留學生高等數(shù)學一流課程建設與實踐

摘" 要：隨著我國高等教育國際化的快速推進以及來華留學生的數(shù)量急劇增加，面臨一個基本問題就是如何提升留學生教育質量。高等數(shù)學作為一門公共必修基礎課，如何讓留學生學好這門課程，提升留學生數(shù)學素養(yǎng)，在專業(yè)課中更好地發(fā)揮數(shù)學的作用，首要的問題是提高教學質量。該文根據(jù)一流課程建設的實施意見，總結歸納留學生高等數(shù)學一流課程建設與實踐的過程，主要從英文教材建設、課程平臺建設、因材施教、教學互動等幾個方面闡述課程建設的探索與經驗。

關鍵詞：留學生；高等數(shù)學；一流課程；教學質量；課程平臺建設

中圖分類號：G640" " " 文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2096-000X（2024）25-0007-04

Abstract： With the rapid development of the internationalization of China's higher education and the sharp increase in the number of foreign students coming to China， improving the quality of foreign students' education is fundamental. Advanced Mathematics is a public compulsory basic course. How to let foreign students learn this course well， play a better role in professional courses， and improve the mathematical literacy of foreign students？ According to the implementation opinions of the first-class course construction， this paper summarizes the process of the construction and practice of the first-class course of Advanced Mathematics for foreign students， mainly from the construction of English textbooks， course platform construction， teaching students according to their aptitude The exploration and experience of curriculum construction are expounded from several aspects such as teaching interaction.

Keywords： international students; Advanced Mathematics; first-class courses; teaching quality; course platform construction

國家教育部于2016年印發(fā)了《推進共建“一帶一路”教育行動》的文件，這是中國教育對外開放的新起點，過去幾年，“一帶一路”沿線國家來華留學生人數(shù)急速增加，成為來華留學生規(guī)模的主體。來華留學生教育是“一帶一路”建設的基礎，是提高教育國際化水平的新契機，而高校是我國教育質量建設的主要載體，通過建設具有鮮明特色的國際教育課程體系，優(yōu)化培養(yǎng)結構，建立國際化教育特色品牌，進一步提升我國綜合國力和全球影響力，是高校的重要任務[1-2]。

高等數(shù)學作為高校傳統(tǒng)的公共基礎課，也是最重要的一門基礎課程。它不僅是學生入校后首先面臨的一門重要課程，而且是大學本科甚至研究生階段的很多后繼課程的基礎，在培養(yǎng)具有良好數(shù)學基礎及應用人才方面起著重要的作用。由于高等數(shù)學的內容和方法有較強的邏輯性、抽象性，從而激發(fā)學生學習的積極性、引導學生去發(fā)現(xiàn)問題、去解決問題，激發(fā)學生對科學的興趣，是提高留學生培養(yǎng)質量，提升留學生綜合素質的重要組成部分。留學生教育不是簡單的把課程內容翻譯成英文進行授課的過程，應是通過先進的教學理念和方法建立完整的教學體系，在教學過程中完成不同文化的交融。

鄭州大學留學生教育起步于1981年，1997年開創(chuàng)了全英文授課醫(yī)學本科教育，是首批全英文授課培養(yǎng)醫(yī)學本科留學生的院校，2016年開始招收軟件與土木工程專業(yè)的留學生。多年來鄭州大學積極開展廣泛深入的國際交流與合作，著力引進國外優(yōu)質大學先進的教學內容、教學辦法、課程體系和先進的教學管理模式。隨著“兩性一度”的金課標準及教育部《關于一流本科課程建設的實施意見》的提出，我們對留學生高等數(shù)學課程進行積極的探索，尋找適合其切身需求的培養(yǎng)模式，把教學改革成果真正落實到課程建設上。

一" 英文高等數(shù)學教材建設

英文原版教材的使用顯然不能作為國際化程度的指標。所以，開發(fā)針對性強的留學生專用教材是當前開展來華留學生課堂教學改革的重要保證。近些年，來自歐美教材的影印版和中譯本也多了起來，J. Stewart[3]、D. Varberg等[4]和 M.Weir等[5]編寫的高等數(shù)學教材一直受很多高校的青睞，被選為雙語班或留學生授課的教材。在多年教學改革的基礎上，我們深入調查留學生來華的學習動機和學習需求，根據(jù)留學生自身的知識結構和優(yōu)缺點，通過對比國內外教材，不斷嘗試，結合新形勢下留學生大學數(shù)學教育教學理念和教學方法的發(fā)展，我們開始了英文高等數(shù)學教材的建設，并于2023年1月由鄭州大學出版社出版。在教學內容及體系編排上，充分考慮到留學生數(shù)學教學實際和特點，以及數(shù)學的系統(tǒng)性、嚴謹性、抽象性，吸取西方高等數(shù)學教材的優(yōu)點，力求使教學內容的敘述深入淺出，層次分明；在講述方法上注重與現(xiàn)實生活的關聯(lián)性，從生活中具體的事例出發(fā)，以多種方式引導學生觀察、分析、總結，幫助學生理解教材內容。這主要體現(xiàn)在以下五個方面：一是從典型的幾何直觀、自然科學和生活實例出發(fā)，引出高等數(shù)學的基本概念、理論。例如，在講數(shù)列極限概念時，我們通過現(xiàn)代化手段用動畫演示如何用多邊形的周長無限地接近圓的周長，同時又給出一個具體的等比數(shù)列，用具體的計算讓學生直觀地看到隨著數(shù)列項數(shù)的增加，數(shù)列無限地接近于一個具體的數(shù)值。通過這些例子，讓學生明白有些量不能用有限次運算得到。從實到虛，以直代曲的轉變過程，是一個應對這種問題的新思想，讓學生自然地接受極限的思想，接納高等數(shù)學的思維方法。二是從圖像、數(shù)值、語言的多種表達方式描述概念與理論，突出高等數(shù)學的應用，提高學習興趣。例如，在講拉格朗日中值定理時，除傳統(tǒng)的由羅爾定理的幾何意義延伸出拉格朗日中值公式之外，我們利用平均速度與瞬時速度的關系得到更為一般的結論，讓學生體會到高等數(shù)學存在于日常生活中的點點滴滴，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。三是延續(xù)國內教材學科理論體系，突出數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生抽象思維能力。高等數(shù)學理論建立在極限“ε－N”“ε－δ”定義的基礎上，滲透數(shù)學抽象的語言形式，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與數(shù)學技術。四是結合留學生的特點，吸取國外教材的優(yōu)點。比如，微分的概念，沒有按照國內教材傳統(tǒng)的定義方法[6]，而是采納國外教材的方式直接定義函數(shù)的微分df（x）=f'（x）dx，再給出切線替代曲線的線性逼近思想。五是針對學生的基礎與專業(yè)，減弱邏輯證明，注重突出數(shù)學基本能力的訓練而不過分追求技巧。緊密結合章節(jié)的內容，配備了一定數(shù)量的典型例題與習題，難易適度、層次感強、覆蓋面大。同時增加了高等數(shù)學在科學技術、實際生活等方面的習題，有利于培養(yǎng)學生探究科學問題的能力。

二" 層次教學

本著“以學生發(fā)展為中心，以教學成果為導向，以能力提升為標準”的教育理念，為了使高等數(shù)學課程更好地為專業(yè)教學服務，滿足留學生個性發(fā)展的需求及學習基礎的差異性，提高學生解決問題的能力，我們對高等數(shù)學課程適當調整教學目標，進行多樣性、層次化設計[7-8]。我們以學生自身能力基礎之上取得更好的突破和發(fā)展為出發(fā)點，根據(jù)學生專業(yè)及擇業(yè)方向對學生進行層次劃分，按數(shù)學基礎較好與較弱實施分層次教學，使課程教學目標、內容、方法更符合留學生的知識水平和認知能力，使教學與各層學生的接受能力相適應。

對于數(shù)學基礎較好的留學生，課堂教育教學注重抽象邏輯思維的訓練，填充高等數(shù)學理論知識，增加需要掌握的知識點的數(shù)量，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，分析、解決問題的綜合能力。對于數(shù)學基礎較弱的留學生，我們調整了高等數(shù)學課程的部分授課內容，刪除了一些抽象的、注重數(shù)學基礎和邏輯訓練的知識點，增加需要理解的知識點的數(shù)量，側重于培養(yǎng)其掌握基礎知識和基本技能，強調一些基本的數(shù)學方法。在數(shù)學基礎較好的課堂上，我們老師扮演解難、陪伴的角色。例如，在講二重積分這一概念時，讓學生自己通過對定積分定義的類比去定義二重積分，老師最后加以潤色給出精確的概念，再通過類比讓學生總結出二重積分的性質；在數(shù)學基礎較弱的課堂上，老師作為引導者、帶路者，為學生指明方向。同樣的內容，我們從動畫展示出發(fā)，用直觀的形象思維得到抽象的定義，再和學生一起討論定積分與二重積分的相同點。對于習題部分，我們對于數(shù)學基礎較好的留學生，要求獨立完成且可以通過文獻的搜索或者是自己國家的教學方式找出相似的題目或者不同方式的做法在課堂上與同學分享，讓同學們了解不同文化背景下知識傳輸?shù)姆绞健τ跀?shù)學基礎較弱的留學生，我們采用先講解，獨立嘗試，再討論的方法進行，讓學生能夠做到舉一反三。當然不同班的學生經過一段時間的學習之后，成績、思維結構及想法都會發(fā)生相應的變化，我們會進一步增強不同班之間學生的整合和流動。我們每一章都有相應的測試，會在征得學生們的同意之后，不同班的學生完成相同的測試題目，老師與學生通過對測試卷的評價，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學生重新選擇適合自己的學習層次，使各個層次的學生都各有所得，也利于激發(fā)學生的自主學習能力。通過幾年的摸索，我們認為層次教學強調的是針對學生的個體差異因材施教，因人而異，滿足學生專業(yè)及個性化需求，促進個體發(fā)展，提高了教學的針對性和科學性。層次教學也鍛煉了老師的調控、應變的能力，通過掌握學生動態(tài)，了解對應專業(yè)的后繼課程及時調整教學內容，做到了教學相長。

三" 課程平臺建設

2020年春至2022年，留學生網絡在線授課對我們在線課堂及在線資源提出了更高的要求。這三年我們利用信息化技術完善了課程平臺建設。課程平臺能夠利用現(xiàn)有的信息化技術，將高等數(shù)學課程突破時間和空間的影響，對課堂教學進行一定的補充和細化。平臺建設主要有以下三個內容。

（一）" 教學資源庫

教學資料庫包括高等數(shù)學教學大綱、電子教案、教學視頻等。老師課前分享課件和課程視頻給學生，幫助學生提前預習，帶著問題有的放矢地進行課堂學習；學生則能夠瀏覽或下載相應的資料有針對性的學習。例如，在講多元函數(shù)復合函數(shù)求偏導數(shù)的鏈式法則時，我們利用動畫視頻回顧加法、乘法原理，讓學生去思考這些原理與抽象法則的聯(lián)系，徹底理解法則的算法，同時也讓學生體會到了知識間的聯(lián)系與統(tǒng)一。

（二）" 教學資料庫

教學資料庫包括課程作業(yè)、試題庫、題庫及在線測試等。在線通過平臺發(fā)布、提交作業(yè)，且每一章都有在線測試，學生能夠及時發(fā)現(xiàn)問題，老師則可以根據(jù)在線測評了解教學效果。

（三）" 高等數(shù)學課程線上答疑群

該課程線上答疑群包括郵件答疑，釘釘群等互動學習交流。其既能讓學生的問題得到及時的解決，也能讓老師了解學生的學習程度，極大地提高了教學效果。同時我們將每一章作業(yè)中出現(xiàn)的錯題匯集成冊放在討論群中，讓學生去找問題、找原因，用自己的方式去解釋，討論群里熱火朝天，既增加了學生的興趣，也增加了學生間的交流，而老師則在討論中去體味學生視角下的高等數(shù)學，為進一步提高教學質量提供了有益的儲備。課程平臺建成后，學生們積極上網自主學習，通過課程信息教學大綱及教學進度表及時了解學習任務，自主下載章節(jié)作業(yè)等。平臺的互動式輔助教學以及網上答疑，既鞏固了課堂上所學內容，也讓學生對自己所學的知識有一個正確的認知， 同時也鍛煉了學生自主學習的能力。而老師通過對學生的測試評價以及網上答疑，了解學生掌握知識的程度，及時發(fā)現(xiàn)問題，幫助學生消化課程難點。抽象是數(shù)學的特點，課程平臺實現(xiàn)了信息技術與教學的深度融合，實現(xiàn)了教學的趣味化和資源共享化。

四" 教學互動

來華留學生是我國各高校的特殊群體，是一個不容忽視的組成部分。我們對提高來華留學生全英文教學質量不斷探索，其中一個主要環(huán)節(jié)就是課堂教學。在授課方式上注意汲取國外的教學模式，結合留學生思維比較活躍、愛問問題的特點，我們在課堂上設計互動環(huán)節(jié)，引導學生去發(fā)現(xiàn)、去猜想，激發(fā)學生的興趣及對知識的渴求，增強創(chuàng)造的信心[9]。比如在講不定積分的第一換元公式，我們設計的互動主題是不定積分公式的形式不變性。一個小組利用函數(shù)sin x，sin 2x的微分ｄ（ｓｉｎ ｘ）＝ｃｏｓ ｘｄｘ，ｄ（ｓｉｎ ２ｘ）＝ｃｏｓ ２ｘｄ２ｘ，得到相應的不定積分。

一個小組則利用原函數(shù)與不定積分的概念，通過求導基本公式得到不定積分公式。讓學生自己總結出積分的特點，也區(qū)別出導數(shù)與微分不同之處。課下鼓勵學生以小組合作形式進行討論并做小型報告等。在導數(shù)應用最值問題這一部分，我們提出的討論題目是“When is your coffee cup stablest？” Suppose your motorcycle has no cupholder，" you have to use one hand to ride your motorcycle with coffee cup in other hand. Bitter experience has taught you that the cup is least stable when it's completely full，" use calculus to analyze when is your coffee cup stablest.

在數(shù)學基礎較好的留學生課堂上，學生們根據(jù)咖啡杯的底、高、厚度等給出一個函數(shù)，利用導數(shù)找最小值，最后的結論是如果咖啡杯高8 cm，咖啡裝滿2 cm左右是最好的狀態(tài)。在數(shù)學基礎較弱的留學生課堂上，學生們則是根據(jù)速度不同，一杯一杯嘗試，非常有趣，我們則趁機引導學生如果有一個一般的算法就簡單多了，數(shù)學的作用之一就是通過不同的問題總結、歸納，抽象出一個一般算法，極大地提升了學生對高等數(shù)學學習的積極性、自主性，也讓學生感受到了高等數(shù)學在學科中的重要性。再比如，觀察到留學生對一些需要記憶的公式比較反感這一現(xiàn)象， 老師課下制作公式卡片，課前幾分鐘讓學生隨機回答，既督促學生的學習，也增進了師生間的交流、了解，學生們對這一舉措特別喜歡，并將這種形式推廣到其他課程上。教學互動、課后的自主學習與小組討論能夠幫助學生對知識點的理解，開闊思維，挖掘其內在潛能和發(fā)散思維的能力。

五" 考核與評價

不同國家教育體制不同，國內傳統(tǒng)的考核模式不適合留學生教育。在對留學生學習效果的評價過程中，我們從學生學習態(tài)度、習慣、獨立思考和競爭意識出發(fā)，采取多種評價方法相結合，建立較為完善的評價體系[10]。一是課堂考勤、作業(yè)完成情況、每章節(jié)的測試成績。為了讓學生在平時的學習過程中對自己有客觀的認識， 我們增加章節(jié)測試，也會根據(jù)章節(jié)內容增設課堂測驗，比如導數(shù)這一章，增加的課堂測驗就是導數(shù)公式和運算法則。二是學生學習的后臺記錄和線上線下活動的參與度。由于不同國家時差問題及一些其他自然原因，對不能準時參加線上課堂的學生，我們會觀測后臺記錄，對學生進行合情合理的考核。三是討論課題的完成度及小組互評。四是每學期的期中、期末綜合考試。這種評價體系把機械的考試過程變?yōu)榫C合靈活的教育過程，變成對學生數(shù)學素質和能力提升的考核過程，變?yōu)閷W生主動學習的過程。

六" 融入中國元素

來華留學生教育是為國際社會培養(yǎng)高級專門人才教育，也是培養(yǎng)國際交往合作者教育。在傳授學生專業(yè)知識的過程中，我們展現(xiàn)出對不同國家的文化、語言、風俗習慣和宗教信仰等方面的包容與理解，同時融入中國元素，讓留學生能夠全面、客觀地了解中國，感受中國文化的底蘊及博大精深的智慧。西方高等數(shù)學教材中對萊布尼茨、牛頓、拉格朗日、柯西和黎曼等代表著高等數(shù)學創(chuàng)立與發(fā)展的數(shù)學家們有簡單的介紹，關于中國數(shù)學家在高等數(shù)學發(fā)展中所起作用一直是留學生關注的問題。眾所周知，高等數(shù)學的符號以及一些重要的公式都是西方數(shù)學家賦予或命名的，為了讓留學生了解中國數(shù)學史，我們在高等數(shù)學第一節(jié)課就給出高等數(shù)學的發(fā)展歷程，給出中西方各個時段的發(fā)現(xiàn)。我們陳述了蘊含有極限及級數(shù)思想的莊周的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭[11]”；三國時期著名的數(shù)學家劉徽《割圓術》中提到“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣[12]”，利用極限思想將正多邊形逼近圓；公元５到６世紀的數(shù)學家祖沖之、祖暅利用祖氏定理推導球體積公式，也有微積分思想雛形[13]。以學科發(fā)展史為切入點，豐富了教學內涵和外延，讓學生了解學科發(fā)展進程，傳播數(shù)學思想，同時對中國數(shù)學家及文化有所認知，也為高等數(shù)學課程提供了更多的素材。

不同文化、思想之間的交融更能激發(fā)學生的創(chuàng)新能力。在用洛必達法則求函數(shù)極限時，留學生的思維就是不斷地運用法則直至求得結果，我們在教學過程中滲透無窮小的思想，結合等價無窮小及一些代數(shù)手段對函數(shù)化簡再運用法則求得極限，讓學生找到了最佳的方式，意會到知識間的聯(lián)系、交匯的重要性，也由此培養(yǎng)了學生解決問題的思維方式。甚至在后續(xù)的內容學習中，很多學生會主動嘗試新的方法解決分析問題，與同學們分享自己的杰作，也會拿著自己的作品與他們國內的同學交流，讓枯燥的題目有了多元化的色彩。

七" 結束語

目前，“一帶一路”建設已進入高質量發(fā)展階段，來華留學生數(shù)量也顯著增加， 來華留學生全英文課程建設是我國高校適應國內國際教育發(fā)展的一大趨勢。高等數(shù)學又是最基本的課程之一，內容多，且概念抽象，經過多年的探索與嘗試，結合留學生群體的特點，通過對教學內容、教學模式和考核體系的改革與實踐，教學成果略見成效。從學生個體差異出發(fā)，采用動態(tài)層次教學，既滿足學生專業(yè)的需求，又發(fā)揮了學生自身的長處，促進數(shù)學知識能力提高與個體和諧發(fā)展。教學互動，線上線下討論極大地激發(fā)了留學生的學習興趣，通過這種互動教學、交流，老師通過掌握學生學習動態(tài)進行針對性教學，提高教學效率和學習效果。課程平臺的完善讓學習形成一個線上線下有機結合的課程體系，為學生創(chuàng)造學生自主學習平臺，引導學生從知識的被動接納者轉變?yōu)橹鲃訁⑴c者和積極探索者。注重文化間的交融，進一步彰顯我國高等教育的國際化，也為日后宣傳中國、促進民間友好，發(fā)展兩國之間經貿關系等方面起到積極作用。我們積累了一些經驗，在以后的教學過程中我們將繼續(xù)加強課程改革，完善課程體系，促進教學模式和考核方式的改革，提高教學質量，爭取更大的成效。

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基金項目：河南省優(yōu)青基金“圖與超圖的極值和譜極值理論研究”（202300410377）

第一作者簡介：卜春霞（1971-），女，漢族，河南鄭州人，博士，教授，碩士研究生導師。研究方向為控制理論。