數形結合 探索本質 構建模型

【教學內容】

北師大版數學四年級上冊“加法結合律”。

【設計思路】

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出，數學課程應落實立德樹人根本任務，注重數學課程與現實世界的聯系，從而培養適應終身發展需要的核心素養，要求在真實情境中解決問題。

基于以上理念，本節課創設了學校體育嘉年華活動的真實情境，貼近學生實際生活，并圍繞情境引導學生主動參與活動，給予學生充分的自主探究和小組活動的時間，去經歷觀察、舉列、猜想、歸納、建模等過程；引導學生利用數形結合來理解加法結合律的本質，并能運用加法結合律進行簡便運算，解決生活實際問題，發展應用意識，感受數學知識的應用價值。在探究、體驗、合作、交流等教學過程中，教師要關注學生符號意識、數感和運算能力等核心素養的發展。最后，教師引導學生探究連減算式中存在的規律，促進學生掌握知識，領悟方法，培養梳理知識、建立數學知識體系的能力。

【教學目標】

1.經歷加法結合律的探索過程，理解并掌握加法結合律，能結合生活中的事例解釋加法結合律，體會數學與生活的緊密聯系，積累數學活動經驗。

2.會用字母表示加法結合律，發展初步的抽象思維能力和推理能力，培養符號意識。

3.運用加法交換律和加法結合律對一些算式進行簡便運算，解決生活中的實際問題，體會計算方法的多樣化，發展數感，提高運算能力。

【教學重難點】

重點：理解加法結合律的意義，學會用加法交換律和結合律進行簡便計算。

難點：加法結合律的建模。

【教學過程】

一、創設情境，激趣導入

師：一年一度體育嘉年華正如火如荼進行著，你看，有繞樁運球比賽、跳繩、仰臥起坐、投籃比賽等，你最喜歡哪個項目？

二、數形結合，創建模型

（一）數形結合，初建模型

師：小明最喜歡的繞樁運球比賽正在進行，這個場地周長一共有多少米？

1.嘗試列式，解釋意義

預設：

39+62+38 62+38+39 38+62+39

39+38+62 62+39+38 38+39+62

師：這些算式對嗎？為什么？你能結合圖形說一說嗎？

2.觀察發現，交流小結

（1）觀察39+62+38和62+38+39，數的位置改變，得數不變，運用了加法交換律。

（2）62+38+39要先算62+38，算式可以怎么樣變一變？你的依據是什么？

62+38+39→（62+38）+39→39+（62+38）

小結：不論先算39+62，還是先算62+38，都是算出總長度，結果是相等的。

（設計意圖：“三角形的運球場地”是數形結合的生活場景圖，學生根據已學的加法交換律，能發散思維列出六道算式，但是極少有帶上小括號的算式。根據學生的起點和生長點，引導學生運用加法交換律，經歷“數的交換”到“式子的交換”，巧妙引出隱含加法結合律的兩組算式。通過“數形結合”幫助學生建模，讓他們的思維可視化。）

（二）舉例歸納，創建模型

師：體育嘉年華還有很多項目，這是部分同學的比賽成績，你能算算每個小組的總成績嗎？

1.小組合作，列出等式

師：根據以上信息，你能寫出像這樣（39+62）+

38=39+（62+38）的等式嗎？

小組合作要求：

寫一寫：寫出一組類似的等式。

算一算：計算并驗證等式是否成立。

說一說：組內交流你是怎么想的。

2.匯報交流，總結規律

（1）匯報結果。

■

（2）交流發現，引導小結。

師：從這些等式中，你有什么發現？

小結：三個數相加，先把前面兩個數相加，再加上第三個數所得的和，與先把后面兩個數相加，再加上第一個數所得的和是相等的。

3.自主探究，創建模型

（1）你能用簡潔的方法表示出這個規律嗎？

預設1：甲數+乙數+丙數=甲數+（乙數+丙數）

預設2：（□+▲）+★=□+（▲+★）

預設3：（a+b）+c=a+（b+c）

（2）用字母表示很簡潔，請結合這個圖來說說這個字母等式的意思。

4.方法提煉，揭示課題

師：這就是加法運算的規律——加法結合律，用字母表示就是（a+b）+c=a+（b+c）。剛才我們運用了觀察、舉例、猜想、歸納的推理模式，發現了加法結合律。這樣的推理模式在以后的學習中會繼續運用。

5.搜索反例

（1）深度思考：三個數連加，先算前面兩個數的和，或先算后面兩個數的和，和一定不會發生變化嗎？你是怎樣想的？

預設：三個數連加，無論先算哪兩個數的和，和不會發生變化。

（2）小結：說得真棒，數學家們也是這樣思考的。

（設計意圖：從體育嘉年華的活動中提取數據列成等式，讓學生感受數學來源于生活，并豐富學生建模的過程，形成模型的表象。學生在獨立思考與合作交流中探索發現規律，積累從特殊到一般的歸納推理能力。用語言描述模型的特征，能加深學生對模型結構的理解，訓練學生的思維能力。同時用字母表示加法結合律，滲透符號化思想，讓學生體會字母模型的簡潔性，讓學生經歷知識的形成過程，感受成功的喜悅。）

三、合理運用，體會簡便

1.我們來看看黑板上的這些算式，哪些運用了加法結合律，使計算更簡便了？

（1）第1組和第2組運用了加法結合律，使計算更簡便。第3組、第4組和第5組雖然運用了加法結合律，但是沒有使計算簡便。

（2）第3組可不可以用簡便算法？說說你的想法。

原來在以前的學習中就已經悄悄出現過加法結合律了，“湊十”法就在運用加法結合律。

（3）第4組呢？

第4組運用運算律也不能使計算簡便，那就可以不用運算律直接計算。

2.第5組：這樣結合不能使計算簡便，那你能想辦法用學過的運算律使計算簡便嗎？

（1）獨立嘗試。

（2）交流匯報，你用了什么運算律？

（3）為了把57和43湊整，這兩個算式既用到了加法交換律，又用到了加法結合律。看來，有時候同時運用兩種運算律也可以使計算更簡便。

小結：回顧上面的算法，有些算式運用加法交換律和加法結合律能使計算簡便，有些算式運用運算律也不能簡便，所以要根據算式數字的特點，合理利用運算規律。

（設計意圖：本環節讓學生通過觀察發現哪些算式運用了加法結合律能使運算簡便，哪些運用了加法結合律不能簡便，進一步理解加法結合律。接著讓學生嘗試用運算律進行簡便運算，能根據數據的特點選擇運算律進行簡便運算，體會加法結合律在運算中的簡便性。）

四、分層練習，拓展延伸

師：體育嘉年華壓軸環節——定向運動，馬上開始了，讓我們追隨王同學的腳步，一起出發吧！先來到第一站。

△第一站：基礎練

1.填一填，并說一說下面的等式各應用了什么運算定律。

（1）25+13+87＝25+（□+87）

（2）（51+29）+71＝□+（□+□）

（3）15+34+85=□+（□+□）

（4）36+（▲+★）＝（36+□）+★

［設計意圖：4道題目層層遞進，由易至難、由淺入深：（1）（2）題考查學生加法結合律的應用，追問“你喜歡等號左右哪邊的計算？為什么”；（3）題在（1）題的基礎上進行升級，考查學生加法交換律和加法結合律的綜合應用；（4）題從數字到字母，讓學生抽象地認識加法結合律。］

2.算一算，觀察每個算式中加數的特點，選擇合適的方法計算。

88+156+44

28+69+172

（1）追問：為什么要先算156加44？

預設：可以湊成整百數，這樣簡便。

（2）這兩道題分別運用了什么運算定律？

預設：第一道題用了加法交換律，第二道題用了加法交換律和加法結合律。

（3）觀察比較今天學習的加法結合律和之前學習的加法交換律，他們之間有什么相同點和不同點呢？請填寫下表。

小結：我們在幾個數連加計算中，往往同時使用加法交換律和加法結合律，使計算簡便。

（設計意圖：學生通過自主計算，意識到加法結合律往往需要湊整，有利于提高學生的計算速度和正確率，為學生運用加法結合律進行簡便計算打好基礎。同時，加法交換律和加法結合律有著天然的內在聯系，溝通兩者之間的聯系，通過表格對比分析“變”與“不變”，促使學生對運算律形成整體認識，有利于數學知識的整體建構，提升學生的推理意識。同時，也為后面的靈活應用打下良好的基礎。）

△第二站：變式練

變一變：我們將第1題中“（15+34）+85”變一變，請看：

★15+34+85+66＝（□+□）+（□+□）

★★ 15+34+85+66+22

★★★ 15+34+85+66+22+78

……

小結：無論是三個數相加，還是四個、五個、六個，甚至更多的數相加，“加法交換律”和“加法結合律”都適用，方法和道理是一樣的。

（設計意圖：考查學生是否掌握交換律和結合律；通過對算式改編，在后面增加一個數，變成四個數連加，兩兩湊整百，再延伸到五個、六個數相加，甚至更多的數，讓學生知道方法和道理還是一樣的，體會加法結合律在生活中的簡便應用價值。）

△第三站：拓展練

1.請你估一估起點到第一站有多少米。

提示：可以根據數據，也可以根據路線圖的長短來估。

2.王同學到達第三站一共跑了450米，起點到第一站是多少米？

預設：450-148-152 450-（148+152）

3.想一想：對比以下兩種算法，你有什么發現？

（1）它與加法結合律有什么相同和不同之處？

（2）你能照樣子再寫出兩組這樣的算式嗎？

（3）你能嘗試用語言或字母表示這個規律嗎？

老師給你一個提示：我們是否可以通過“觀察—舉例—猜想—歸納”的方法來得到減法的規律。

（4）那乘法和除法有沒有結合律呢？課后自己也可以去研究。

（設計意圖：通過創設王同學參加定向運動的情境，根據數據和路線的長短來猜測起點到第一站多少米。第2問是告訴王同學到達第三站一共跑了450米，求起點到第一站的距離，學生會出現上面的兩種算法，通過觀察比較“它與加法結合律有什么相同和不同之處”，實現了以加法結合律為一個觸點，在此觸點中誕生一個新的生長點的效果。并提出了新的問題，設置了新的懸念，把學生的學習活動引向更深的思考，使學生不斷地去探索、去追求。）

五、課堂總結，拓展提升

1.今天你有什么收獲？

2.小結：這節課我們學習了加法結合律，掌握了其運用方法。知識之間是可以遷移和類比的，學習本單元其他知識時，大家不妨多用用今天所學的方法。

（作者單位：浙江省衢州市新華小學）

編輯：張俐麗