利用頻率分布直方圖估計總體的數字特征

借助頻率分布直方圖，可以估計總體的數字特征，從而對數據進行有效分析。

一、利用頻率分布直方圖估計平均數

在頻率分布直方圖中，平均數的估計值等于每個小矩形底邊中點的橫坐標（組中值）與相應頻率（小矩形的面積）的乘積之和。

例1 某校對100名高一學生的某次數學測試成績進行統計，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五組，得到如圖1所示的頻率分布直方圖。

（1）求圖中a 的值。

（2）估計該校學生數學成績的平均數。

解：（1）在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1，所以a×10+0.02×10+0.035×10+0.025×10+a×10=1，解得a=0.01。

（2）結合頻率分布直方圖，估計該校學生數學成績的平均數為55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.01×10=75.5。

名師點睛：在頻率分布直方圖中，各組的頻率是各個小矩形的面積= （頻率／組距）×組距，特別注意平均數的計算公式為各組“組中值”乘以相應的頻率再求和。

二、利用頻率分布直方圖估計眾數

眾數是一組數據中出現次數最多的數值，在頻率分布直方圖中，眾數的估計值等于最高的小矩形底邊中點的橫坐標（即組中值）。

例2 某校對參加高校綜合評價測試的學生進行模擬訓練，從中抽出N 名學生，其數學成績的頻率分布直方圖如圖2所示。

已知成績在區間[90，100]內的學生人數為2，則x 的值為____，N 的值為____，平均分為____，眾數為____。

解：由頻率分布直方圖可得，0.005×10+10x+0.02×10+0.03×10+0.025×10+0.005×10=1，解得x=0.015。

已知成績在區間[90，100]內的學生人數為2，由2／N=0.005×10，解得N =40。

結合頻率分布直方圖，估計該校學生數學成績的平均分為45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72。

由頻率分布直方圖可知，[70，80）這一組對應的小矩形最高，其底邊中點的橫坐標（組中值）為70+80／2 =75，所以眾數為75。

名師點睛：在頻率分布直方圖中，“組中值”是需要特別重視的數據。

三、利用頻率分布直方圖估計中位數及百分位數

在頻率分布直方圖中，中位數的估計值的左邊和右邊的頻率分布直方圖的面積相等。一般地，一組數據的第p 百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有（100-p）%的數據大于或等于這個值。中位數相當于是第50百分位數。百分位數的估計值左邊和右邊的直方圖的面積成比例。

例3 （多選題）為了慶祝偉大的中華人民共和國成立75周年，某校開展了“愛祖國、跟黨走”的知識答題競賽，若參賽學生的成績都在50分至100分之間，現隨機抽取了400名學生的成績，進行適當分組后，畫出如圖3所示的頻率分布直方圖，則（ ）。

A.在被抽取的學生中，成績在區間[80，90）內的學生有120人

B.圖中x 的值為0.05

C.估計全校學生成績的中位數約為86.7

D.估計全校學生成績的70%分位數為92.5

解：由題意可知，成績在區間[80，90）內的學生人數為400×0.03×10=120，A 正確。由（0.005+0.01+0.015+x+0.03）×10=1，解得x=0.04，B 錯誤。前3組的頻率之和為（0.005+0.01+0.015）×10=0.3lt;0.5，前4 組的頻率之和為（0.005+0.01+0.015+0.03）×10=0.6gt;0.5，可知中位數在第4組，設中位數為a，則（0.005+0.01+0.015）×10+0.03×（a-80）=0.5，解得a≈86.7，C 正確。低于90分的頻率為1-0.4=0.6，設樣本數據的70%分位數為n，則n-90／100-90=0.7-0.6／0.4 ，解得n=92.5（或者，樣本數據的70%分位數=90+（0.7-0.6／0.4）×10=92.5），D正確。應選ACD。

名師點睛：在頻率分布直方圖中，求百分位數（或中位數）的關鍵是找到定比分點，通過分析部分小矩形的面積之和，確定分點所在的小矩形，然后利用這個小矩形具體的比例值求得百分位數（或中位數）。

感悟與提高

（多選題）某校在開展的“體育節”活動中，為了解學生對“體育節”的滿意程度，組織學生給活動打分（分數為整數，滿分100分），發現分數均在[40，100]內。從中隨機抽取一個容量為300的樣本，將這些數據分成6組并作出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形（如圖4所示），則下列說法中正確的是（ ）。

A.樣本中分數落在[60，70）的頻數為60

B.樣本的眾數為75分

C.樣本的平均數為73.5分

D.樣本的第80百分位數為85分

提示：對于A，由頻率分布直方圖得第三組的頻數為300× [1- （0.005+0.015+0.03+0.025+0.01）×10]=300×0.15=45，A 錯誤。對于B，根據頻率分布直方圖估計眾數為70+80／2 =75（分），B正確。對于C，根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數為x=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.015×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.01×10=73.5（分），C 正確。對于D，[40，80）的頻率為1-（0.025+0.01）×10=0.65，[80，90）的頻率為0.025×10=0.25，所以根據頻率分布直方圖估計樣本的第80 百分位數為80+（0.8-0.65／0.25 ）×10=86（分），D錯誤。應選BC。

作者單位：浙江省杭州余杭第二高級中學

（責任編輯 郭正華）