基于PBL教學法的線性代數教學實踐研究

摘要：在我國目前線性代數教學中，傳統講授法仍為主要教學模式，這種模式有其明顯的優勢但也有不足之處。PBL教學是以構建主義和認知主義為理論基礎，以“學生為中心”的教學理念，能夠彌補傳統教學模式的不足。本文以線性代數課堂為例，讓學生設計加密矩陣，探索PBL教學法的實踐應用。將PBL教學法與傳統教學模式相結合，提高教師的跨學科科研能力，尊重學生的發言權和選擇權，對提高線性代數教學質量具有積極意義。

關鍵詞：PBL教學法；線性代數教學；實踐研究

Researchontheteachingpracticeof

linearalgebrabasedonPBLteachingmethod

ChenShanshanMaRunnianDuYongguang

Xi’anEurasiaUniversityShaanxiXi’an710065

Abstract：InthecurrentlinearalgebrateachinginChina，thetraditionalteachingmethodisstillthemainteachingmode，which?;hasitsobviousadvantagesbutalsoitsshortcomings.PBLteachingisbasedonconstructiondoctrineandcognitivism，andtakesthe"studentcentered"teachingconcept，whichcanmakeupforthedeficiencyofthetraditionalteachingmode.Inthispaper，takinglinearalgebraclassasanexample，letstudentsdesignencryptionmatrixandexplorethepracticalapplicationofPBLteachingmethod.CombiningPBLteachingmethodwithtraditionalteachingmodetoimproveteachers'interdisciplinaryscientificresearchabilityandrespectstudents'voiceandchoiceisofpositivesignificancetoimprovetheteachingqualityoflinearalgebra.

Keywords：PBLteachingmethod;Linearalgebrateaching；practicalresearch

一、線性代數教學現狀

線性代數是大部分學生在本科教育階段的數學類必修課之一，對學生學好后續專業課以及未來發展至關重要。學生們普遍認可大學數學對個人發展的積極作用，有學好數學的動機。但是，現實情況是學生想要在數學課上取得好的成績存在諸多困難。比如課堂上跟不上教師講課的節奏，課后自學效率低下，從而喪失學習信心，甚至產生負面影響，最終導致期末考試掛科。從教與學的角度來看，目前現狀和存在的問題如下。

第一，線性代數是一門基礎數學課程，不僅具有數學課共有的抽象性和邏輯性的特點，而且相比于高等數學來說，線性代數更加抽象化和公理化，其中邏輯推導較多［1］。由于學生在日常生活和社會實踐鮮有數學思維訓練的機會，因此對這種公理化知識體系感到陌生，知識運用技巧較為生澀，學習方法不得要領。

第二，由于線性代數具有公理化的特點，傳統授課式的教學方法有其優勢，因此教師在課堂上普遍采用講授法。當講授法廣泛應用于課堂教學時，它的缺點就凸顯出來。一方面，學生聽起來感覺單調枯燥，沒有興趣，難以集中注意力，低頭現象經常發生。另一方面，知識理論和實際應用是割裂的，學生對該知識有什么用感到非常困惑，也就難以激發學習的動力。

第三，線性代數一般是大一新生的必修課，大一是高中階段到大學階段的過渡期。大一學生剛經過高考前的備考沖刺，以應試教育為主是客觀情況。教師會在課堂上講解習題、總結題目類型和傳授解題技巧等。然而，高等教育具有高深的知識和學術自由的屬性，這就對學生獨立自主學習能力提出了更高要求。在高中和大學的銜接過程中，大部分學生需要有一個磨合適應的過程。事實上，第二學期的線性代數課程成績比第一學期的高等數學課程成績好，這種情況較為普遍。

基于以上教學中存在的實際問題，大學數學課程的教學改革探索勢在必行。

二、PBL教學法

PBL是“ProjectBasedLearning”的簡寫。在國內，也被稱為“項目式教學法”。PBL教學法是由美國神經病學教授Barrow首次提出來的。1969年，Barrow教授在臨床醫學的教學中應用PBL教學法大獲成功。1993年，在世界醫學教育高峰會議上，PBL教學法在全世界范圍內被廣泛推薦。PBL教學法是基于“以學生為中心”的教學理念，以解決現實世界中真實的問題為導向，學生們采用小組討論的形式圍繞問題收集資料、發現問題和解決問題的一種教學模式［2］。教師在教學過程中僅僅起到引導和支架的作用。

PBL教學法的教學理論基礎是認知主義和構建主義。認知主義認為學習是內發的、主動的和整體性的，最具代表性的是布魯納的發現學習理論和加涅的信息加工理論。構建主義強調學習的主動構建性、意義性、情境性和內隱性，最具代表性的是維果斯基的“最近發展區”理論。因此PBL教學法繼承了認知主義和構建主義的優勢和劣勢。

PBL教學法的優點主要體現在：以學生為中心，強調學生是教學活動的核心，重視學生的主觀能動性；為當今的教育教學改革實踐注入了新的活力，為指導教育實踐具有十分積極的作用。

PBL教學法的不足主要體現在：夸大了學生的能力，對學生已有的經驗期望過高，適用于低年級和應用型知識的教學；過分強調知識學習的相對性、情景性以及認知靈活性，否認學習的共同性、客觀性和系統性；還沒有被高等教育實踐證明是有效的科學方法［3］。

本文以線性代數課程的一次教學實踐為例，探討如何在高等數學這類理論性較強的課程中應用PBL教學法提高教學效果。

三、PBL教學法教學實踐

本文選取線性代數課程中的“矩陣的初等變換”這一節，參考教材是高等教育出版社同濟版《工程數學線性代數》，采用講授法和PBL教學法相結合的授課方式。對“初等變換求解逆矩陣”的教學內容采用PBL教學法，其余內容采用講授法。PBL項目以某場戰役為背景，要求學生設計密鑰，實現一次完整的信息加密和解密的過程。在完成項目的過程中，學生將需要運用初等矩陣和逆矩陣相關的知識設計一個獨有的可逆矩陣，再應用矩陣乘法對信息加密，最后運用求解逆矩陣的方法完成對信息的解密過程。學生將綜合運用初等矩陣相關的知識，并對知識是如何解決現實世界的真實問題有直接感受。教學過程按照“創設情境、提出問題、創新合作、成果展示”四個環節組織實施。

第一步，創設情景。教師在課堂上引入項目設定的背景。古今中外，信息安全一直扮演著非常重要的角色。從中國古代的虎符，到今天的區塊鏈技術，以及未來的量子信息，都與信息安全息息相關。讓同學們觀看與信息安全內容相關的影片，在某場戰役中信息加密起到了至關重要的作用。把同學們帶入預設的場景中，提高學生參與項目的興趣。在這個情景設定下，學生們需要角色扮演對戰的雙方，設計加密矩陣，以加密的方式完成一次信息傳遞的全過程。教師組織學生進行分組，每組六個人，其中三個同學扮演信息的發送方，另外三個同學扮演信息的接收方。

第二步，提出問題。信息加密的方法有很多種，其中一種加密方法稱為希爾密碼，用到了逆矩陣相關的知識。希爾密碼中的同余相關的知識點超出了線性代數的教學內容范圍，刪除這部分內容以控制項目實施的難度。發送方完成信息加密，基本步驟為：（1）設定信息：確定需要發送的信息，比如“Iloveyou”“attackistonight”等；（2）信息編碼：將文字轉化為數字，稱為明文；（3）設計密鑰：設計一個可逆矩陣，稱為密鑰，并把密鑰只能告訴信息的接收方；（4）信息加密：用密鑰對明文進行加密，利用矩陣乘法計算得到密文；（5）發送信息：將密文發送給接受方。接受方完成信息解密，基本步驟為：（1）獲取密鑰：從信息的發送方那里獲得密鑰，這是破解密文的關鍵，不能泄漏給對方。（2）接收信息：接收到的信息是接受方加密過的信息；（3）計算密鑰：計算密鑰的逆矩陣。（4）信息解密：利用矩陣乘法運算將密文破解為明文。（5）信息解碼：明文是數字，要看懂信息還需要將數字解碼成文字。在這個過程中，學生需要決定發送信息的內容、查找相關資料、選擇編碼方式、研究逆矩陣和初等矩陣的關系、設計逆矩陣、掌握矩陣求逆的方法，鍛煉團隊合作和溝通能力等。

例：假設要發送的信息是“you”。可以設計編碼方式為26個英文字母依次對應到數字：

將數字對應到字母表，所發送信息為you。

第三步，創新合作。在學生實施的過程中，教師觀察每組學生的情況，及時給予支持和指導。需要教師重點關注的有：提醒學生希爾加密中不考慮同余；編碼設計中數字和字母能夠一一對應；密鑰設計中描述如何利用初等矩陣得到一個可逆矩陣；可逆矩陣的維數不要太高，矩陣元素盡量是整數，否則在解密過程中計算量太大，建議發送者和接受者一起設計密鑰等。

第四步，成果展示。學生以論文的形式提交項目成果，并在班級內部進行分享。學生們在論文中展示了豐富的創造性和個性化的內容。第一類創新點是項目背景，學生們喜歡對項目背景進行改編以抒發自己的情感。有的將項目背景改為表達自己的愛國情懷的內容，體現了課程思政的元素；有的將項目背景設定為紀念同學們的從不認識到成為彼此信任的同伴的友情；還有一個團隊創作了一個關于同學之間互相鼓勵學習的感人故事。第二類創新點是加密矩陣的階數。有的學生對信息進行分組，每3個字母一組，那么只需要一個三階矩陣，從而達到對矩陣降階的目的。有的學生將信息編碼成矩陣，加密時兩個矩陣相乘，大大提高計算效率，體現了矩陣乘法的效用。還有學生設計四階分塊矩陣，降低了求解逆矩陣的難度，靈活運用了課本上的知識。

四、總結

目前PBL教學法已經引起廣大教師的關注，越來越多的大學數學教師嘗試將PBL教學法應用于教學實踐。PBL教學法以解決實際問題為目標，以學生為中心的教學理念，強調學生團隊合作的重要作用。這種全新的教學模式恰好能夠彌補傳統授課式課堂的不足之處。通過完成項目，學生能夠理解理論知識是如何在現實生活中應用的。在教師的引導下，學生有機會鍛煉獨立思考和自主學習的能力。通過團隊合作和同輩交流，學生更容易進入專注學習的狀態中。同時，滿足了大一新生的社交需求，幫助他們更快融入大學生活，有利于培養積極的心理和人格。本文通過一次教學實踐總結了在線性代數課堂中使用PBL教學法時應注意的問題，供廣大同行參考。

（一）PBL教學中應尊重學生的發言權和選擇權［4］

PBL教學法是以“學生為中心”的教學理論，因此教師設計項目時應盡量設計開放性問題，給學生留有創造性發揮的空間，充分尊重學生的發言權和選擇權。有利于激發學生的興趣，鼓勵學生參與投入項目中。最終通過開放性問題，學生可以充分展示自我，有利于培養學生的創造性思維和批判性思維。這也是符合目前高等教育注重培養學生核心素質的價值觀。

（二）教師應注重提高跨學科研究的能力

項目設計是PBL教學法的靈魂，一個好的項目設計，能夠激發學生的興趣，引發學生沉浸式學習，培養學生綜合運用學科知識解決現實問題的意識。教師在設計項目時，需要有意識地將學科知識和真實問題有機融合為一個整體。要把數學理論和有趣的真實問題結合起來，設計出能吸引學生的興趣，又能緊密結合教學目標的PBL項目，對教師的科研能力和教學能力都提出了較高的要求。線性代數教師應提高跨學科研究能力，不斷學習前沿科學，了解線性代數知識在其中的應用，能夠進一步對問題進行簡化或轉變，這樣才能設計出吸引學生的真實場景的問題。

（三）PBL教學法應同傳統教學模式相結合

PBL教學法雖然能彌補傳統講授式課堂的不足，但是PBL教學法完全替代講授法是不可能的。PBL教學法雖然在世界范圍內的基礎教育階段大獲成功，但是在高等教育階段，尤其是數學類課程中的教學效果還沒有得到實踐的驗證。基于我國目前高等本科教學的現實情況，教師需要按照教學計劃在一學期內完成規定的教學任務，完全采用PBL教學法是不現實的。因此，教師可以選擇一部分教學內容采用PBL教學法。如果遇到學生第一次接觸PBL項目，不知道如何進行時，教師可以設計全班步調一致的項目，幫助學生盡快投入項目中。

參考文獻：

［1］葉薇薇，儲亞偉.“新工科”建設背景下基于PBL的高等數學教學實踐——以“洛必達法則”為例［J］.洛陽師范學院學報，2023，42（05）：8689.

［2］張俊，馬明溪.PBL教學法在線性代數教學中的應用問題研究［J］.現代職業教育，2020（40）：1415.

［3］段海軍，藺素琴.教育心理學［M］.西安：西北大學出版社，2021.

［4］王崢嶸.教師項目式教學能力發展研究［M］.西安：陜西師范大學出版總社，2022.

基金項目：陜西省教育科學“十四五”規劃2023年度一般課題項目：“以學生為中心”的應用型人才數理思維培育研究（項目編號：SGH23Y2803）

作者簡介：陳姍姍（1985—），女，漢族，陜西渭南人，碩士，助教，研究方向：高等數學教育。