含多個副線圈的理想變壓器等效電阻推導及論證

摘" 要：

理想變壓器的相關知識是高考常考內容，其中含有多個副線圈的理想變壓器的動態變化問題較為復雜。本文主要通過分析含有一個副線圈的理想變壓器的等效思路，進而探究含有兩個副線圈的理想變壓器的等效方法并給出數學證明，找到等效規律，并推廣到含有多個副線圈的理想變壓器的普遍情況。

關鍵詞：

理想變壓器；等效電阻；多個副線圈

理想變壓器的相關知識是高考常考內容，其中含有多個副線圈的理想變壓器的動態變化問題較為復雜。等效思路在解決含有一個副線圈的理想變壓器問題中，使問題變得非常簡單，對于含有兩個及兩個以上副線圈的理想變壓器，教材與大部分教輔資料都沒有明確指出等效電路是串聯關系還是并聯關系，只是根據功率相等給出了電壓關系和電流關系，用這些關系去解題仍非常麻煩，容易出錯。［1］本文主要是探究含有多個副線圈的理想變壓器問題中的等效規律，以便快速解決復雜問題。

1" 含有一個副線圈的理想變壓器的等效電阻

在如圖1（a）所示的含理想變壓器的交流電路中，虛線框內的電路部分可等效為圖1（b）中的電阻R0。設原、副線圈匝數比n1n2＝k，副線圈的電阻為R，則等效電路的等效電阻R0＝k2R。［2］

圖1

2" 含有兩個或兩個以上副線圈的理想變壓器的等效電阻

圖2

含有兩個副線圈的情況（如圖2所示），如果能找到等效電路的話，那問題就會得以簡化。那么，兩個副線圈的等效電阻是并聯關系，還是串聯關系呢？

2.1" 猜測

兩個副線圈看似并聯，于是我們大膽猜測等效電路是并聯電路。

2.2" 推導證明

將圖2中原線圈用電阻R等代替（如圖3所示），由閉合電路歐姆定律可知U1＝I1R等。

圖4

圖3中理想變壓器原線圈的功率關系可表示為P1＝P等＝I21R等，副線圈的功率為P2＋P3＝U22R2＋U23R3＝U1n2n12R2＋U1n3n12R3＝I1R等n2n12R2＋I1R等n3n12R3，

且P1＝P等＝P2＋P3，化簡得1R等＝1n1n22R2＋1n1n32R3，形式與并聯電路中總電阻與各支路電阻的關系式一樣，即可認為等效電路是阻值分別為n1n22R2與n1n32R3的兩個電阻并聯（如圖4所示）。

那么從功率的角度看，該推導證明是否正確呢？

由圖3可得P2＝U1n2n12R2，P3＝U1n3n12R3，

由圖4可得P′2＝U21n1n22R2，P′3＝U21n1n32R3，聯立可知P2P3＝n22R3n23R2＝P′2P′3。

以上推導說明含有兩個副線圈的理想變壓器，其等效電路就是將兩個阻值分別為n1n22R2與n1n32R3的電阻并聯。

2.3" 討論U2與U′2、U3與U′3、I2與I′2、I3與I′3的關系

由圖2可知U2＝n2n1U1，由圖4可知U′2＝U1，則U′2U2＝n1n2U′2＝n1n2U2。

同理可知U3′＝n1n3U3。

由圖2可知I2＝n2n1U1R2，由圖4可知I′2＝U1n1n22R2，則I′2I2＝n2n1I′2＝n2n1I2。

同理可知I′3＝n3n1I3。

2.4" 推廣

若理想變壓器滿足如圖5（a）所示情況，則可等效成如圖5（b）所示電路，且滿足R′k＝n21n2kRk，I′k＝nkn1Ik，U′k＝n1nkUk（k≥2）。

圖5

3 "典型例證

如圖6所示，理想變壓器副線圈有兩個繞組，原線圈左側a、b端接有輸出電壓有效值恒定的正弦式交變電流，電路中所接五個燈泡規格一樣，開關S閉合時，五個燈泡的亮度相同。若不考慮燈泡電阻的變化，則（" ）。

圖6

A. 線圈匝數之比為n1：n2：n3＝2∶1∶1

B. a、b兩端電壓有效值是L3兩端電壓有效值的5倍

C. S斷開后，L1、L2、L4變亮

D. S斷開后，L1變暗，L2 、L4變亮

試題解析：設每個燈泡電阻均為R，利用等效思維將原電路等效成為如圖7所示的電路圖。

圖8

圖6中五個燈泡的亮度相同，功率相同，則可知n2＝n3，可以進一步等效成如圖8所示的電路圖。

由功率關系可知P等＝4PL1，且L1與L等串聯，可得n1n2＝41，即L等電阻為L1電阻的4倍。

根據串聯電路歐姆定律可知U1＝45U0，再根據電壓比例關系可知L3兩端電壓為U05，A錯誤、B正確。S斷開后，等效電阻變大，通過L1的電流變小，L1變暗，U1變大，則可知L2 、L4變亮，C錯誤、D正確。用這個思路很快得到答案為B、D。

在高中物理中，應用等效電阻法分析理想變壓器的電路問題，無論副線圈有幾個，無論原線圈中是否有電阻，等效后的電路都相當于是多個阻值分別為n1n22R2、n1n32R3、…、n1nkRk

的電阻并聯。這樣的等效方法使復雜的問題變得簡單，幫助學生直觀、便捷、準確地找到解題的關鍵，提高解題能力。

參考文獻

［1］段石峰. 兩種等效法解決含理想變壓器的交流電路問題［J］.物理教學，2023，45（1）：56-59．

［2］呂俊君. “等效負載法”與“等效電源法”解決變壓器問題的優越性［J］.物理教學，2021，43（9）：49-52．