經(jīng)歷探究過程，發(fā)展推理意識(shí)

［ 摘 要 ］為了讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，發(fā)展推理意識(shí)，研究者以“有趣的乘法計(jì)算”為例，讓學(xué)生在探究活動(dòng)中經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、歸納、運(yùn)用等過程，逐步培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考、邏輯推理以及解決問題的能力。

［ 關(guān)鍵詞 ］乘法計(jì)算；探索規(guī)律；推理意識(shí)

基于培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，探究式學(xué)習(xí)與推理意識(shí)的培養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)課堂的主旋律。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與解決問題的過程，不僅能夠幫助他們深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更能有效發(fā)展其批判性思維、創(chuàng)新意識(shí)以及解決問題能力。

一、探究?jī)晌粩?shù)與11相乘的乘法規(guī)律

教材的第一個(gè)環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生探索兩位數(shù)乘11的計(jì)算規(guī)律。教師要求學(xué)生先用豎式計(jì)算24×11、53×11、62×11的積，將乘積的每位數(shù)字與原來的兩位數(shù)進(jìn)行比較，在比較中初步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)一個(gè)兩位數(shù)乘以11時(shí)，乘積的個(gè)位就是原來兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)，乘積的百位就是原來兩位數(shù)的十位數(shù)，而乘積的十位就是原來兩位數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)相加的和；然后，讓學(xué)生應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成一組兩位數(shù)乘11的計(jì)算，并用豎式計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。由于這一系列計(jì)算中有兩道題原來兩位數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)相加后滿10了，所以乘積對(duì)應(yīng)的十位、百位數(shù)字也發(fā)生了變化。通過這組試題的計(jì)算以及相應(yīng)的討論和交流，學(xué)生可以進(jìn)一步加深對(duì)兩位數(shù)乘以11的計(jì)算規(guī)則的理解。

1.觀察現(xiàn)象

師：（課前播放《最強(qiáng)大腦》的微視頻）同學(xué)們，看了這個(gè)視頻，你們有什么想說的？

生1：我覺得他們算得好快，一眨眼就算出結(jié)果了。

師：最強(qiáng)大腦用的是心算，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們也能擁有最強(qiáng)大腦的超能力。同學(xué)們，在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算中，有很多有趣的規(guī)律。（出示乘法算式：24×11、53×11、62×11）老師和你們比一比，老師用心算，你們用豎式計(jì)算，看看誰算得快？（教師已經(jīng)做完3道題，很多學(xué)生連1道題都沒算好）你們可以用計(jì)算器來檢查一下老師做的題。

生2：24×11=264，53×11=583，62×11=684。

2.建立猜想

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們仔細(xì)觀察三個(gè)算式的乘數(shù)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：我發(fā)現(xiàn)三個(gè)算式都是兩位數(shù)乘11。

師：我們看24×11=264、53×11=583、62×11=684三個(gè)算式的結(jié)果，你們發(fā)現(xiàn)得數(shù)的個(gè)位、十位和百位是怎么得來的？你們能結(jié)合乘法算式來具體說說嗎？

生4：比如24×11，得數(shù)的個(gè)位是4乘1，得數(shù)的十位是2加4，得數(shù)的百位是2乘1；53×11，得數(shù)的個(gè)位是3乘1，得數(shù)的十位是5加3，得數(shù)的百位是5乘1；62×11，得數(shù)的個(gè)位是2乘1，得數(shù)的十位是6加2，得數(shù)的百位是6乘1。

師：你能用一句話來概括兩位數(shù)乘11的規(guī)律嗎？

生4：我發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)乘11，乘積的個(gè)位就是原來兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)，乘積的百位就是原來兩位數(shù)的十位數(shù)，乘積的十位就是原來兩位數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)相加的和。

3.驗(yàn)證猜想

師：是不是所有的兩位數(shù)乘11都有這樣的規(guī)律？請(qǐng)你們根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)算一算23×11、64×11、59×11，并通過豎式計(jì)算驗(yàn)證結(jié)果。誰來說說你是怎么計(jì)算的？

生5：23×11=252，得數(shù)的個(gè)位是2乘1是2，得數(shù)的十位是2加3是5，得數(shù)的百位是2乘1是2；64×11=704，得數(shù)的個(gè)位是4乘1是4，得數(shù)的十位是6加4是10，得數(shù)的百位是6乘1是6，十位滿10要向百位進(jìn)1；59×11=649，得數(shù)的個(gè)位是9乘1是9，得數(shù)的十位是5加9是14，得數(shù)的百位是5乘1是5。

師：這些結(jié)果和計(jì)算器得數(shù)一樣嗎？

生（齊聲答）：一樣。

師：誰再來總結(jié)一下兩位數(shù)乘11的規(guī)律嗎？

生6：我發(fā)現(xiàn)了兩位數(shù)乘11，乘積的個(gè)位就是原來兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)，乘積的百位就是原來兩位數(shù)的十位數(shù)，乘積的十位就是原來兩位數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)相加的和。

生7：我還有補(bǔ)充，我發(fā)現(xiàn)哪一位滿10就向前一位進(jìn)1。

在教學(xué)中，教師巧妙地用一段微視頻吸引學(xué)生的注意力，引發(fā)他們對(duì)乘法計(jì)算的興趣。為了促使學(xué)生深入探究?jī)晌粩?shù)乘11的計(jì)算規(guī)律，教師組織學(xué)生開展比賽活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察、思考和驗(yàn)證來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這樣不僅激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)性，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維能力和科學(xué)探究精神。隨著探究的深入，學(xué)生不斷驗(yàn)證自己的猜想，有的學(xué)生通過舉例來檢驗(yàn)猜想的正確性，有的學(xué)生通過邏輯推理來完善自己的猜想。在這個(gè)推理的過程中，學(xué)生不僅學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，還學(xué)會(huì)了科學(xué)探究、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題。

二、探究十位相同且個(gè)位和是10的乘法規(guī)律

教材的第二個(gè)環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生探索十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加都等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的計(jì)算規(guī)律。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想和驗(yàn)證的過程，并出示22×28、35×35、56×54等一系列試題，要求學(xué)生說出這些算式的共同特點(diǎn)，學(xué)生在計(jì)算、觀察、比較后初步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，乘積的后兩位是兩個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相乘的積；后兩位前面的數(shù)等于原來的兩個(gè)十位上的數(shù)與比它大1數(shù)的乘積。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生先應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出一組算式的得數(shù)，然后通過豎式計(jì)算加以驗(yàn)證，從而進(jìn)一步確認(rèn)規(guī)律和初步體會(huì)規(guī)律的應(yīng)用價(jià)值。

1.自主驗(yàn)證

師：同學(xué)們，剛才老師帶著大家探究?jī)晌粩?shù)乘11的規(guī)律，現(xiàn)在請(qǐng)你們先獨(dú)立探究，然后在小組里分享你們的探究成果。（教師巡視并觀察學(xué)生的探究情況，指導(dǎo)探究有困難的學(xué)生）

師：每個(gè)小組都在積極分享自己的研究成果，哪個(gè)小組來說一說你們是怎么研究的？

生1：我們先用豎式計(jì)算了22×28=616、35×35=1225、56×54=3024，然后發(fā)現(xiàn)這三道乘法算式的特點(diǎn)是兩個(gè)乘數(shù)十位上相同，而且兩個(gè)乘數(shù)的個(gè)位上的數(shù)相加等于10。這三道乘法算式的得數(shù)是后兩位等于兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘，后兩位前面的數(shù)等于原來的兩個(gè)十位上的數(shù)與比它大1數(shù)的乘積。比如22×28=616，后兩位是2乘8等于16，后兩位前面的數(shù)是2乘3等于6；35×35=1225，后兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數(shù)是3乘4等于12；56×54=3024，后兩位是6乘4等于24，后兩位前面的數(shù)是5乘6等于30。所以我們小組總結(jié)出的規(guī)律是：當(dāng)十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，乘積的后兩位是兩個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相乘的積；后兩位前面的數(shù)等于原來的兩個(gè)十位上的數(shù)與比它大1數(shù)的乘積。

生2：我們小組還舉了一些例子，比如47×43，后兩位是7乘3等于21，后兩位前面的數(shù)是4乘5等于20，所以47×43=2021；26×24，后兩位是6乘4等于24，后兩位前面的數(shù)是2乘3等于6，所以26×24=624；79×71，后兩位是9乘1等于9，后兩位前面的數(shù)是7乘8等于56，但是我們對(duì)79×71估算結(jié)果大約是5600，所以不滿兩位的數(shù)要在前面補(bǔ)0，79×71=5609。

生3：比如乘法算式34×36，按照剛才我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律要這樣計(jì)算：后兩位是4乘6等于24，后兩位前面的數(shù)是3乘4等于12，所以34×36=1224。我們小組還通過畫圖來驗(yàn)證十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的規(guī)律，畫了每行有34個(gè)小正方形和每列有36個(gè)小正方形的大長(zhǎng)方形，并分成了這樣四部分：左上角部分表示30×30，右上角部分表示4×30，左下角部分表示30×6，右下角部分表示4×6。我們把右下角部分4×6保持不變，這就是后兩位是4乘6等于24；把30×30、4×30和30×6合并起來是40個(gè)30，也就是后兩位前面的數(shù)是3乘4等于12。

2.運(yùn)用規(guī)律

師：（出示題目：15×15、43×47、69×61）大家從不同角度猜想并驗(yàn)證了十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加都等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的計(jì)算規(guī)律，現(xiàn)在我們就運(yùn)用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來算一算。

生4：15×15，后兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數(shù)是1乘2等于2，所以15×15=225；43×47，后兩位是3乘7等于21，后兩位前面的數(shù)是4乘5等于20，所以43×47=2021；69×61，后兩位是9乘1等于9，后兩位前面的數(shù)是6乘7等于42，所以69×61=4209。

師：同學(xué)們，學(xué)到這里，你們能總結(jié)十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加都等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的計(jì)算規(guī)律嗎？

生5：當(dāng)十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，乘積的后兩位是兩個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相乘的積；后兩位前面的數(shù)等于原來的兩個(gè)十位上的數(shù)與比它大1數(shù)的乘積。

在教學(xué)中，教師精心設(shè)計(jì)了一份學(xué)習(xí)單，列出了一組十位數(shù)字相同且個(gè)位上的數(shù)相加等于10的兩個(gè)數(shù)相乘的乘法算式，鼓勵(lì)學(xué)生從獨(dú)立發(fā)現(xiàn)并總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律。學(xué)生經(jīng)歷觀察現(xiàn)象、提出猜想并驗(yàn)證猜想等過程，通過對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析對(duì)比，逐步形成了自己的初步猜想。在整個(gè)自主探究的過程中，學(xué)生的推理意識(shí)得到了充分鍛煉和發(fā)展，不僅學(xué)會(huì)了細(xì)致觀察、大膽猜想，還學(xué)會(huì)了嚴(yán)謹(jǐn)求證，反復(fù)驗(yàn)證自己的想法是否符合所有同類問題的規(guī)律。在經(jīng)歷了一番深入思考和反復(fù)驗(yàn)證后，學(xué)生成功發(fā)現(xiàn)了這類乘法運(yùn)算的規(guī)律，并能夠運(yùn)用自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律快速準(zhǔn)確地解答類似的問題。

三、探究（a-1）（a+1）和a×a的乘法規(guī)律

教材的第三個(gè)環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索如（a-1）（a+1）的乘法算式與如a×a的乘法算式的關(guān)系。教師完全放手，鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察、計(jì)算、比較，在明確此類計(jì)算的共同特征的基礎(chǔ)上，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)此類計(jì)算的規(guī)律，在探索規(guī)律和鍛煉數(shù)學(xué)思維中進(jìn)一步積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

師：（出示題目：24×26和25×25，44×46和45×45，74×76和75×75）同學(xué)們，請(qǐng)你們直接寫出各題的得數(shù)，并比較每組的兩道題，說一說有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：這六道乘法算式都是十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘。24×26的后兩位是4乘6等于24，后兩位前面的數(shù)是2乘3等于6，所以24×26=624；25×25的后兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數(shù)是2乘3等于6，所以25×25=625；44×46的后兩位是4乘6等于24，后兩位前面的數(shù)是4乘5等于20，所以44×46=2024；45×45的末兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數(shù)是4乘5等于20，所以45×45=2025；74×76的后兩位是4乘6等于24，后兩位前面的數(shù)是7乘8等于56，所以74×76=5624；75×75的后兩位是5乘5等于25，后兩位前面的數(shù)是7乘8等于56，所以75×75=5625。

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們觀察這里的三組算式，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：我發(fā)現(xiàn)了每組每一題的兩個(gè)乘數(shù)分別比第二題的乘數(shù)少1。

生3：我發(fā)現(xiàn)了每組兩道題的乘積都相差1。

生4：我認(rèn)為可以看成24×26=25×25﹣1，44×46=45×45﹣1，74×76=75×75﹣1。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師采用了啟發(fā)式和實(shí)踐性的教學(xué)方法。首先，教師讓學(xué)生分別嘗試計(jì)算幾組這樣的乘法題目，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的規(guī)律計(jì)算得到結(jié)果；然后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較每組算式中乘數(shù)和積的變化規(guī)律，逐漸發(fā)現(xiàn)這類乘法運(yùn)算背后的規(guī)律，并依據(jù)這個(gè)規(guī)律快速準(zhǔn)確地推算出其他同類算式的答案。這個(gè)學(xué)習(xí)過程不僅鍛煉了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，還培養(yǎng)了他們的觀察力、歸納推理意識(shí)和數(shù)學(xué)建模思維；同時(shí)激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律探索的熱情和興趣，使他們?cè)诮鉀Q具體問題的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的邏輯之美。

數(shù)學(xué)教育倡導(dǎo)“做中學(xué)”“發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)”的理念，教師要引導(dǎo)學(xué)生從被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)向主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，幫助他們形成良好的思維習(xí)慣和終身學(xué)習(xí)能力。實(shí)踐證明，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程對(duì)發(fā)展其推理意識(shí)十分重要。教師要意識(shí)到發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)是一個(gè)持續(xù)的過程，在每一節(jié)數(shù)學(xué)課中對(duì)學(xué)生不斷進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的問題情境，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和探究欲望，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察現(xiàn)象、提出猜想、驗(yàn)證結(jié)論等過程，鼓勵(lì)他們積極提問和大膽假設(shè)，并以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度進(jìn)行驗(yàn)證，逐步培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考、邏輯推理以及解決問題的能力。