應(yīng)用混合邏輯動(dòng)態(tài)模型預(yù)測控制器的磁軸承三電平調(diào)制策略

摘要："傳統(tǒng)磁軸承三電平調(diào)制策略在數(shù)字控制系統(tǒng)中存在控制延遲問題，影響電流紋波抑制效果。針對(duì)上述問題，提出一種基于混合邏輯動(dòng)態(tài)模型預(yù)測控制器的磁軸承三電平調(diào)制策略。基于混雜系統(tǒng)理論，建立混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，統(tǒng)一表征出驅(qū)動(dòng)電路充電、放電和續(xù)流工作模態(tài)，實(shí)現(xiàn)三電平調(diào)制；結(jié)合模型預(yù)測控制理論，將所建立的混合邏輯動(dòng)態(tài)模型作為預(yù)測模型，預(yù)測磁軸承的控制電流，實(shí)現(xiàn)對(duì)控制延遲的補(bǔ)償，并將預(yù)測控制電流送入到代價(jià)函數(shù)中，得出驅(qū)動(dòng)電路的最優(yōu)控制信號(hào)；基于所提調(diào)制策略構(gòu)建了磁軸承控制系統(tǒng)，并與傳統(tǒng)調(diào)制策略進(jìn)行對(duì)比。仿真結(jié)果表明：在輕載擾動(dòng)工況下，所提調(diào)制策略相比于傳統(tǒng)三電平滯環(huán)調(diào)制策略與傳統(tǒng)三電平脈沖寬度調(diào)制（pulse width modulation，PWM）策略，電流紋波分別降低了49.90%和49.87%；在中載擾動(dòng)工況下，所提調(diào)制策略相比于傳統(tǒng)三電平滯環(huán)調(diào)制策略與傳統(tǒng)三電平PWM策略，電流紋波分別降低了49.99%和49.84%；在重載擾動(dòng)工況下，所提調(diào)制策略相比于傳統(tǒng)三電平滯環(huán)調(diào)制策略與傳統(tǒng)三電平PWM策略，電流紋波分別降低了50.08%和49.77%。在三電平調(diào)制機(jī)制的基礎(chǔ)上，所提調(diào)制策略能夠有效補(bǔ)償一個(gè)采樣周期的控制延遲，達(dá)到降低電流紋波的效果。

關(guān)鍵詞："磁軸承；三電平調(diào)制；混合邏輯動(dòng)態(tài)模型；模型預(yù)測控制

中圖分類號(hào)："TH133.3"文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI："10·7652/xjtuxb202408003"文章編號(hào)：0253-987X（2024）08-0019-09

Magnetic Bearing Three-Level Modulation Strategy Based on

Mixed Logical Dynamical Model Prediction Controller

YUAN Ye1， ZHU Junjun1， YANG Fan1， NAN Yu2

（1. School of Electrical and Information Engineering， Jiangsu University， Jiangsu， Zhenjiang 212013， China;

2. Kaifeng Power Supply Company State Grid Henan Electric Power Company， Kaifeng， Henan 475000， China）

Abstract："The traditional magnetic bearing three-level modulation strategy has the problem of control delay in the digital control system， which affects the current ripple suppression effect. Aiming at the above problem， this paper proposes magnetic bearing three-level modulation strategy based on mixed logical dynamical model prediction controller. Firstly， based on hybrid systems theory， a mixed logical dynamical model is constructed to comprehensively characterize the charging， discharging， and current continuation modes within the driving circuit， enabling the implementation of three-level modulation. Next， along with the theory of model predictive control， the established hybrid logic dynamical model serves as a predictive model to anticipate the control current of the magnetic bearing， compensating for control latency. Subsequently， the predicted control current is fed into the cost function to derive the optimal control signal for the driving circuit. Finally， based on the proposed modulation strategy， a magnetic bearing control system is constructed， and compared with the traditional three-level modulation strategy. The simulation results show that under light-load disturbance conditions， the current ripple of the proposed modulation strategy is reduced by 49.90% and 49.87%， respectively， compared with the traditional three-level hysteresis modulation strategy and the traditional three-level pulse width modulation （PWM） strategy. Under medium-load disturbance conditions， the current ripple of the proposed modulation strategy is reduced by 49.99% and 49.84%， respectively， compared with the traditional three-level hysteresis modulation strategy and the traditional three-level PWM strategy. Under heavy-load disturbance conditions， the current ripple of the proposed modulation strategy is reduced by 50.08% and 49.77% respectively， compared with the traditional three-level hysteresis modulation strategy and the traditional three-level PWM strategy. It is proved that the control delay of one sampling period can be compensated effectively trough the proposed modulation strategy on the basis of three-level modulation， and the effect of current ripple reduction can be achieved.

Keywords："magnetic bearing; three-level modulation; mixed logical dynamical; model predictive control

磁軸承是一種利用電磁力將轉(zhuǎn)軸懸浮于空間的高性能軸承，與傳統(tǒng)軸承相比，具有無摩擦、無需潤滑、損耗小、轉(zhuǎn)速高、主動(dòng)可控等諸多優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛用于各工業(yè)領(lǐng)域，如飛輪儲(chǔ)能、航空航天等"［1-6］。

磁軸承驅(qū)動(dòng)電路可以采用兩電平調(diào)制策略或三電平調(diào)制策略。二電平調(diào)制策略主要包括電流滯環(huán)控制"［7］、脈寬調(diào)制控制"［8］、采樣-保持控制"［9］等。電流滯環(huán)控制通過反饋電流與參考電流的誤差值輸入到滯環(huán)比較器中生成脈沖寬度調(diào)制（pulse width modulation，PWM）信號(hào)，控制開關(guān)管導(dǎo)通或者關(guān)斷；脈寬調(diào)制控制將反饋電流與參考電流的誤差通過PI控制器輸出誤差信號(hào)，與PWM發(fā)生器模塊產(chǎn)生的三角波相截產(chǎn)生開關(guān)管的控制信號(hào)；采樣-保持控制以固定的采樣周期對(duì)參考電流和反饋電流進(jìn)行誤差比較，根據(jù)二者差值的正負(fù)性控制開關(guān)管導(dǎo)通或關(guān)斷。但是，磁軸承驅(qū)動(dòng)電路用二電平調(diào)制策略，存在電流紋波難以降低的弊端"［10］。

相較于二電平調(diào)制，三電平調(diào)制下的磁軸承驅(qū)動(dòng)電路具有充電、放電和續(xù)流共3種狀態(tài)，其控制電流紋波與母線電壓解耦，僅與開關(guān)管導(dǎo)通壓降、繞組壓降等成正比"［11］。清華大學(xué)徐旸團(tuán)隊(duì)提出一種基于三電平調(diào)制的空間矢量控制技術(shù)，減小電流紋波的同時(shí)也降低了橋臂數(shù)"［12］。南京工業(yè)大學(xué)張廣明團(tuán)隊(duì)提出了三電平采樣/保持調(diào)制技術(shù)，該技術(shù)是在兩電平采樣/保持調(diào)制技術(shù)的基礎(chǔ)上，在一個(gè)周期內(nèi)引入一個(gè)新的可控點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)電路三電平調(diào)制，對(duì)電流紋波降低有顯著作用"［13］。北京航空航天大學(xué)房建成團(tuán)隊(duì)分析了電流紋波產(chǎn)生的機(jī)理問題，提出一種磁軸承三電平PWM調(diào)制方式，該調(diào)制方式基于PI控制器和PWM發(fā)生器生成占空比，分別控制對(duì)角線上功率開關(guān)管，可以大幅度降低電流紋波"［14］。然而，傳統(tǒng)磁軸承三電平調(diào)制策略在數(shù)字控制系統(tǒng)中會(huì)存在控制延遲，對(duì)電流紋波抑制效果產(chǎn)生影響"［15-16］。

針對(duì)上述問題，本文提出了應(yīng)用混合邏輯動(dòng)態(tài)模型預(yù)測控制器（mixed logical dynamical model prediction controller，MLD-MPC）"［17-19］的磁軸承三電平調(diào)制策略。首先，基于混雜系統(tǒng)理論"［20-22］建立了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，通過引入輔助邏輯變量與輔助連續(xù)變量，統(tǒng)一表征出驅(qū)動(dòng)電路充電、放電、續(xù)流工作模態(tài)下開關(guān)狀態(tài)與控制電流之間的數(shù)學(xué)關(guān)系；其次，基于磁軸承雙閉環(huán)控制框架，設(shè)計(jì)了針對(duì)電流內(nèi)環(huán)的混合邏輯動(dòng)態(tài)預(yù)測控制器，通過計(jì)算預(yù)測控制電流，對(duì)控制延遲進(jìn)行補(bǔ)償，輸入到代價(jià)函數(shù)中，得出最優(yōu)的控制信號(hào)；最后，構(gòu)建了磁軸承控制系統(tǒng)，驗(yàn)證了所提策略能夠在保留三電平調(diào)制機(jī)制的基礎(chǔ)上，有效補(bǔ)償一個(gè)采樣周期的控制延遲，達(dá)到降低電流紋波的效果。

1"磁軸承驅(qū)動(dòng)電路三電平調(diào)制原理

磁軸承驅(qū)動(dòng)電路可以采用半橋式和H橋式。本文以兩自由度徑向永磁偏置磁軸承為研究對(duì)象，需要繞組電流能夠提供雙向電流，因此選用H橋式。三電平調(diào)制策略下，H橋式驅(qū)動(dòng)電路具有4種不同的工作模態(tài)，分別如圖1所示。

圖1（a）為驅(qū)動(dòng)電路充電狀態(tài)（模態(tài)a），繞組兩端施加U"dc，繞組電流i線性上升，電路方程為

式中：U"dc為直流母線電壓；U"on為開關(guān)管導(dǎo)通壓降；L為繞組電感；r是繞組電阻。該充電狀態(tài)下的繞組電流為

式中：時(shí)間常數(shù)τ=L/r；i"a0為模態(tài)a開始時(shí)繞組初始電流。

圖1（b）為驅(qū)動(dòng)電路放電狀態(tài)（模態(tài)b），繞組兩端施加－U"dc，繞組電流i線性下降，電路方程為

可以得到放電狀態(tài)下的繞組電流表達(dá)式

式中：i"b0為模態(tài)b開始時(shí)繞組初始電流。

圖1（c）、（d）為驅(qū)動(dòng)電路自然續(xù)流不同狀態(tài)（模態(tài)c、d），繞組兩端電壓為0，由于繞組電阻的存在，繞組電流緩慢減小，電流方程為

可以得到該續(xù)流狀態(tài)下的電流表達(dá)式

式中：i"c0、i"d0分別為模態(tài)c、模態(tài)d開始時(shí)繞組初始電流。

穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，三電平調(diào)制下磁軸承驅(qū)動(dòng)電路經(jīng)歷導(dǎo)通狀態(tài)和續(xù)流狀態(tài)，電流變化趨勢如圖2所示。以導(dǎo)通狀態(tài)和續(xù)流狀態(tài)為一個(gè)研究周期，其中導(dǎo)通狀態(tài)持續(xù)時(shí)間為［0，t1］，續(xù)流狀態(tài)持續(xù)時(shí)間為。

當(dāng)驅(qū)動(dòng)電路處于導(dǎo)通狀態(tài)時(shí)，電流在t1時(shí)刻達(dá)到最大值i"max，計(jì)算式如下

當(dāng)驅(qū)動(dòng)電路處于續(xù)流狀態(tài)時(shí)，繞組電流在T時(shí)刻到達(dá)最小值i"min，計(jì)算式如下

聯(lián)合式（7）、（8）可得三電平調(diào)制策略下磁軸承控制電流紋波Δi表達(dá)式

開關(guān)管的導(dǎo)通壓降和繞組壓降相對(duì)于直流母線電壓可以近似忽略，三電平調(diào)制策略下磁軸承控制電流紋波Δi可以近似表示為

二電平調(diào)制策略下，磁軸承控制電流紋波Δi表達(dá)式"［9］為

通過對(duì)比式（10）、（11）可得：三電平調(diào)制下的電流紋波與直流母線電壓無關(guān)，其數(shù)值遠(yuǎn)小于兩電平調(diào)制策略下的電流紋波。

但是，以上分析是基于理想情況下，實(shí)際數(shù)字控制系統(tǒng)中始終存在控制延遲時(shí)間（Δt，包括采樣延遲、計(jì)算延遲以及輸出信號(hào)延遲等），這導(dǎo)致三電平調(diào)制策略下控制電流紋波Δi變?yōu)?/p>

由式（12）可以看出，控制延遲將導(dǎo)致控制電流紋波增大。

2"應(yīng)用MLD-MPC的磁軸承三電平調(diào)制策略

2.1"所提調(diào)制策略的基本原理

為了削弱控制延遲Δt對(duì)控制電流紋波抑制效果產(chǎn)生的影響，本文提出了應(yīng)用MLD-MPC的磁軸承三電平調(diào)制策略，如圖3所示。

該調(diào)制策略為雙閉環(huán)控制，分為位移外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)。位移外環(huán)將參考位移與反饋位移的誤差信號(hào)通過PID調(diào)節(jié)器后輸出電流內(nèi)環(huán)給定值。針對(duì)電流內(nèi)環(huán)設(shè)計(jì)了MLD-MPC。該控制器將采集到的控制電流輸入到預(yù)測模型中，計(jì)算得到預(yù)測電流，抑制控制延遲的影響，并以參考電流和預(yù)測電流誤差最小為目標(biāo)，得到驅(qū)動(dòng)電路以最優(yōu)控制信號(hào)。預(yù)測模型采用了驅(qū)動(dòng)電路的混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，該模型通過引入輔助邏輯變量與輔助連續(xù)變量，可以統(tǒng)一表征驅(qū)動(dòng)電路充電、放電、續(xù)流工作模態(tài)下開關(guān)狀態(tài)與控制電流之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三電平調(diào)制。

2.2"調(diào)制策略具體實(shí)現(xiàn)

2.2.1"MLD模型構(gòu)建

引入邏輯運(yùn)算符號(hào)，“v”表示析取、上標(biāo)“－”表示取非、“”表示等價(jià)。定義電流從左向右的方向?yàn)檎Ｒ胼o助邏輯變量δ1，δ1=1表示控制電流igt;0，"δ1=0表示控制電流ilt;0，即

當(dāng)控制電流igt;0時(shí)，磁軸承繞組兩端的電壓U與開關(guān)狀態(tài)S1、S2、S3、S4之間的邏輯關(guān)系為

由式（14）可得，控制電流igt;0時(shí)磁軸承繞組兩端電壓U為

同樣地，可得控制電流ilt;0時(shí)磁軸承繞組兩端電壓

綜合可得，繞組兩端電壓U的數(shù)學(xué)描述為

進(jìn)一步地，引入輔助邏輯變量δ2、δ3，并令

由此得到磁軸承繞組兩端電壓為

最后，引入輔助連續(xù)變量z1、z2，并令

根據(jù)H橋式電路方程，建立電路連續(xù)模型，以磁軸承電流為狀態(tài)變量建立狀態(tài)方程

式中：是控制電流i的微分；R為繞組電阻。結(jié)合式（19）～（21），可將原狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為

上述狀態(tài)方程既包含輔助連續(xù)變量，又包含輔助邏輯變量。將式（22）進(jìn)行離散化，得到磁軸承驅(qū)動(dòng)電路MLD模型

式中：Ts是采樣周期。

2.2.2"代價(jià)函數(shù)選取

MLD-MPC面臨求解混合整數(shù)二次規(guī)劃（mixed integer quadratic programming，MIQP）問題，而對(duì)于磁軸承，遇到擾動(dòng)后需要快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但極短的時(shí)間內(nèi)求解MIQP問題具有很大困難。H橋式電路只有4種不同工作模態(tài)，對(duì)應(yīng)了4種不同開關(guān)狀態(tài)組合。為了選取最優(yōu)的控制信號(hào)，分別計(jì)算這4種不同開關(guān)狀態(tài)組合，并比較代價(jià)函數(shù)值，以預(yù)測電流與參考電流誤差最小為目標(biāo)建立代價(jià)函數(shù)

式中：ip（k+1）為k+1時(shí)刻的磁軸承繞組預(yù)測電流；i"ref（k+1）為k+1時(shí)刻的磁軸承繞組的給定電流，雖然可以將k+1時(shí)刻的參考值近似等于k時(shí)刻參考值，但是這一近似會(huì)使得給定信號(hào)存在一個(gè)采樣周期的延遲。為了提高控制精度，可以采用二階拉格朗日插值法來得到k+1時(shí)刻的控制電流參考值，即

選擇代價(jià)函數(shù)值最小的開關(guān)信號(hào)為磁軸承驅(qū)動(dòng)電路的控制信號(hào)，即求解最優(yōu)的開關(guān)控制信號(hào)。

2.2.3"控制延遲補(bǔ)償

數(shù)字控制系統(tǒng)存在延遲"［23-25］，所選擇的控制信號(hào)要到下一時(shí)刻輸出，但此時(shí)的控制電流已經(jīng)變?yōu)閕p（k+1）。因此，為了消除這一控制延遲的影響，需要以ip （k+1）為初始條件對(duì)電流再加一步預(yù)測，得到k+2時(shí)刻的電流預(yù)測值ip（k+2）

因此，代價(jià)函數(shù)可以重新表示為

由式（25）向前推導(dǎo)一步可到

2.2.4"調(diào)制策略流程

圖4是調(diào)制策略流程圖，具體步驟如下。

（1）對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的電流i（k）、參考電流i"ref（k）進(jìn)行采樣。

（2）通過預(yù)測k+1時(shí)刻的電流ip（k+1）和i"ref（k+1）來對(duì)磁軸承控制系統(tǒng)進(jìn)行延遲補(bǔ)償。

（3）對(duì)4個(gè)不同的開關(guān)狀態(tài)組合，通過式（26）的預(yù)測模型對(duì)控制電流進(jìn)行預(yù)測，然后通過式（27）計(jì)算代價(jià)函數(shù)值。

（4）通過比較得到最小的代價(jià)函數(shù)值。

（5）選擇出最小的代價(jià)函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的開關(guān)狀態(tài)組合，即是最優(yōu)的驅(qū)動(dòng)電路控制信號(hào)。

3"調(diào)制策略驗(yàn)證

基于Matlab/Simulink對(duì)本文所提調(diào)制策略進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真參數(shù)如下：U"dc=15V，繞組中的電感L=1.8mH，繞組中的電阻R=0.13Ω，采樣周期Ts=1μs，最大負(fù)載為100N。

3.1"控制系統(tǒng)有效性驗(yàn)證

對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行起浮驗(yàn)證，圖5為磁軸承控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)子起浮時(shí)的位移波形。可以看出，磁軸承開始懸浮到穩(wěn)定運(yùn)行過程中，最大位移為0.027μm位移經(jīng)過0.061s后回到平衡位置，且穩(wěn)定運(yùn)行會(huì)有幅值為0.007μm的波動(dòng)，具有良好的懸浮精度。

不同負(fù)載擾動(dòng)下的位移波形如圖6所示。在"0.05s加入輕載（20N）擾動(dòng)時(shí)，本文所提調(diào)制策略的系統(tǒng)產(chǎn)生－2.25μm的位移波動(dòng)，經(jīng)過0.075s回到平衡位置；在0.05s加入中載（50N）擾動(dòng)時(shí)，本文所提調(diào)制策略的系統(tǒng)產(chǎn)生－5.63μm的位移波動(dòng)，經(jīng)過0.09s回到平衡位置；在0.05s加入重載（80N）擾動(dòng)時(shí)，本文所提調(diào)制策略的系統(tǒng)產(chǎn)生－9μm的位移波動(dòng)，經(jīng)過0.1s回到平衡位置。

綜上可知，基于所提調(diào)制策略的控制系統(tǒng)，在面對(duì)輕載、中載和重載的情況下均具有良好的魯棒性。

3.2"三電平調(diào)制可行性驗(yàn)證

對(duì)控制系統(tǒng)分別施加±20、±50、±80N的方波擾動(dòng)，驅(qū)動(dòng)電路電壓輸出結(jié)果如圖7所示。

由圖7（a）可知， ±20N方波擾動(dòng)下， 在正半周期時(shí)驅(qū)動(dòng)電路輸出電壓有正和零電壓輸出，在負(fù)半周期時(shí)驅(qū)動(dòng)電路輸出電壓有負(fù)和零電壓輸出。同樣地，由圖7（b）、（c）可知，±50N和±80N方波擾動(dòng)下，在正半周期時(shí)驅(qū)動(dòng)電路輸出電壓有正和零電壓輸出，在負(fù)半周期時(shí)驅(qū)動(dòng)電路輸出電壓有負(fù)和零電壓輸出。

綜上可知，在不同的方波擾動(dòng)下，一個(gè)周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)電路的電壓始終輸出有正、負(fù)和零電壓，驗(yàn)證了控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)三電平調(diào)制。

3.3"控制延遲抑制的有效性驗(yàn)證

面對(duì)輕載（20N）、中載（50N）、重載（80N），分別施加一個(gè)采樣周期的控制延遲，傳統(tǒng)磁軸承三電平滯環(huán)調(diào)制策略"［26］、傳統(tǒng)磁軸承三電平PWM策略"［14］、本文策略下的電流波形分別如圖8～10所示。

由圖8可知，面對(duì)輕載（20 N）擾動(dòng)，三電平滯環(huán)調(diào)制策略下磁軸承的電流紋波為1.656×10"－2A，三電平PWM策略下磁軸承的電流紋波為1.655×10"－2 A，而本文所提調(diào)制策略下磁軸承的電流紋波為8.297×10"－3A，分別降低了49.90％和49.87%。

由圖9可知，面對(duì)中載（50N）擾動(dòng)，三電平滯環(huán)調(diào)制策略下磁軸承的電流紋波為1.648×10"－2A，三電平PWM策略下磁軸承的電流紋波為1.643×10"－2 A，而本文所提調(diào)制策略下磁軸承的電流紋波為8.241×10"－3A，分別降低了49.99％和49.84%。

由圖10可知，面對(duì)重載（80N）擾動(dòng)，三電平滯環(huán)調(diào)制策略下磁軸承的電流紋波為1.637×10"－2 A，三電平PWM策略下磁軸承的電流紋波為1.627×10"－2 A，而本文所提調(diào)制策略下磁軸承的電流紋波為8.172×10"－3A，分別降低了50.08％和49.77%。

綜上可知，相對(duì)于以上兩種傳統(tǒng)三電平調(diào)制策略，無論在輕載、中載還是重載擾動(dòng)情況下，應(yīng)用MLD-MPC的三電平調(diào)制策略能夠有效抑制一個(gè)采樣周期控制延遲，進(jìn)一步降低控制電流紋波。

4"結(jié)"論

本文提出了一種應(yīng)用MLD-MPC的磁軸承三電平調(diào)制策略。該策略基于混雜系統(tǒng)理論，對(duì)磁軸承驅(qū)動(dòng)電路建立混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)磁軸承驅(qū)動(dòng)電路充電、放電和續(xù)流共3種工作狀態(tài)的統(tǒng)一表征。進(jìn)一步地，結(jié)合模型預(yù)測控制策略，對(duì)磁軸承控制電流進(jìn)行預(yù)測，實(shí)現(xiàn)延遲補(bǔ)償，達(dá)到降低電流紋波這一目標(biāo)。應(yīng)用MATLAB/Simulink進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)三電平滯環(huán)調(diào)制策略和傳統(tǒng)三電平PWM策略進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果表明，本文所提調(diào)制策略相比于傳統(tǒng)三電平調(diào)制策略，在輕載、中載和重載這3種不同的工況下，均能有效補(bǔ)償一個(gè)采樣周期的控制延遲，實(shí)現(xiàn)降低磁軸承的控制電流紋波。

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（編輯"陶晴）