太陽系中行星橢圓軌道運動的三個常量的探討

基金項目：本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第14期“系列微視頻模式下新教材高中物理實驗的開發(fā)和研究”（課題編號：2021JY14-L10）階段成果。

摘" 要：本文從橢圓軌道上繞日運動的行星與太陽的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積出發(fā)，推導(dǎo)得出橢圓軌道下與開普勒三定律相關(guān)的單位時間內(nèi)掃過的面積、軌道半長軸三次方與周期二次方的比值、行星運動的機械能三個常量的表達式。

關(guān)鍵詞：開普勒定律；面積速率；機械能

1" 問題的源起

在萬有引力部分的教學(xué)中，教師常常被學(xué)生問及有關(guān)以下三個常量的問題。

常量一：開普勒第二定律中單位時間內(nèi)掃過的面積；

常量二：開普勒第三定律中半長軸三次方與周期二次方的比值；

常量三：行星沿不同圓軌道和橢圓軌道運動的機械能。

日常教學(xué)中，教師往往會從勻速圓周運動這一特例的角度給出答案。但是學(xué)生并不滿足于此，會進一步提出問題：“那橢圓運動時結(jié)果改變嗎？”因此筆者認為有必要對三個常量進行進一步的計算，以便在學(xué)生提問時及時給出科學(xué)的答案。對于學(xué)有余力的同學(xué)，還可以在補充引力勢能表達式后，在老師的指導(dǎo)下進行推導(dǎo)和證明，以豐富和加深學(xué)生對于行星運動規(guī)律的認識。接下來，本文在萬有引力定律和開普勒三定律的基礎(chǔ)上對三個常量進行計算和推導(dǎo)。

2" 單位時間內(nèi)掃過的面積的推導(dǎo)

圖1

如圖1所示，在極短時間Δt內(nèi)行星走過的路程為Δl＝vΔt，軌跡近似為一段線段。Δt時間內(nèi)末位置和太陽的連線長度為r，連線與速度之間的夾角為θ，掃過的三角形面積（陰影部分）有

ΔS＝12Δlrsinθ，

故單位時間內(nèi)掃過的面積有

ΔSΔt＝12ΔlΔtrsinθ＝12vrsinθ；

在圓周運動軌道上有sinθ＝1，于是有

ΔSΔt＝12vr，（1）

根據(jù)萬有引力提供向心力有

GMmr2＝mv2r，

可得

v＝GMr；

代入（1）式有

ΔSΔt＝12GMr。（2）

（2）式是勻速圓周運動下得出的結(jié)論，那么如果是橢圓運動，結(jié)果又如何呢？為了方便計算，選取橢圓上的兩個特殊位置——近日點和遠日點進行計算，此時（1）式依然成立。

設(shè)橢圓軌道的長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，則有

b2＝a2－c2＝（a＋c）（a－c），

行星位于近日點時到太陽的距離為r1＝a－c，行星位于遠日點時到太陽的距離為r2＝a＋c。在近日點和遠日點單位時間內(nèi)掃過的面積相等，根據(jù)（1）式，有

12v1（a－c）＝12v2（a＋c）。（3）

若取無窮遠處勢能為零，太陽質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，則行星到太陽距離為r時引力勢能為［1］

Ep＝－GMmr。（4）

根據(jù)機械能守恒可知近日點和遠日點機械能相等，即

12mv21－GMma－c＝12mv22－GMma＋c。（5）

根據(jù)（3）式用近日點速度表示遠日點速度并代入（5）式可得

v1＝GM（a＋c）2ab2。（6）

將（6）式代入（1）式的近日點部分（左邊）有

ΔSΔt＝12GM·b2a。（7）

對比（2）式可以發(fā)現(xiàn)，當a＝b＝r時二者相同。由此可見，橢圓軌道上繞日運動的行星與太陽的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積和橢圓軌道的長軸和短軸均有關(guān)，如果運行軌道為圓周軌道，那么只和半徑有關(guān)。

3" 半長軸三次方與周期二次方的比值的推導(dǎo)

當行星圍繞太陽做勻速圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力可知

GMmr2＝mr4π2T2，

移項后可得

r3T2＝GM4π2。（8）

這是勻速圓周運動下的結(jié)果，由于其中并不包含圓周軌道相關(guān)的物理量，所以在橢圓軌道下應(yīng)該有完全一致的結(jié)論。根據(jù)橢圓面積S＝πab以及前文結(jié)論（7）式，可得橢圓軌道運動的周期為橢圓面積除以單位時間內(nèi)掃過的面積，即

T＝πab12GMb2a＝2πa3GM。（9）

（9）式平方后移項可得a3T2＝GM4π2，因此可以證明橢圓軌道運動的比值和勻速圓周運動的相同。同時可知，行星在橢圓軌道繞日運動的周期只和軌道長軸有關(guān)，與短軸無關(guān)。

4" 行星運動的機械能的推導(dǎo)

行星圍繞太陽做半徑為r的勻速圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力可得

Ek＝12mv2＝GMm2r，（10）

根據(jù)前文提及的引力勢能表達式（4）可知，行星的機械能為

E＝GMm2r－GMmr＝－GMm2r；（11）

（11）式是勻速圓周運動下的結(jié)論。對于橢圓運動，為了方便起見，還是選擇近日點和遠日點進行計算。設(shè)r1＝a－c，r2＝a＋c，將 （3）（5）兩式聯(lián)立可表示為

v1r1＝v2r2，（12）

E＝12mv21－GMmr1＝12mv22－GMmr2；（13）

根據(jù)（13）式有

E＋GMmr1＝12mv21，

E＋GMmr2＝12mv22；

兩式相除有

E＋GMmr1E＋GMmr2＝v21v22，（14）

根據(jù)（12）式有

v21v22＝r22r21，（15）

將（14）（15）式聯(lián)立，有

E＋GMmr1E＋GMmr2＝r22r21，

求解可得機械能表達式

E＝－GMmr1＋r2，

根據(jù)r1＝a－c和 r2＝a＋c，可得

E＝－GMm2a。（16）

和（11）式對比，根據(jù)橢圓軌道機械能公式計算勻速圓周運動的機械能只需將半長軸a換為半徑r即可。同時可知，對于確定質(zhì)量的行星而言，其在橢圓軌道繞日運動的機械能只和軌道長軸有關(guān)。

5" 結(jié)語

本文通過推導(dǎo)得出：

（1）行星與太陽連線在單位時間內(nèi)掃過的面積ΔsΔt=12GMb2a，和橢圓軌道的長軸和短軸均有關(guān)，如果為圓周軌道那么只和半徑有關(guān)。

（2）無論是圓軌道還是橢圓軌道均有a3T2＝GM4π2，行星在橢圓軌道繞日運動的周期T＝2πa3GM，只和軌道長軸有關(guān)，與短軸無關(guān)。

（3）對于確定質(zhì)量的行星而言，其在橢圓軌道繞日運動的機械能E＝－GMm2a，只和軌道長軸有關(guān)。

本文的推導(dǎo)過程相對基礎(chǔ)，適合高中學(xué)有余力的同學(xué)和參加物理競賽的同學(xué)學(xué)習使用，有利于加深同學(xué)們對行星繞日運動規(guī)律的認識。

參考文獻

［1］陳世波，張力，戴祖誠.大學(xué)物理學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2013：74-75．