法，這也是大二本科生已學課程中對于此類問題的全部解法，并且將所有學生分為三組，分別使用上述三個方法進行求解。在本節(jié)課上我們首先進行課上研討作業(yè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這三個傳統(tǒng)方法都沒法解決這一問題，為此先埋下伏筆讓大家思考有沒有可能有其他方案。然后再去講授求解矩形脈沖函數(shù)的傅里葉正變換及其逆變換的例題，讓學生驚奇地發(fā)現(xiàn)這么復雜的定理竟然通過傅里葉正變換和逆變換兩個公式就輕松求解了，困擾了他們幾天的課后作業(yè)得到了解決。這種教學策略的設計，有利于學生對這一內(nèi)容形成深刻的印象，并在此過程中培養(yǎng)主動思考的意識和本能。

除了研討式教學，筆者還注重分層式教學的引入，力爭兼顧不同層次學生，引領每一個學生駛向良性學習軌道。盡管本團隊的課程教學對象為“985”高校理工科大二本科生，但他們的高中生源地教育質(zhì)量存在著明顯差異，并在大一學習生活中初步形成了大學課堂習慣和思維意識，完成了高等數(shù)學、線性代數(shù)等核心基礎課程的學習。因此，這些學生在數(shù)理基礎、學習習慣和主觀能動性等方面已經(jīng)存在一定差異，如何能在教學過程中考慮不同學生特點、提高他們綜合能力是本門課程的難點和重點所在。

具體而言，配合使用課堂PPT和章節(jié)講義，對于傅里葉變換理論推導過程開展PPT雙軌分層展示，來兼顧不同層次學生。對于數(shù)理根基扎實的學生有必要通過本課程繼續(xù)強化其數(shù)理基礎，逐步激發(fā)工程能力和創(chuàng)新思維，而對于更多的學生而言，學習本課程的意義主要在于實際應用，即熟練掌握如何使用本門課知識解決將來遇到的實際問題，這就要求任課教師在教學過程中必須要有所取舍，來保證所有學生處于一個良性的學習軌道。為此，本團隊提出應該在不影響知識體系構(gòu)建的前提下，通過“具體步驟與整體思路相協(xié)調(diào)”的方式開展雙軌理論教學。筆者會首先細致縝密地講解完整證明過程，將這一部分內(nèi)容集中于PPT左半頁，保證這些數(shù)理基礎扎實的學生不錯過每一處細節(jié)，持續(xù)強化他們的學術(shù)基礎優(yōu)勢，并逐步激發(fā)創(chuàng)新思維意識；其次快速梳理邏輯思路及主要突破點，將這一部分內(nèi)容集中于PPT右半頁，保證數(shù)學基礎薄弱的同學也能夠大致理解傅里葉變換的精神內(nèi)核，再搭配上課前提前發(fā)放的講義，輕松跟上教師的授課節(jié)奏，而不是因為跟不上理論推導自暴自棄。通過搭配研討式教學和分層式教學，筆者有效地讓所有學生參與思考討論，起到了一定的預期效果。但必須承認的是，這種教學模式進一步提高了課時壓力，這就需要授課教師在講課時語言要足夠流利，例題要精挑細選，保證完整課程內(nèi)容和邏輯的傳授。

三" 思政教育和科技賦能的引領作用

我國高等教育的目的是培養(yǎng)出高水平的人才，并讓這些人才為我國的社會主義建設做出應有的貢獻，因此在本課程中需要通過融入思政教育來發(fā)揮價值引領作用，但如何建立起數(shù)學學科和思政建設的聯(lián)系，是工科任課教師普遍面對的問題。數(shù)學學科的思政引入方法主要有三：其一，很多數(shù)學家出生貧寒，通過不斷學習進步刻苦研究，最后做出了偉大的貢獻，在教學過程中穿插這些事例，讓同學們學習這些偉大的數(shù)學家不畏困難追求真理的精神；其二，在學習這門課的過程中，將足夠精力用于培養(yǎng)學生樹立起唯物主義的科學觀；其三，我國由于各種原因在近代發(fā)展落后，但是新中國建立以后，我們獲得民族獨立，學術(shù)、工程等各項事業(yè)迅速發(fā)展，在民族復興征程中起到關鍵作用[6]。

在本節(jié)課中，筆者將傅里葉的學術(shù)生涯進行整理介紹，1807年，在法國科學院學術(shù)會議上，傅里葉宣讀了一篇關于熱傳導的論文，宣稱：在有限區(qū)間上由任意圖形定義的任何函數(shù)，都可以表示為單純的正弦與余弦函數(shù)之和。經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德三人審閱后，認為其推導極不嚴密，被拒收。1811年，傅里葉將修改好的論文《關于熱傳導問題的研究》提交給法國科學院。經(jīng)過評審小組審閱后，認為其新穎、實用，于1812年向他頒發(fā)大獎，但仍因不嚴密被《論文匯編》拒收。1822年，傅里葉經(jīng)過十年努力，出版專著《熱的解析理論》。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在特殊情形下使用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，在工程領域彰顯巨大價值。在此基礎上，分別從學科發(fā)展和學術(shù)精神上凝練出兩條啟示：首先，傅里葉經(jīng)過十五年努力才將傅里葉變換發(fā)展完善，該方法被譽為“有史以來最偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)之一”，是在通信、雷達、導航和信號處理等領域不可或缺的運算工具，是信息科學殿堂的基石；其次，作為新時代大學生，大家在努力學習知識和技能的同時，也要做到反思總結(jié)、開拓創(chuàng)新，批判性和創(chuàng)新性思維是推動社會發(fā)展的主要動力，將在中華民族偉大復興歷史進程中起到關鍵作用[7-8]。

除了融合思政元素，還應強化科技賦能在新時代教學中的優(yōu)良效果[9-10]。與板書和PPT相配合的傳統(tǒng)教學模式相比，基于問題導向?qū)W習并結(jié)合科學研究培訓思想和案例庫的方法能使學生深刻地感受傅里葉變換知識在實際學習和生活中的應用，增強學習興趣。同時基于有限元軟件等開展一定的數(shù)值模擬計算，將結(jié)果可視化，更直觀地呈現(xiàn)出來，提高了教學效果，不僅使學生的數(shù)學物理方法學得比較扎實，而且有助于培養(yǎng)其對于科學研究的興趣，一舉多得，事半功倍。

四" 結(jié)束語

在傅里葉變換教學過程中，本團隊通過“生活—學術(shù)—工程—生活”成熟教學閉環(huán)模式來化解公式推導枯燥性與學生保持積極性的矛盾，通過生動形象的課堂導入為本節(jié)課奠定良好基礎，并在最后回歸生活升華課程內(nèi)容；強調(diào)研討式和分層式教學的有效結(jié)合，讓學生通過主動思考、交流和協(xié)作，提升其科研素養(yǎng)和創(chuàng)新意識，多軌分層次教學，讓不同層次的學生都可以處于良好的學習軌道；發(fā)揮思政教育和科技賦能的引領作用，在不影響課程邏輯的前提下落實立德樹人根本任務，輔助夯實學生的學術(shù)基礎、工程能力和創(chuàng)新思維。本文內(nèi)容通過傅里葉變換課程教學介紹了一些相對完備的拓展教學策略，但筆者認為也適用于對其他應用類數(shù)學課程教學改革的總結(jié)和思考，期冀對于新工科背景下理論課程長期建設發(fā)揮一定的參考價值。

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基金項目：教育部產(chǎn)學合作協(xié)同育人項目“面向新工科和大類培養(yǎng)的海洋學科群組工程制圖實踐基地建設與探索”（202102213056）

作者簡介：楊奎堅（1993-），男，漢族，吉林長春人，博士，副教授。研究方向為固體力學、工科數(shù)學課程教學探索。