利用定積分定義求極限的方法小結

摘要：定積分是用和式的極限定義的，反過來這類和式的極限也可以用定積分定義來計算.而用定積分定義求極限也是數學競賽和考研的高頻考點，并且近幾年的題型求解難度大，結構復雜.用定積分定義求極限，關鍵是如何從極限表達式中確定積分上下限和被積函數.本文根據極限表達式的三種常見類型，總結了極限的計算步驟以及快速確定積分上下限和被積函數的公式，并舉出近幾年的數學競賽和考研的真題介紹如何應用這些方法技巧，使得計算簡單化.

關鍵詞：定積分；極限；被積函數

定積分定義是高等數學的重點也是難點，用定積分定義求極限也是數學競賽和考研的重要考點，而且近幾年的題型求解難度大，結構復雜.本文總結了定積分定義求極限的常見類型，并給出了求解步驟及公式，方便快速確定被積函數和積分上下限，從而更易求出和式極限.

一、定積分定義求極限的常見類型

定積分是用極限定義的：∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1f（ξi）Δxi［1］.（不妨設a<b，本文下同.）而當f（x）在［a，b］上可積時，∫baf（x）dx與區間的分法和ξi的取法無關，故由定義計算定積分時，為了計算簡便，通常將［a，b］n等分，小區間長度Δxi=b-an，而ξi常取為小區間右端點a+in（b-a）（1in），∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1f（ξi）Δxi=limn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an.

反過來，也可以用定積分來求上式右端這類和式的極限.而在競賽或考研試題中，這類極限常見的表達式一般有三種類型，以下以n等分為例給出三種類型能直接用定積分求解的標準表達式：

（1）limn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an

相當于ξi=a+in（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小區間的右端點的情況；

（2）limn→∞∑ni=1fa+i-1n（b-a）b-an

相當于ξi=a+i-1n（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小區間的左端點的情況；

（3）limn→∞∑ni=1fa+2i-12n（b-a）b-an

相當于ξi=a+2i-12n（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小區間的中點的情況.

上述三種極限最終都等于∫baf（x）dx.

一般能用定積分定義求解的常見類型基本都可以通過恒等變形轉化為上述標準類型之一.

二、定積分定義求極限的步驟及公式

用定積分定義求極限，關鍵是如何從極限表達式中確定積分上下限和被積函數.本文根據極限表達式的常見類型，總結了如下極限計算的步驟及確定積分限和被積函數的公式：

（1）根據極限表達式的特征，先將其整理成如下三種形式之一：

形式一：（1）limn→∞∑ni=1f（C1+inC2）C3n（含in）；

形式二：（2）limn→∞∑ni=1f（C1+i-1nC2）C3n（含i-1n）；

形式三：（3）limn→∞∑ni=1f（C1+2i-12nC2）C3n（含2i-12n）；

其中C1、C3均為常數，C2是某個正數.

注：無論整理成上述哪種形式，和式的每一項都是兩項乘積，一個與in有關的表達式；一個是1n的常數倍，且與i無關.

（2）確定積分上下限：

形式一中fC1+inC2對應標準類型（1）中的fa+in（b-a），即有a+in（b-a）=C1+inC2，從而推出積分上限a=C1，積分下限b=C1+C2；

同理，形式二中fC1+i-1nC2對應標準類型（2）中的fa+i-1n（b-a），形式三中fC1+2i-12nC2對應標準類型（3）中的fa+2i-12n（b-a），由此均可確定積分上下限的值；

（3）確定被積函數：

根據fC1+inC2或fC1+i-1nC2、fC1+2i-12nC2的表達式確定被積函數f（x）；

（4）確定Δxi：

Δxi=b-an，故C3n=C3b-a·b-an.

（5）確定定積分表達式：

（1）limn→∞∑ni=1fC1+inC2C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx；

（2）limn→∞∑ni=1fC1+i-1nC2C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+i-1n（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx；

（3）limn→∞∑ni=1f（C1+2i-12nC2）C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+2i-12n（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx.

（6）計算定積分.

三、定積分定義求極限實例分析

以下以ξi分別取小區間右端點、左端點、中點三種情況舉例分析.

（一）ξi取小區間右端點

這種情況最常見，也最容易求解.

例1：limn→∞∑nk=1kn2sin2（1+kn）［2021年第十二屆全國大學生數學競賽決賽（非數學類）試題一、（1）］

解：①limn→∞∑nk=1kn2sin21+kn=limn→∞∑nk=1knsin21+kn1n；

②此處knsin21+kn=fkn，含kn，故此題屬于ξk取小區間右端點的類型，即有a+kn（b-a）=kn，從而推出a=0，b-a=1，即a=0，b=1；

③fa+kn（b-a）=fkn=knsin21+knf（x）=xsin2（1+x）；

④Δxi=b-an=1n；

故原式=limn→∞∑nk=1knsin2（1+kn）1n

=limn→∞∑nk=1fa+kn（b-a）b-an=∫baf（x）dx

=∫10xsin2（1+x）dx

=∫10x1-cos2（1+x）2dx

=14-14∫10xd［sin2（1+x）］

=14-14xsin2（1+x）10+14∫10sin2（1+x）dx

=18（2-2sin4-cos4+cos2）.

（二）ξi取小區間左端點

例2：limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

解1：①這里加項只有n-1項，需要適當添加成n項.

limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞1nsin0πn+sinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞∑ni=1sini-1nπ1n；

②此處sini-1nπ=f（i-1nπ），含有i-1n，故此題屬于ξi取小區間左端點的類型.即有a+i-1n（b-a）=i-1nπ，從而推出a=0，b=π；

③fa+i-1n（b-a）=fi-1nπ=sini-1nπf（x）=sinx；

④Δxi=b-an=πn；

故原式=limn→∞∑ni=1sini-1nπ1n

=1πlimn→∞∑ni=1sini-1nππn

=1π∫π0sinxdx=2π.

解2：也可以整理成關于i-1n的表達式.

解3：也可添加sinnπn，看作ξi取小區間右端點的情況.

limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn+sinnπn

=limn→∞∑ni=1sininπ1n

=1π∫π0sinxdx=2π，或者=∫10sinπxdx=2π.

（三）ξi取小區間中點

這是近幾年的數學競賽和考研試題中常出現的類型，有難度，但是利用本文的方法能快速確定積分區間和被積函數.

例3：limn→∞1n312+32+…+（2n-1）2［2023年第十四屆全國大學生數學競賽初賽（非數學類）試題一、（1）］

解1：①limn→∞1n312+32+…+（2n-1）2=limn→∞∑ni=12i-1n21n；

②此處2i-1n2=f2i-1n，看到有奇數2i-1出現，可考慮ξi取小區間中點的類型，即有a+2i-12n（b-a）=2i-1n，從而推出a=0，b-a2=1，即a=0，b=2；

③fa+2i-12n（b-a）=f2i-1n=2i-1n2f（x）=x2；

④Δxi=b-an=2n；

故原式=limn→∞∑ni=12i-1n21n

=12limn→∞∑ni=12i-1n22n

=12∫baf（x）dx

=12∫20x2dx=43.

解2：也可以整理成關于2i-12n的表達式.

例4［2］：limn→∞1ncosπ4n+cos3π4n+…+cos（2n-1）π4n

解1：①limn→∞1ncosπ4n+cos3π4n+…+cos（2n-1）π4n=limn→∞∑ni=1cos（2i-1）π4n1n；

②此處cos（2i-1）π4n=f2i-14nπ，看到有奇數2i-1出現，可考慮ξi取小區間中點的類型，即有a+2i-12n（b-a）=2i-14nπ，從而推出a=0，b-a=π2，即a=0，b=π2；

③fa+2i-12n（b-a）=f2i-14nπ

=cos（2i-1）π4nf（x）

=cosx；

④Δxi=b-an=π2n；

故原式=limn→∞∑ni=1cos（2i-1）π4n1n

=limn→∞2π∑ni=1cos（2i-1）π4nπ2n

=2π∫π20cosxdx

=2π.

解2：也可以整理成關于2i-12n的表達式.

在參考文獻［2］中，此題是利用三角函數的積化和差公式求解，不易想到，而利用定積分定義會非常簡單.

注：以上方法可直接推廣到其他等分的情況.

結語

本文總結了利用定積分定義求極限的常見類型，并給出了求解步驟以及確定積分上下限和被積函數的公式，思路清晰，計算過程簡捷.不僅能幫助學生快速準確地計算這類和式極限，還有利于培養學生對解題方法進行歸納、總結和分析的能力.

參考文獻：

［1］同濟大學應用數學系.微積分（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2021：199200.

［2］蒲和平.大學生數學競賽教程［M］.北京：電子工業出版社，2014：56.

基金項目：河北省自然科學基金面上項目：圖的匹配書嵌入研究（A2021202013）；河北省研究生示范課程立項建設項目：拓撲學基礎（KCJSX2024018）；河北工業大學教育教學改革研究項目：基于BOPPPS模型的新工科數學分析混合式教學改革研究與實踐（202102001）；河北工業大學教育教學改革研究項目：基于混合式教學的高等數學課程思政教學改革探索與實踐（202302016）

作者簡介：李慧云（1978—），女，漢族，河北高陽人，碩士，講師，研究方向：隨機分析、最優化算法。