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2024-08-13 00:00:00張修英
中學生數理化·高一版 2024年5期
概率是每年高考的重點考查內容之一，尤其是簡單的古典概型問題。在日常工作和社會經濟生活中，有大量的隨機事件的概率并不一定要通過大量的試驗來得到，只要知道了一些基本情況，就可以知道它們相應的概率，這就是最常見的古典概型。下面就古典概型中常見的易錯點進行剖析，使同學們達到“誤”中有“悟”。
一、基本事件的確定問題
例1 從13張黑桃的撲克牌中，任意取出1張，它是花牌的概率是多少？
錯解：因為抽出的牌只有花牌和非花牌兩種可能，所以任意取出1張是花牌的概率為1／2。
錯解剖析：上述解法的基本事件選擇錯誤?；ㄅ坪头腔ㄅ谱鳛閮蓚€基本事件出現的可能性是不同的。
正解：基本事件有13個（每一張牌對應1個），每個事件出現的可能性是相同的，因此適用于古典概型的概率求解。因為n=13，花牌共3張（J、Q、K），即m =3，所以任意取出1張是花牌的概率P=3／13。
點評
古典概型的兩個主要特征：有限性，試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;等可能性，每個基本事件出現的可能性相同。實際處理問題中，一定要綜合利用這兩個特征進行分析與判斷，特別是要正確確定基本事件的個數。
二、等可能與非等可能問題
例2 在兩個口袋內，分別裝有寫著數字0，1，2，3，4，5的六張卡片，現從每個口袋中各取一張卡片，求兩個數之和等于7的概率。
錯解：從每個口袋中各取一張卡片出現的數字之和為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11種情況，即基本事件總數為11，兩個數之和等于7有1種情況，所以兩個數之和等于7的概率P=1／11。
錯解剖析：其實，從每個口袋中各取一張卡片出現的數字之和為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11個數，但這11個數的出現不是等可能的，如數字之和為0，只有1 種可能（0+0=0），而數字之和為1，有2種可能（1+0=1或0+1=1）。
正解：從每個口袋中各取一張卡片，共有62=36（種）情況，其中兩個數之和等于7的卡片對為（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），即4種情況，所以兩個數之和等于7 的概率P =4／36=1／9。
點評
使用概率公式P（A）=m／n=（A 包含的基本事件個數／基本事件的總數）計算時，關鍵是求出n 和m 的值，在求n 的值時，必須注意這n 種結果是等可能的，做到不重復，不遺漏。
三、條件考慮周全問題
例3 某汽車站，每天有3輛開往首都北京的分為上、中、下等級的客車，某天小陳準備在該汽車站乘車前往北京辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發車順序，為了盡可能乘上上等車，他將采取如下決策：先放過第一輛車，如果第二輛車比第一輛車好，則上第二輛車，否則上第三輛車。那么小陳能乘上上等車的概率是多少？
錯解：因為客車的等級分為上、中、下三個等級，所以小陳能乘上上等車的概率為1／3。
概率是每年高考的重點考查內容之一，尤其是簡單的古典概型問題。在日常工作和社會經濟生活中，有大量的隨機事件的概率并不一定要通過大量的試驗來得到，只要知道了一些基本情況，就可以知道它們相應的概率，這就是最常見的古典概型。下面就古典概型中常見的易錯點進行剖析，使同學們達到“誤”中有“悟”。
一、基本事件的確定問題
例1 從13張黑桃的撲克牌中，任意取出1張，它是花牌的概率是多少？
錯解：因為抽出的牌只有花牌和非花牌兩種可能，所以任意取出1張是花牌的概率為1／2。
錯解剖析：上述解法的基本事件選擇錯誤?；ㄅ坪头腔ㄅ谱鳛閮蓚€基本事件出現的可能性是不同的。
正解：基本事件有13個（每一張牌對應1個），每個事件出現的可能性是相同的，因此適用于古典概型的概率求解。因為n=13，花牌共3張（J、Q、K），即m =3，所以任意取出1張是花牌的概率P=3／13。
點評
古典概型的兩個主要特征：有限性，試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;等可能性，每個基本事件出現的可能性相同。實際處理問題中，一定要綜合利用這兩個特征進行分析與判斷，特別是要正確確定基本事件的個數。
二、等可能與非等可能問題
例2 在兩個口袋內，分別裝有寫著數字0，1，2，3，4，5的六張卡片，現從每個口袋中各取一張卡片，求兩個數之和等于7的概率。
錯解：從每個口袋中各取一張卡片出現的數字之和為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11種情況，即基本事件總數為11，兩個數之和等于7有1種情況，所以兩個數之和等于7的概率P=1／11。
錯解剖析：其實，從每個口袋中各取一張卡片出現的數字之和為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11個數，但這11個數的出現不是等可能的，如數字之和為0，只有1 種可能（0+0=0），而數字之和為1，有2種可能（1+0=1或0+1=1）。
正解：從每個口袋中各取一張卡片，共有62=36（種）情況，其中兩個數之和等于7的卡片對為（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），即4種情況，所以兩個數之和等于7 的概率P =4／36=1／9。
點評
使用概率公式P（A）=m／n=（A 包含的基本事件個數／基本事件的總數）計算時，關鍵是求出n 和m 的值，在求n 的值時，必須注意這n 種結果是等可能的，做到不重復，不遺漏。
三、條件考慮周全問題
例3 某汽車站，每天有3輛開往首都北京的分為上、中、下等級的客車，某天小陳準備在該汽車站乘車前往北京辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發車順序，為了盡可能乘上上等車，他將采取如下決策：先放過第一輛車，如果第二輛車比第一輛車好，則上第二輛車，否則上第三輛車。那么小陳能乘上上等車的概率是多少？
錯解：因為客車的等級分為上、中、下三個等級，所以小陳能乘上上等車的概率為1／3。
