統計常見典型考題賞析

題型一：分層抽樣

分層隨機抽樣中按比例分配計算時，用到的兩個關系式： 樣本容量n／總體個數N =該層抽取的個體數／該層的個體數;總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比。用樣本平均數估計總體平均數：在分層隨機抽樣中，若第一層的樣本容量為m ，平均值為x，第二層的樣本容量為n，平均值為y，則樣本的平均值為mx+ny／m +n 。

例1 某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異。為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣，則最合適的抽樣方法是____。

解：因為不同年齡段的客戶對公司的服務評價有較大差異，所以需按年齡進行分層抽樣，才能了解到不同年齡段的客戶對公司服務的客觀評價。答案為分層抽樣。

跟蹤訓練1：交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區做分層抽樣調查。假設四個社區駕駛員的總人數為N ，其中甲社區有駕駛員96人。若在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12，21，25，43，則這四個社區駕駛員的總人數N 為（ ）。

A.101 B.808

C.1212 D.2012

提示：由題意可知，甲社區每個個體被抽取的概率為12/96=1/8，樣本容量為12+21+25+43=101，所以四個社區中駕駛員的總人數N =101/1/8=808。應選B。

題型二：頻率分布直方圖

在頻率分布直方圖中，各個小矩形的面積等于各組的頻率，各組頻數之和等于樣本容量，頻率之和為1;頻率/組距× 組距= 頻率;頻數/樣本容量=頻率，樣本容量× 頻率= 頻數。第p 百分位數可以通過以下步驟估算：找到頻率分布直方圖中第p 百分位數所在的橫坐標位置，即第p 百分位數的值;在頻率分布直方圖中找到第p 百分位數所在的縱坐標位置，即第p 百分位數的頻率;根據第p 百分位數的值和頻率，可以估算出第p 百分位數的值。

例2 一家保險公司決定對推銷員實行目標管理，即給推銷員確定一個具體的銷售目標。確定的銷售目標是否合適，直接影響到公司的經濟效益。如果目標定得過高，多數推銷員完不成任務，會使推銷員失去信心;如果目標定得太低，將不利于挖掘推銷員的工作潛力。該保險公司隨機抽取50名保險推銷員，統計了其2023年的月均推銷額（單位：萬元），將數據按照[12，14），[14，16），…，[22，24]分成6組，制成頻率分布直方圖，如圖1所示，其中[14，16）組比[12，14）組的頻數多4。

（1）求頻率分布直方圖中a 和b 的值。

（2）為調動推銷員的積極性，公司設計了下面兩種獎勵方案。你認為哪種方案更好？

方案一：獎勵月均推銷額進入前60%的員工。

方 案二：獎勵月均推銷額達到或超過平均數（同一組中的數據用該組區間中點值為代表）的員工。

解：（1）由頻率分布直方圖中的所有小矩形的面積之和等于1，結合[14，16）組比[12，14） 組的頻數多4， 可得方程組{（a+b+0.04+0.1+0.12+0.14）×2=1，50×b×2-50×a×2=4， 解得a=0.03，b=0.07。

（2）方案一，獎勵月均推銷額進入前60%的員工。因為樣本容量為50，所以能獲得獎勵員工人數為50×60%=30。

方案二，獎勵月均推銷額達到或超過平均數的員工。由頻率分布直方圖，可得月均推銷額的平均數為x =0.03×2×13+0.07×2×15+0.12×2×17+0.14×2×19+0.1×2×21+0.04×2×23=18.32。月均推銷額低于18 萬的頻率為2× （0.03+0.07+0.12）=0.44。

因為本次抽取的樣本容量為50名保險推銷員，所以月均推銷額低于18萬的人數為50×0.44=22，所以月均推銷額達到或超過18萬的人數為28。

綜上所述，對比兩種獎勵方案，應選方案一，使得更多人員獲得獎勵。

跟蹤訓練2：從某小區隨機抽取100戶居民進行月用電量調查，發現其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖如圖2所示，由此可估計該小區居民戶月用電量的平均值大約為____度。

提示：設用電量在200到250度之間的頻率為a，則50× （0.0024+0.0036+0.006+a+0.0024+0.0012）=1，解得a=0.0044。由頻率分布直方圖可知，該小區居民戶月用電量的平均值為50×（75×0.0024+125×0.0036+175×0.006+225×0.0044+275×0.0024+325×0.0012）=186（度）。

題型三：平均數、中位數及眾數

求平均數時要注意數據的個數，不要重計或漏計。求中位數時一定要先對數據按大小排序，若最中間有兩個數據，則中位數是這兩個數據的平均數。若有兩個或兩個以上的數據出現的最多，且出現的次數一樣，則這些數據都叫眾數;若一組數據中每個數據出現的次數一樣多，則沒有眾數。

例3 （多選題）下面是某城市某日在不同觀測點對細顆粒物（PM2.5）的觀測值：

396，275，268，225，168，166，176，173，188，168，141，157。

若在此組數據中增加一個比現有的最大值大25的數據，則下列數字特征發生改變的是（ ）。

A.極差 B.中位數

C.眾數 D.平均數

解：若在此組數據中增加一個比現有的最大值大25 的數據，即最大值變為396+25=421，極差為最大值與最小值的差，則極差要發生改變。加入數據前，中位數為1/2×（173+176）=174.5，加入數據后，中位數為176，即中位數發生改變。眾數為數據中出現次數最多的數，不會改變。若加入數據前，平均數為x，則加入數據后，平均數為12x+421/13gt;x，即平均數發生改變。應選ABD。

跟蹤訓練3：已知數據x1 +1，x2 +2，x3+3，x4+4，x5+5的平均數是23，則數據3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的平均數是（ ）

A.61 B.64

C.67 D.70

提示：因為數據x1 +1，x2 +2，x3 +3，x4+4，x5+5的平均數是23，所以x1+x2+x3+x4+x5=5×23-15=100，所以（3x1+1）+（3x2+1）+（3x3+1）+（3x4+1）+（3x5+1）=3（x1+x2+x3+x4+x5）+5=305，所以數據3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的平均數是305/5 =61。應選A。

題型四：總體集中趨勢的估計

頻率分布直方圖中的數字特征：最高小矩形的中點橫坐標即為眾數。中位數左邊和右邊的小矩形的面積是相等的。平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。

例4 （多選題）某城市在創建文明城市的活動中，為了解居民對“創建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分（分數為整數，滿分100分），從中隨機抽取一個容量為100的樣本，發現數據均在[40，100]內。現將這些分數分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖3所示。觀察圖形，則下列說法正確的是（ ）

A.頻率分布直方圖中第三組的頻數為10人

B.根據頻率分布直方圖估計樣本的眾數為75分

C.根據頻率分布直方圖估計樣本的中位數為75分

D.根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數為75分

解：分數在[60，70）內的頻率為1-10×（0.005+0.02+0.03+0.025+0.01）=0.1，所以第三組[60，70）的頻數為100×0.1=10（人），A 正確。眾數的估計值是頻率分布直方圖中最高小矩形的中點橫坐標，從圖中可以看出眾數的估計值為75分，B正確。因為（0.005+0.02+0.01）×10=0.35lt;0.5，（0.005+0.02+0.01+0.03）×10=0.65gt;0.5，所以中位數位于[70，80）內。設中位數為x，則0.35+0.03（x-70）=0.5，解得x=75，所以中位數的估計值為75 分，C 正確。樣本平均數的估計值為45×10×0.005+55×10×0.02+65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.025+95×10×0.01=73（分），D錯誤。應選ABC。

跟蹤訓練4：某市進行了一次校際數學競賽，共有100名同學參賽，經過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖，如圖4所示，則下列結論正確的是（ ）。

A.得分在[40，60）之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[60，80）的概率為0.5

C.這100名參賽者得分的中位數為65D.a=0.005

提示：由頻率分布直方圖可知，得分在[40，60）之間共有[1-（0.03+0.02+0.01）×10]×100=40（人），A 正確。把頻率視為概率，則從100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[60，80）內的概率為（0.03+0.02）×10=0.5，B正確。由頻率分布直方圖的性質得（a+0.035+0.03+0.02+0.01）×10=1，解得a=0.005，D 正確。前2個小矩形面積之和為0.4，前3個小矩形面積之和為0.7，所以中位數在[60，70）內，所以這100名參賽者得分的中位數為60+（0.5-0.4/0.3 ）×10≈63.3，C不正確。應選ABD。

作者單位：河南省開封高中

（責任編輯 郭正華）