以學科促整合，以問題促思考

［摘 要］在小學數學綜合實踐活動“體育中的數學問題”一課中，研究者將多學科知識整合在一起，通過創設問題情境來培養學生的綜合能力。

［關鍵詞］學科整合；主題活動；問題情境；體育中的問題

學生生活的世界是多元的，他們要通過學習學科知識實現學會求知、學會做事、學會共處和學會生存。因此，筆者根據學生的已有知識經驗和生活經驗設計了綜合實踐主題活動“體育中的數學問題”一課，創設世界杯比賽的教學情境，衍生出“一共比賽幾場、積分可能是多少、一共要進行幾場淘汰賽”等數學問題，讓學生在探索與互動中學會用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界。

一、以體育活動為情境，培養學生提問能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中“四能”是指發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。教師以學生熟悉的體育活動“世界杯”作為綜合實踐主題學習課的教學情境，能快速拉近師生之間的距離，讓學生對數學學習產生親近感。在課堂開始時，教師引導學生提出有關世界杯中的數學問題，并快速進行數學思考，提出很多具有價值的數學問題。

師：同學們，體育中有很多競技比賽活動。你們知道哪些體育競技比賽？

生1：有足球賽、排球賽、籃球賽、世界杯、游泳比賽……

師：每一種體育運動在比賽中體現出“更快、更高、更強、更團結”的精神。看，這是2018年的世界杯比賽。同學們，我們今天就來研究“體育中的數學問題”。請想一想世界杯比賽中藏著什么數學問題？

生2：世界杯一共有多少個國家參加比賽？

生3：要決出最終的冠軍，一共要打多少場比賽？

生4：每次踢球的時候，我們要計算自己隊和其他隊得了多少分，還要再得幾分才能從小組出線？

師：世界杯有那么多的數學問題，這節課我們就選一些數學問題來研究。

在這個教學片段中，教師通過學生感興趣的話題引出許多數學問題，讓學生圍繞這個話題學會從不同角度提出數學問題，并對這些問題進行探索和多元思考，從而形成積極的情感、態度與價值觀。

二、聚焦單循環賽問題，培養學生多元表征

數學中的多元表征包括符號表征、語言表征、動作表征、情境表征、畫圖表征等多種表征，這些表征能體現學生用顯性化的方式呈現自己的思考過程，有利于他們加深對數學知識的理解和掌握，也有利于他們構建結構化的數學思維體系。教師引導學生解決“世界杯比賽一共要踢多少場”的問題時，讓學生先把這個復雜的問題轉變成“一組4支球隊要比賽多少場”，再思考“32支球隊要比賽多少場”，學會把問題化繁為簡和多元表征問題的結果。

師：同學們，我們先來解決“世界杯比賽一共要踢多少場”這個大問題，你們覺得解決這個問題需要哪些條件？

生1：我們要知道有多少支球隊參加這屆世界杯比賽，還要知道其賽制是怎樣的。

師：老師告訴你們，這次有32個國家參加比賽。剛才有同學說到“賽制”，我們一起來看看世界杯的比賽規則：第一輪是小組賽，32支球隊通過抽簽分成8個小組，每個小組進行單循環比賽，每兩支球隊比賽一場。勝、平、負分別積3、1、0分；第二輪是淘汰賽，每個小組積分前兩名的球隊勝出進入淘汰賽，直到冠軍產生。同學們，你們能看懂世界杯的比賽規則嗎？

生2：先是預賽，預賽分成幾個小組，小組內單循環比賽，每個小組選出前兩名；然后是決賽，確定冠軍球隊。

師：剛才說的“單循環比賽”就是每兩支球隊要進行一場比賽。

看，這是2018年俄羅斯世界杯比賽的分組情況，32支球隊一共要進行多少場小組賽？具體是哪些比賽場次？

生3：先算出每個小組要比賽多少場，再乘8個小組就可以了。比如說我們先算出阿根廷、冰島、克羅地亞、尼日利亞這四支球隊所在的小組一共要比賽的場次分別是：阿根廷和冰島、阿根廷和克羅地亞、阿根廷和尼日利亞，冰島和克羅地亞、冰島和尼日利亞、克羅地亞和尼日利亞，一共有3+2+1=rOi2M+04PxtxcGv2Ztil1hZ7HjsNgorA1uCs4eP8iDY=6（場）；這屆世界杯一共有8個小組，所以總的小組賽場次是6×8=48（場）。

師：大家同意嗎？生3不僅告訴我們每個小組賽是6場，還告訴我們是哪六場比賽。我們在記錄的時候要做到不能重復，也不能遺漏。你們能把剛才說的這6場比賽在黑板上用磁鐵有條理地擺出來，并用連線的方法記錄嗎？

學生在黑板上擺好后，并用線連起來。

師：剛才我們用文字、畫圖的方式將所有的比賽場次全部列舉出來了，還用算式表示了結果。我們可以先用對陣表把所有的比賽場次都列舉出來，然后用打勾的方式表示要比賽的場次。

在這個教學片段中，學生面對這些復雜的數學問題，嘗試將其化解為多個數學問題，并借助直觀的操作活動抽象出文字、連線和算式表示等方法，深刻地理解單循環比賽的計算方法。

三、聚焦計算積分問題，培養學生有序思考

有序思考有助于學生在解決數學問題時按照一定的標準進行思考，做到不重復、不遺漏。有序思考本質上是利用分步計數原理和分類計數原理解決數學問題，有助于學生形成嚴謹的數學思維品質。

師：剛才我們說小組比賽的積分制是贏了積3分，踢平積1分，輸了積0分。克羅地亞隊踢完一場球，可能積多少分？

生1：有3種情況，克羅地亞隊如果贏了得3分，如果踢平了得1分，如果輸了得0分。

師：如果克羅地亞隊踢完兩場球，最多得多少分？

生2：最多得6分，這兩場球他們都贏了。

師：如果他們兩場球都輸了，就是0分。那么6分到0分之間一共有多少種不同的得分情況？用“√”表示比賽場次，每列只畫兩個“√”，請大家在表格里全部記錄下來。（學生獨立完成）剛才這位同學提的問題很好，如果兩場都贏了，兩場都平，兩場都輸，怎么打勾？我們可以在一個方格里打兩個勾。

生3：如果兩場都贏了，得6分；如果兩場都平，得2分；如果兩場都輸了，得0分；如果一場贏一場平，得4分；如果一場贏一場輸，得3分；如果一場平一場輸，得1分。一共有6種情況。

在這個教學片段中，學生用有序思考解決“踢完兩場球可能得幾分”的問題。學生采用的表格記錄方式直觀簡潔，比賽結果一目了然。

四、聚焦淘汰賽問題，培養學生一題多解

“一題多解”是指學生用多種方法解決同一道數學題目。在平時的練習中，通過一題多解可以拓寬學生的數學思維，提高他們靈活解決數學問題的能力。

師：每組積分前兩名的隊勝出進入下一輪比賽叫淘汰賽，現在我們一共有8個組（16支球隊）進行比賽，從第二輪淘汰賽到最終決出冠軍，一共要比賽多少場？世界杯淘汰賽的規則是A組的第一名和B組的第二名進行比賽，B組的第一名和A組的第二名進行比賽，你們能在學習單上把所有的比賽對陣圖畫出來嗎？畫完以后數一數有多少個大括號，有多少個大括號就有多少場比賽。

生1：我覺得是14場。

生2：我覺得應該是15場。現在16支隊伍，每兩支隊伍打一場比賽，贏的就晉級進入前八強，留下的隊伍是16÷2=8（支）；前八強每兩支隊伍打一場比賽，贏的就晉級為前四強，留下的隊伍是8÷2=4（支）；前四強每兩支隊伍打一場比賽，贏的就晉級為前兩強，留下的隊伍是4÷2=2（支）；兩支隊伍再打一場比賽，就決出1個冠軍了。一共是8+4+2+1=15（場）。

生3：我的答案也是15場。我是這樣想的：有16支隊伍參加比賽，最后留下1支隊伍是冠軍，那么必然要淘汰掉15支隊伍。比賽1場，就淘汰掉1支隊伍；那么淘汰15支隊伍，就要比賽15場。

師：這兩位同學的方法都不錯，我們只要數一數有多少個大括號就知道要比賽多少場。（出示2018年俄羅斯世界杯淘汰賽對陣圖）實際上世界杯還有一場淘汰賽是爭奪第三名季軍，這場比賽加在下面。所以要決出冠軍需要15場再加上爭奪第三名的這1場，一共16場。

在這個教學片段中，面對同一道淘汰賽問題，有的學生采用正向的畫圖來解決，有的學生采用逆向的說理來解決。不同的解題思路交織在一起活躍了課堂氛圍，能促使學生從數學本質上更好地理解淘汰賽問題。同時，教師結合世界杯淘汰賽賽制的補充情況，能讓學生看到數學與真實情境之間的不同。

五、以互動游戲為載體，培養學生應用能力

互動游戲不僅能豐富學生參與數學課堂的形式，激發他們的學習興趣；還能鍛煉學生的合作能力，讓學生與同伴之間一起愉快地學習數學。教師借助“模擬世界杯”設計了互動游戲，讓學生親身經歷淘汰賽的過程。同時，教師非常注重培養學生解決問題的能力，巧妙地設計了兩道對比題目，讓學生用多元表征辨析解題的過程。

師：接下來，我們來玩互動游戲——模擬世界杯。游戲規則是每組用“剪刀石頭布”的方法決出前兩名，一共8個組。16支隊伍按照黑板上的圖分別站在大力神杯左右兩邊，贏的留下輸的回去，最后勝利的贏得大力神杯，可以嗎？

學生先在小組內決出前兩名，再參加班級活動。

師：現在我們回過頭來思考一下，第一輪叫小組賽，有48場比賽；第二輪叫淘汰賽，有15場比賽，再加上1場季軍賽，可以算出世界杯一共比賽多少場？

生1：48+15+1=64（場）。

師：球員們踢完球后要相互握手告別和互贈禮物。請你們拿出學習單，自己做一做。（出示題目：（1）A、B、C、D四名球員每兩人握手一次告別，他們一共握手多少次？（2）A、B、C、D四名球員互相贈送一件禮物作為紀念。四個人一共送了多少件禮物？）

生2：第（1）題是3+2+1=6（次），因為A要和3個人握手，B要和2個人握手，C要和1個人握手。第（2）題是3+2+1=6（件），因為A要送給3個人禮物，B要送給2個人禮物，C要送給1個人禮物。

生3：第（2）題我不同意，題目是說“互相贈送”，意思是說“A送給B禮物”和“B送給A禮物”是不一樣的，所以單向贈送是6件，互相贈送是6×2=12（件）。

在這個教學片段中，教師通過互動游戲和對比練習幫助學生鞏固“單循環比賽”和“淘汰賽”這兩種賽制的不同解決方法，促使學生能更好地在理解題意的基礎上通過畫圖解決問題。

總之，生活中處處都有數學，教師要引導學生用數學的眼光看世界和發現身邊的數學。在這節數學課中，學生一直處于主動學習中，從提出問題到解決問題，從獨立思考到小組合作，從互動游戲到對比練習，他們發現了“單循環比賽”和“淘汰賽”之間的聯系和區別：兩者都可以用操作、畫圖和算式等多元表征的方法來解決，但是兩者的計算方法不同。在這節數學課中，學生一直處于積極思考中，共同解決了“世界杯一共比賽多少場”的數學問題，掌握了有序思考的方法，培養了嚴密的數學思維。