關于自制密度計和浮力秤刻度的思考

摘 要：對2021年和2023年北京市初中學業水平考試中出現的自制密度計和浮力秤的試題進行分析，利用浮沉條件理論推導密度計刻度間距與液體密度之間的關系和浮力秤刻度間距與物體質量之間的關系，尋找刻度特點，進而突破考生做題過程中的難點。

關鍵詞：學業水平考試；密度計；浮力秤

2021年和2023年北京市初中學業水平考試中出現的自制密度計和浮力秤的試題，在中考中屬于難題，其綜合性比較強，思維含量比較高。［1］如果考生在平時學習中沒有學習過或見過密度計或浮力秤，在考試的過程中對這樣的題就會感到陌生而不知道如何入手。而自制密度計和自制浮力秤的原理都是利用物體漂浮狀態時浮力等于重力。［2］然而，為什么密度計的刻度是不均勻的，而浮力秤的刻度卻是均勻的呢？本文從密度計和浮力秤的原理入手，利用物體的浮沉條件推導密度計的刻度間距與液體密度間的關系以及浮力秤的刻度間距與物體質量間的關系，進而給自制的簡易密度計或浮力秤標上刻度并研究其刻度特點。本文主要研究以下問題：刻度是否均勻？刻度自下而上對應的密度值或質量值大小如何變化？如何增大兩相鄰刻度間的間距進而減小誤差？

1 試題的呈現與分析例1 （2021年北京市初中學業水平考試第12題）測量工具為我們的工作和生活帶來了極大的便利，而成功制作測量工具需要科技人員的創造性勞動。小慧通過自制密度計體驗動手與動腦相結合的勞動過程。她在粗細均勻的木棒一端纏繞一些細銅絲制成簡易密度計（未標刻度）。該密度計放在水和酒精中時均豎直漂浮，露出液面的長度用L表示（如圖所示）。已知酒精的密度為0.8g/cm3，水的密度為1.0g/cm3。為了給簡易密度計標刻度，小慧將該密度計放入酒精中，密度計靜止時L為6cm，她在密度計上距頂端6cm處標記刻度線，該刻度線對應的密度值為 0.8g/cm3。小慧將該密度計放入水中，密度計靜止時L為 8cm，她在密度計上距頂端8cm處標記刻度線，該刻度線對應的密度值為1.0g/cm3。利用上述數據，可計算出該密度計上對應密度值為1.25g/cm3的刻度線到密度計頂端的距離為（忽略銅絲的體積）（ ）。

A. 9.2cm B. 9.6cm C. 10cm D. 10.4cm

例2 （2023年北京市初中學業水平考試計算第26題）某科技小組的同學想制作一個簡易浮力秤來測量物體質量。他們剪掉空塑料瓶的瓶底，旋緊瓶蓋，在瓶蓋上系一塊質量適當的石塊，然后將其倒置在水桶里，當瓶中不放被測物體靜止時，在瓶上與水面相平位置標記為零刻度線，再在瓶身上均勻標記其他刻度線，左側標記的是長度值，若在刻度線右側標上相應的質量值，即可做成一個簡易浮力秤，如圖所示。已知零刻度線以上瓶身粗細均勻，其橫截面積為50cm2，不放被測物體時浮力秤的總質量為170g，水的密度為1.0g/cm3，g取10N/kg。

（1）畫出圖中浮力秤的受力示意圖。

（2）求圖中所示狀態浮力秤受到的浮力。

（3）求浮力秤上2cm刻度線對應的質量值。

試題分析：制作簡易密度計和制作簡易浮力秤都是考查學生運用二力平衡、浮沉條件、阿基米德原理等相關知識分析、解決實際問題的能力，引導學生體驗物理學科的應用價值。在制作過程中滲透動手與動腦相結合的方法，在收集實驗數據的基礎上，學生運用所學知識推算液體密度或物體質量與測量儀露出液面距離的定量關系，進而可以給密度計或浮力秤標上刻度。綜上，密度計的題是尋找液體密度所對應的刻度線，而浮力秤的題是尋找物體質量所對應的刻度線，兩道題的核心都是給測量儀標刻度。

2 如何標刻度當自制的密度計或浮力秤能在液體中豎直漂浮時，如何標上刻度呢？最簡單的方法是將自制密度計放到已知密度的液體中，利用物體浸入液體的深度來顯示密度的大小，液體密度越小，密度計浸入液體的深度越深。

例如，我們已知酒精的密度為0.8g/cm3，水的密度為1.0g/cm3，可以將密度計放入水中，密度計豎直靜止時，與液面相平的位置標上1.0g/cm3的刻度線；再將密度計放入酒精中，密度計豎直靜止時，與液面相平的位置標上0.8g/cm3的刻度線。用相似的方法還可以標上其他液體密度的刻度線。同樣，我們也可以將自制的浮力秤放入水中豎直漂浮后，標上零刻度線，然后不斷地向浮力秤中加入已知質量的物體，在與液面相平的位置標上對應的質量刻度值。但在實際制作的過程中，我們并沒有那么多已知密度的液體，也不知道刻度是否均勻，是否能將兩刻度之間的間距平均取更小的分度值。因此，需要推導出測量儀浸入到液體中的深度與液體密度或物體質量之間的關系，進而標刻度。

2.1 給自制密度計標刻度

將如圖1所示的自制密度計浸入到水和其他液體中時，設自制密度計浸入到水中的體積為V排水，浸入到其他液體中的體積為V排液，密度計的質量為m，密度計的橫截面積為S。

2.2 給自制浮力秤標刻度

設如例2中圖1所示的自制浮力秤（未標刻度）的質量為m0，浸入到水中的體積為V排0，向浮力秤中加入質量為m的物體時，浸入到水中的體積為V排，浸入到水中的深度變化為Δh，浮力秤的橫截面積為S。

因此加入質量為m物體的浮力秤與不放物體的浮力秤浸入到水中的間距Δh滿足Δh＝mρ水S。（18）

因此，我們可以將不放物體的浮力秤放入水中豎直漂浮時，在瓶上與水面相平位置標記為零刻度線，然后根據關系式（18）計算出質量為m的物體所對應的間距Δh，進而在塑料瓶上標上相應的質量刻度值。浮力秤的刻度自下而上質量值越來越大。

3 刻度是否均勻

3.1 密度計刻度不均勻，呈上疏下密的特點

將關系式⑧簡化可得Δh＝mρ液S－mρ水S，從該關系式中可以看出，當ρ液增大時，Δh減小，且 Δh減小得越來越緩慢，因此密度計刻度自上而下密度越來越大，且刻度不均勻，呈現上疏下密的特點。通過關系式⑧可知，增加密度計的質量或減小密度計的橫截面積能增大兩刻度間的間距，進而減小測量的誤差。

3.2 浮力秤刻度均勻

根據關系式（18）可知，Δh與m成正比，當m增大時，Δh均勻增加，因此浮力秤刻度自下而上質量值越來越大，且刻度均勻。同時可以通過減小浮力秤的橫截面積來增大兩刻度間的間距，進而減小測量誤差。

4 總結自制密度計是測量液體密度的工具，自制浮力秤是測量物體質量的工具，雖然測量的物理量不同，但都是利用物體處于漂浮狀態時浮力等于重力的原理去推導刻度間距與測量的物理量之間的關系。自制密度計是以水面處的刻度為基準。通過推導水面刻度和其他液面刻度之間的間距與液體密度的關系，可以發現間距與液體密度不成正比關系。因此，自制密度計的刻度是不均勻的。而自制浮力秤是以不放物體時的水面刻度為基準。通過推導加入物體的浮力秤與不放物體的浮力秤浸入到水中的間距與物體質量的關系，可以發現間距與物體質量成正比。因此，自制浮力秤的刻度是均勻的。

初中物理涉及密度計、浮力秤，還涉及溫度計、彈簧測力計、桿秤等測量工具。我們可以利用物理原理去推導刻度間距與測量物理量之間的關系，進而給測量工具標上刻度。若推導出的關系式中間距與測量物理量成正比，則刻度是均勻的；若不成正比，則刻度是不均勻的。同時，我們還能從關系式中看出影響刻度間距的因素，進一步通過影響因素改進測量工具，提高測量工具的精確度。

想突破學生在考試過程中自制測量工具題型的難點，我們還需要將理論與實踐相結合。在教學中我們可以帶著學生自制測量工具，引導學生經歷測量工具的設計與制作過程，理解其工作原理，在學習的過程中發展學生綜合運用知識的能力、分析和解決問題的能力以及動手操作的實踐能力。以自制簡易密度計為例，在教學中，教師可以將自制簡易密度計分解成多個任務：①如何利用提供的實驗器材（用氣凝膠封底的塑料吸管、小鋼珠、裝有水的量筒）自制一個能在水中豎直漂浮的簡易密度計？②如何給密度計標刻度？③圍繞密度計的刻度特點提出改進密度計精確度的建議，并用實驗驗證建議的可行性，從而使測量結果更準確。④展示作品，利用自制密度計測量一些常見液體的密度。

學生圍繞任務，通過小組合作的方式，利用所學知識解決問題。教師在教學中，引導學生以解決問題為主線，以合作探究為基礎，以產品設計制作為出發點，通過作品展示和交流體現學生掌握知識和技能的情況，使學生在參與項目和解決問題為基礎的學習活動中，綜合運用知識來解決問題，從而培養學生的批判性思維、協作意識、創造能力、創新精神和解決問題的能力，進而解決中考物理難題。

參考文獻

［1］黃坤，胡森.一道中考“密度計”問題的新思考［J］.數理化學習（初中版），2021（12）：45-46．

［2］季衛新.幾個有關“密度計”問題的探討［J］.物理教師，2015，36（1）：41-43．

*基金項目：本文系北京市教育學會“十四五”教育科研課題2021年度一般課題“基于泛在學習環境下的初中學生物理實驗能力培養的實踐研究”（課題編號：CYYB2021-439）的成果。