概率常見典型考題賞析

概率是高中新教材中的重要內容之一，也是高考的常考內容。高考主要考查隨機事件的關系，考查古典概率、對立事件的概率、概率與其他知識的交匯等。下面就概率中的典型考題進行舉例分析，供大家學習與參考。

題型1：隨機事件的關系

互斥事件與對立事件的區別與聯系：互斥事件是不可能同時發生的事件，但也可以同時不發生;對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發生，即有且僅有一個發生。

例1 設條件甲：“事件A 與事件B 是對立事件”，結論乙：“概率滿足P （A ）+P （B）=1”，則甲是乙的（ ）。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解：由事件A 與事件B 是對立事件，可得A∪B 為必然事件，結合概率的加法公式得P（A ）+P （B）=1。概率滿足P （A ）+P（B）=1，但A，B 不一定是對立事件，如投擲一枚硬幣3次，事件A 為“至少出現一次正面”，事件B 為“出現3 次正面”，則P（A）=7/8，P（B）=1/8，滿足P （A ）+P（B）=1，但A，B 不是對立事件。應選A。

跟蹤訓練1：對飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設事件A ={兩次都擊中飛機}，事件B = {兩次都沒擊中飛機}，事件C={恰有一次擊中飛機}，事件D ={至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是____，互為對立事件的是____。

提示：由事件A 與B 不可能同時發生，可知A 與B 是互斥事件。同理可得，A 與C，B 與C，B 與D 也是互斥事件。綜上可得，A 與B，A 與C，B 與C，B 與D 都是互斥事件。

在 上述互斥事件中，根據B，D 還滿足B∪D 為必然事件，則B 與D 是對立事件。

題型2：互斥事件與對立事件的概率

求復雜的互斥事件的概率的兩種方法：一是直接法，將所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率，再求和;二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P（A）=1-P （A ）求解。當題目中涉及“至多”“至少”等問題時，可考慮用間接法。

例2 經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如表1所示。

求：（1）至多2人排隊等候的概率。

（2）至少3人排隊等候的概率。

解：記“無人排隊等候”為事件A，“1 人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3 人排隊等候”為事件D ，“4 人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D ，E，F 彼此互斥。

（1）記“至多2人排隊等候”為事件G，則G=A∪B∪C，所以P （G）=P （A ∪B ∪C）=P （A ）+P （B ）+P （C）=0.1+0.16+0.3=0.56。

（2）（方法1）記“至少3人排隊等候”為事件H ，則H =D ∪E ∪F，所以P （H ）=P（D ∪E∪F）=P （D ）+P （E）+P （F）=0.3+0.1+0.04=0.44。

（方法2）記“至少3人排隊等候”為事件H ，則其對立事件為事件G，所以P （H ）=1-P（G）=0.44。

跟蹤訓練2：（1）某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產情況下，出現乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品（甲級）的概率為（ ）。