面向物理學(xué)專業(yè)的《線性代數(shù)》教學(xué)策略探討

摘要：線性代數(shù)是物理學(xué)專業(yè)重要的前序課程之一，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)理論，對于《光學(xué)》、《量子力學(xué)》等專業(yè)必修課的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。然而，其概念、理論的抽象性使得大多數(shù)物理學(xué)本科生望而卻步，嚴(yán)重影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí)效果。本文從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，結(jié)合物理學(xué)專業(yè)特點(diǎn)，提出建立與已掌握知識體系的聯(lián)系、加強(qiáng)與物理學(xué)專業(yè)課程的聯(lián)系以及探討線性代數(shù)在物理探究的應(yīng)用等策略，旨在為提高學(xué)習(xí)興趣以及教學(xué)效果提供新思路。

關(guān)鍵詞：物理學(xué)專業(yè)；線性代數(shù)；教學(xué)策略

Exploration of Teaching Strategies for Linear Algebra for Physics Major

Su Mingyang Tang Liangpo Li Yong Zhou Renlong

Guangdong University of Education GuangdongGuangzhou 510303

Abstract： Linear Algebra is one of the important preamble courses for Physics Major. Mastering relevant theories is essential for learning required courses such as Optics and Quantum Mechanics， etc. However， the abstract characteristic of of its concepts and theories makes most physics undergraduate students feel difficulty， seriously affecting the learning effectiveness of subsequent courses. Starting from the teaching practice and combining with the characteristics of physics Major， this paper puts forward some strategies such as establishing the connection with the knowledge system that has been mastered， strengthening the connection with the physics specialty curriculum， and exploring the application of Linear Algebra in physics exploration， in order to provide new ideas for improving learning interest and teaching effect.

Keywords： Physics Major， Linear Algebra， Teaching strategies

1 概述

《線性代數(shù)》是研究多元線性方程組、有限維空間線性理論和方法等的數(shù)學(xué)學(xué)科，具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性，是經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)、電子信息、物理等本科理工類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程[1-2]。在物理學(xué)專業(yè)的課程體系中，線性代數(shù)的學(xué)習(xí)既可用于培養(yǎng)物理學(xué)本科生的邏輯思維和解決實(shí)際問題的能力，又是后續(xù)專業(yè)課程必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，包括光學(xué)、量子力學(xué)等專業(yè)必修課。而傳統(tǒng)的《線性代數(shù)》教學(xué)模式側(cè)重于概念、定義以及定理的講解，卻忽略了理論聯(lián)系實(shí)際[3]。物理學(xué)本科生在實(shí)際學(xué)習(xí)中往往存在困惑，不知道“線性代數(shù)是什么？”“物理學(xué)專業(yè)為什么要學(xué)習(xí)線性代數(shù)？”“線性代數(shù)在物理學(xué)中怎么用？”。 這往往導(dǎo)致大多數(shù)學(xué)生失去了主動學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的熱情和動力，純粹為了期末考試而學(xué)習(xí)，考試后置之不理。并且，在學(xué)習(xí)后續(xù)課程時，早已忘卻相關(guān)基礎(chǔ)理論，嚴(yán)重影響了后續(xù)課程的學(xué)習(xí)效果。因此，提高物理學(xué)專業(yè)《線性代數(shù)》課程的教學(xué)質(zhì)量和效果顯得相當(dāng)重要。

為此，本文提出了面向物理學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)教學(xué)策略探討，針對物理學(xué)的專業(yè)特點(diǎn)對教學(xué)方式進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，提出建立與已掌握知識體系的聯(lián)系、加強(qiáng)與物理學(xué)專業(yè)課程的聯(lián)系以及探討線性代數(shù)在物理探究的應(yīng)用等策略。旨在從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，適當(dāng)引入物理學(xué)專業(yè)背景，賦予枯燥的數(shù)學(xué)理論以新的活力，用于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣，為提高線性代數(shù)的課堂教學(xué)效率提供新思路，希望為后續(xù)專業(yè)課程的有序、高效開展提供良好鋪墊。

2 《線性代數(shù)》教學(xué)策略探討

2.1 建立與已掌握知識體系的聯(lián)系

物理學(xué)本科生對數(shù)學(xué)課程的第一印象是鼓噪、乏味以及難以掌握。而《線性代數(shù)》是物理學(xué)本科生經(jīng)歷《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)之后的另一門數(shù)學(xué)課程，也是一個相對陌生的數(shù)學(xué)知識體系，沒做好前期的心理和知識體系建設(shè)，容易造成畏難心理，影響教學(xué)和學(xué)習(xí)效果。因此，《線性代數(shù)》的前期學(xué)習(xí)不適宜大篇幅引入數(shù)學(xué)原理和理論，而應(yīng)該從已掌握的知識體系入手，回答好“《線性代數(shù)》是什么？”這一問題。

大多數(shù)教材《線性代數(shù)》第一章是行列數(shù)，這與學(xué)生中學(xué)時期已掌握的用代入消元法或加減消元法求解二元和三元線性方程組的知識是一脈相承的[4]。行列式教學(xué)可以從消元法求解二元和三元線性方程組的例子入手。

例：用消元法解二元線性方程組

引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算得到結(jié)論，當(dāng)a11a22–a12a21≠0時，方程組的解為：

借機(jī)引入二階行列式的定義以及表示方法：

若記 則當(dāng)D0時，方程組有唯一解：

讓物理學(xué)本科生知道什么是行列式，二階行列式的其中一個重要應(yīng)用就是解二元線性方程組。并在此基礎(chǔ)上，將行列式推廣n階，讓學(xué)生知道n元線性方程組也存在較為簡便的求解方法，不需要進(jìn)行多次消元。從原有知識體系出發(fā)，循序漸進(jìn)的方式不會顯得很突兀，讓學(xué)生能初步領(lǐng)略線性代數(shù)的魅力。

2.2 加強(qiáng)與物理學(xué)專業(yè)課程的聯(lián)系

物理學(xué)本科生在初步接觸《線性代數(shù)》時經(jīng)常存在疑問，他們不明白為什么《線性代數(shù)》是必選的專業(yè)選修課甚至必修課，它和物理專業(yè)課程有什么聯(lián)系。作為授課老師，不僅應(yīng)講授相關(guān)概念、理論、原理和計(jì)算方法，還應(yīng)把《線性代數(shù)》的矩陣、特征值等基礎(chǔ)理論與物理學(xué)專業(yè)知識有機(jī)結(jié)合起來，讓學(xué)生知道《線性代數(shù)》與物理學(xué)專業(yè)課程之間相輔相成的關(guān)系，回答好“為什么要學(xué)？”這一問題。下面將從《光學(xué)》和《量子力學(xué)》兩門專業(yè)必修課出發(fā)，探討和分析《線性代數(shù)》和這兩門課程的聯(lián)系。

2.2.1《光學(xué)》的偏振表示

《光學(xué)》是物理學(xué)一門重要的專業(yè)必修課，而線性代數(shù)與《光學(xué)》課程的一個典型聯(lián)系就是“偏振的矩陣表示”[5]。

在物理光學(xué)中，任一偏振光都可以用兩個振動方向相互垂直、相位相關(guān)聯(lián)的線偏振光來表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

這里，a1和1分別表示振動方向沿X軸的線偏振光的振幅和相位，a2和2分別表示振動方向沿Y軸的線偏振光的振幅和相位。

此時，偏振光的X軸和Y軸分量可分別表示為：

利用矩陣可表示為：

若記 則歸一化后可表示為：

因?yàn)槠駪B(tài)關(guān)注的是相位差，上式可省去公共因子相位。

從上式可知，當(dāng)a1=a2且1-2=/2時，為圓偏振光；當(dāng)a1a2且1-2/2時，為橢圓偏振光；當(dāng)a1-a2=0或時，為線偏振光。由此可見，利用矩陣可以很方便表示光的偏振，在教學(xué)中適當(dāng)引入相關(guān)知識可建立光學(xué)與線性代數(shù)的聯(lián)系。

2.2.2《量子力學(xué)》的本征值與本征函數(shù)

《量子力學(xué)》是現(xiàn)代物理學(xué)的重要基礎(chǔ)理論之一，是物理學(xué)本科生的專業(yè)必修課之一。線性代數(shù)作為前序課程之一，與《量子力學(xué)》課程聯(lián)系非常緊密。其中一個典型聯(lián)系為求解算符的本征值與本征函數(shù)，這等價于求對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。量子力學(xué)中，可將波函數(shù)與算符的公式利用矩陣進(jìn)行表示[6-7]。

例如：求自旋角動量在（cos，cosβ，cosγ）方向的投影：

的本征值和本征函數(shù)。

解：將在的表象中的矩陣形式代入得：

設(shè)的本征值為，本征函數(shù)為

則有本征值方程 ，即

有非零解的條件是：，即

計(jì)算可得

即： 的本征值為。

將矩陣方程（1）展開

當(dāng)時， 由（2）得

所以

由的歸一化求， 即

此時，

所以：

同理，當(dāng)時，

在上述例子中，在量子力學(xué)中，求解自旋角動量的本征值與本征函數(shù)等價于求解矩陣的特征值與特征向量。由此可見，利用線性代數(shù)矩陣、向量等相關(guān)數(shù)學(xué)理論與量子力學(xué)的學(xué)習(xí)關(guān)系密切，在教學(xué)中適當(dāng)引入相關(guān)知識可建立量子力學(xué)與線性代數(shù)的聯(lián)系。

2.3 探討線性代數(shù)在物理探究的應(yīng)用

了解與物理專業(yè)課程的聯(lián)系，僅是說明線性代數(shù)的數(shù)學(xué)理論對于物理專業(yè)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)很重要，學(xué)生某些時候更希望知道線性代數(shù)在物理中具體怎么使用。而線性代數(shù)在物理專業(yè)的價值也不僅僅是重要的前序課程，同時是物理現(xiàn)象分析和探究的工具，合理利用線性代數(shù)基礎(chǔ)知識和相關(guān)軟件進(jìn)行模擬仿真可以增強(qiáng)專業(yè)課知識的理解深度。因此，在線性代數(shù)教學(xué)中，通過介紹和引導(dǎo)學(xué)生初步掌握以線性代數(shù)為基礎(chǔ)的相關(guān)軟件，并進(jìn)行物理現(xiàn)象仿真和分析，回答好“怎么用？”這一問題，對于進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效果具有積極影響。Matlab是以矩陣為基本數(shù)據(jù)單元的商業(yè)化軟件，在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指，在物理現(xiàn)象分析和探究等方面具有廣泛應(yīng)用，而它的理論基礎(chǔ)就是線性代數(shù)。下面以 “楊氏雙縫干涉”為例介紹Matlab在物理現(xiàn)象探究的應(yīng)用[8-9]。

楊氏雙縫的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，按照惠更斯-菲涅耳原理，線光源 S點(diǎn)光源發(fā)出的光分別經(jīng)兩狹縫S1和S2到達(dá)觀察屏，兩束光所走的光程不同導(dǎo)致相位差，使得在觀察屏看到明暗相間的平行條紋。

楊氏雙縫干涉的具體代碼如下：

clc;

clear all;

D=1;

d=0.01;

Lambda=633e-9;

ymax=2e-4;

ny=401;

y=linspace（-ymax，ymax，ny）;

x=y;

for i=1：ny

for j=1：ny

l1=sqrt（（y（i）-d/2）^2+0*x（j）+D^2）;

l2=sqrt（（y（i）+d/2）^2+0*x（j）+D^2）;

phi=2*pi*（l2-l1）/Lambda;

I0（i，j）=4*cos（phi/2）^2;

end

end

figure（1）;

set（0，'defaultfigurecolor'，'w'）

plot（y，I0（：，1），'k'）;

set（gca，'linewidth'，2，'fontsize'，28，'fontname'，'Times'）;

set（gca，'ytick'，0：1：4）;

set（gcf，'Units'，'centimeters'，'Position'，[1 1 30 24]）;

set（gca，'position'，[0.13，0.13，0.78，0.78]）;

xlabel（'x（m）'，'fontsize'，32，'FontName'，'Times'，'FontWeight'，'bold'）;

ylabel（'強(qiáng)度'，'fontsize'，32，'FontName'，'宋體'，'FontWeight'，'bold'）;

title（'單色光強(qiáng)度曲線'，'fontsize'，32，'FontName'，'宋體'，'FontWeight'，'normal'）;

axis（[-ymax，ymax，0，4]）;

I=I0.*255/max（max（I0））;

figure（2）;

set（0，'defaultfigurecolor'，'w'）

image（x，y，I）;

set（gca，'linewidth'，2，'fontsize'，28，'fontname'，'Times'）;

xlabel（'x（m）'，'fontsize'，32，'FontName'，'Times'，'FontWeight'，'bold'）;

ylabel（'y（m）'，'fontsize'，32，'FontName'，'Times'，'FontWeight'，'bold'）;

set（gcf，'Units'，'centimeters'，'Position'，[1 1 30 24]）;

set（gca，'position'，[0.13，0.13，0.78，0.78]）;

title（'單色光條紋'，'fontsize'，32，'FontName'，'宋體'，'FontWeight'，'normal'）;

axis（[-ymax，ymax，-ymax，ymax]）;

colormap hot;

圖2為利用Matlab進(jìn)行楊氏雙縫干涉仿真的結(jié)果，這里設(shè)定D=1 m，d=1 cm，波長為633 nm。由圖可知，經(jīng)兩狹縫出射后，可在觀察屏看到明暗相間的條紋分布，強(qiáng)度呈周期性變化。當(dāng)分析條紋間距與波長、小孔間距等之間的關(guān)系時，可通過調(diào)整相應(yīng)的參數(shù)進(jìn)行仿真。圖3為波長分別為633 nm和532 nm的條紋分布，可以明顯看出，條紋間距隨著波長的減小而減小。借助Matlab不僅能讓學(xué)生直觀理解干涉現(xiàn)象，還可更為深入分析和探討楊氏雙縫干涉現(xiàn)象的影響因素，更容易將理論和實(shí)踐有機(jī)結(jié)合，提高學(xué)習(xí)效果。

波動光學(xué)、量子力學(xué)等近現(xiàn)代物理實(shí)驗(yàn)一般需要穩(wěn)定的環(huán)境和高精度的儀器，學(xué)生在課堂上難以直觀對物理現(xiàn)象進(jìn)行理解、分析和探討，而Matlab數(shù)值仿真可以克服對實(shí)驗(yàn)條件的限制，對于提高相關(guān)知識的學(xué)習(xí)效果具有積極影響。有意識引導(dǎo)學(xué)生了解Matlab數(shù)值仿真的基礎(chǔ)是線性代數(shù)，掌握Matlab在物理仿真的應(yīng)用，有望充分調(diào)動學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性。

結(jié)語

《線性代數(shù)》是物理學(xué)專業(yè)重要的前序課程之一，內(nèi)容具有高度抽象性。傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往著重于基礎(chǔ)理論的教學(xué)，很難激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。線性代數(shù)在物理學(xué)專業(yè)的教學(xué)，須結(jié)合專業(yè)的特點(diǎn)，回答好“線性代數(shù)是什么？”“為什么要學(xué)？”以及“怎么用？”這三個問題。為此，提出了面向物理學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)教學(xué)策略探討，結(jié)合線性代數(shù)和物理學(xué)專業(yè)的特點(diǎn)，對教學(xué)方式進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，從已掌握的知識體系入手，讓學(xué)生初步領(lǐng)略線性代數(shù)的魅力；加強(qiáng)與物理學(xué)專業(yè)課程的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣；探討線性代數(shù)在物理探究的應(yīng)用，利用以線性代數(shù)為基礎(chǔ)的Matlab軟件模擬分析物理現(xiàn)象，進(jìn)一步調(diào)動學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性。本文旨在從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，探討線性代數(shù)在物理學(xué)專業(yè)的教學(xué)策略，賦予枯燥的理論以新的活力，為提高線性代數(shù)的課堂教學(xué)效率提供新思路，為后續(xù)專業(yè)課程的有序、高效開展提供良好鋪墊。

基金資助信息：本文得到國家社會科學(xué)基金一般項(xiàng)目-教育學(xué)（項(xiàng)目編號：BHA190128）；2022年廣東省本科高校教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程建設(shè)項(xiàng)目-電動力學(xué)課程教研室（項(xiàng)目編號：2022kcjys003）；2021年廣東省省級一流本科專業(yè)建設(shè)點(diǎn)項(xiàng)目（廣東第二師范學(xué)院物理學(xué)專業(yè)）；廣東第二師范學(xué)院校級教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：2022jxgg20，2022kcjys03）資助

作者簡介：蘇明樣（1992— ），漢族，博士，講師，研究方向：物理學(xué)。

*通訊作者：周仁龍（1975— ），漢族，博士，教授，研究方向：物理學(xué)。

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