不等長金屬雙棒切割磁感線問題的分析與討論

摘 要：在勻強(qiáng)磁場中，兩根不等長金屬棒垂直導(dǎo)軌放置，其中一根具有垂直于磁場的初速度或受到恒力作用，分別就這兩類模型分析兩金屬棒的動力學(xué)特征以及整個回路的電學(xué)特征，并對結(jié)果進(jìn)行必要討論。

關(guān)鍵詞：不等長金屬雙棒；切割磁感線；定量分析

電磁感應(yīng)中的導(dǎo)軌/雙棒復(fù)合結(jié)構(gòu)（簡稱“雙棒模型”）問題是一類典型的電磁學(xué)與動力學(xué)相結(jié)合的綜合性問題，［1，2］其中不等長雙棒問題對學(xué)生思維能力的要求更高。本文分別以一根金屬棒具有初速度或受到恒力作用的兩類常見不等長雙棒模型為研究對象，通過構(gòu)建、求解雙棒的運動微分方程，結(jié)合函數(shù)圖像，在可視化的條件下探索其運動和電學(xué)特性，以期獲得不等長雙棒模型的一般規(guī)律，為解決此類復(fù)雜問題提供參考。［3］

1 金屬棒1有初速度的不等長雙棒模型如圖所示，光滑絕緣的水平桌面上固定兩根“Z型”導(dǎo)軌，導(dǎo)軌足夠長，忽略其電阻。在寬軌道部分有一金屬棒1，其質(zhì)量為m1，有效長度為l1，電阻為R1；在窄軌道部分有一金屬棒2，其質(zhì)量為m2，有效長度為l2，電阻為R2；整個空間存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。現(xiàn)給金屬棒1一個初速度v0，運動過程中兩金屬棒始終與導(dǎo)軌保持垂直和良好接觸，并且金屬棒1始終在寬軌道部分運動，分析兩金屬棒的運動特征及其回路的電學(xué)特征。

1.1 建模求解

金屬棒1開始運動，回路面積有變小趨勢，根據(jù)楞次定律分析可知，回路中產(chǎn)生逆時針方向的感應(yīng)電流。金屬棒1受到與v0方向相反的安培力作用，金屬棒2受到與v0方向相同的安培力作用而開始運動。兩金屬棒均切割磁感線，產(chǎn)生動生電動勢。若金屬棒1的速度為v1時，金屬棒2的速度為v2，則由閉合電路歐姆定律可得感應(yīng)電流的大小為

由圖3、圖4可知，回路電流隨時間減小得越來越慢，最終趨于零。因此通過金屬棒某一橫截面的電量隨時間增加得越來越慢，最終趨于一個定值。由（11）式，當(dāng)t→∞時，可得q∞＝m1m2l1v0（m1l22＋m2l21）B，q∞與回路電阻無關(guān)。

那么回路電阻影響了什么？觀察⑥～（11）式，可知這6個物理量都有一個關(guān)于e－kt的函數(shù)，其中k＝B2（m1l22＋m2l21）m1m2（R1＋R2），k的大小決定回路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時間，如圖5所示。比較不同電阻回路的i-t圖像，回路總電阻R越大，k越小，電流趨于零所需要的時間越長。

2 金屬棒1受恒力作用的不等長雙棒模型如圖1所示，在上述金屬棒1有初速度的不等長雙棒模型中，撤去給金屬棒1的初速度v0，改為給金屬棒1一個恒定外力F的作用，其他條件不變，分析兩金屬棒的運動特征及其回路的電學(xué)特征。

2.1 建模求解

與上一模型類似，回路中仍然產(chǎn)生逆時針方向的感應(yīng)電流。若金屬棒1的速度為v1時，金屬棒2的速度為v2，則由閉合電路歐姆定律可得感應(yīng)電流的大小為

2.2 結(jié)果討論

為了方便畫出函數(shù)圖像，賦值m1＝2kg，l1＝2m，R1＝2Ω，m2＝1kg，l2＝1m，R2＝1Ω，B＝5T，F(xiàn)＝1N，得到金屬棒各物理量隨時間變化圖像（如圖6、7、8、9所示）。

由圖6、圖7可知，金屬棒1做加速度逐漸減小的加速運動，穩(wěn)定狀態(tài)是趨近于勻加速直線運動；金屬棒2做加速度逐漸增大的加速運動，穩(wěn)定狀態(tài)也是趨近于勻加速直線運動。令（15）（17）式中t→∞，易得穩(wěn)定時a2∞＝Fl1l2m1l22＋m2l21，a1∞＝Fl22m1l22＋m2l21，穩(wěn)定時的加速度與磁場、回路電阻無關(guān)。由于l1＞l2，兩金屬棒的v-t圖像會有個交點，即共速；若l1＜l2，兩金屬棒不會有共速的機(jī)會，如圖8所示。

由圖9可知，回路電流隨時間增大得越來越慢，最終趨于一個定值。令（19）式中t→∞，易得穩(wěn)定時i∞＝Fm2l1B（m1l22＋m2l21），即最終通過金屬棒某個橫截面的電量均勻增加（如圖10所示）。

同樣地，我們發(fā)現(xiàn)（15）～（20）式中6個物理量都有一個關(guān)于e－kt的函數(shù)，其中k＝k2k1＝B2（m1l22＋m2l21）m1m2（R1＋R2），k的大小決定回路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時間，k與F無關(guān)。由圖11可知，比較不同電阻回路的i-t圖像可以發(fā)現(xiàn)，回路總電阻R越大，k越小，回路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時間越長。

3 結(jié)語本文通過解微分方程組，并對結(jié)果賦值畫出函數(shù)圖像，分別對不等長雙棒模型中的“一棒有初速度”和“一棒有恒力作用”兩類模型進(jìn)行了較為詳細(xì)的探索。結(jié)果表明：兩類模型的所有物理量都有一個關(guān)于e－kt的函數(shù)，當(dāng)函數(shù)中的t→∞時，e－kt＝0。模型1中兩金屬棒都做加速度逐漸減小的變加速運動，最終都做勻速直線運動，回路中的電流趨近于零，通過金屬棒某一橫截面的電量趨近于一個定值；模型2中，有恒力作用的金屬棒做加速度逐漸減小的加速運動，另一金屬棒做加速度逐漸增大的加速運動，最終分別趨近于做勻加速直線運動，回路中的電流趨近于一個定值，通過金屬棒某一橫截面的電量趨近于線性增大。值得注意的是，決定這兩個模型趨近于穩(wěn)定態(tài)的常數(shù)k＝B2（m1l22＋m2l21）m1m2（R1＋R2），由兩金屬棒的固有屬性（質(zhì)量、長度）電阻和磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度決定，與金屬棒的初始條件無關(guān)。

參考文獻(xiàn)

［1］滕文靜.電磁感應(yīng)中的“單雙桿問題”淺析［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2020，49（15）：63-64．

［2］肖云劍.電磁感應(yīng)之“雙棒模型”［J］.湖南中學(xué)物理，2019，34（12）：88-90．

［3］唐武建，高忠貴，張妙靜.基于高觀點的等距雙棒模型研究［J］.物理通報，2022（7）：92-95．