數形結合增強模型意識

劉雪林

數與代數是義務教育階段的重要學習領域，和倍、差倍問題是屬于數與代數領域的“數量關系”主題。如何讓學生經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，幫助學生提高發現和提出問題以及分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應用意識呢？筆者以“分數除法解決和倍、差倍問題”教學為例進行分析。

一、基于比較標準，找準單位“1”

理解單位“1”是數學學習的難點，教師可以通過創設真實情境，引導學生通過找到比較的“標準”，找準單位“1”。

教學時，筆者首先出示本班學生參加興趣小組的圖片信息（包括書法小組、繪畫小組和籃球小組），并給出數學信息“①參加書法小組的人數是繪畫小組人數的2倍，②參加繪畫小組的人數是籃球小組人數的[12]”，并提問：你能找出兩條信息中單位“1”的量并寫出數量關系式嗎？一名學生回答：信息①中單位“1”的量是繪畫小組的人數，數量關系是“書法小組人數=繪畫小組人數×2”；信息②中單位“1”的量是籃球小組的人數，繪畫小組人數=籃球小組人數×[12]。筆者追問：你是如何找準單位“1”的？這兩條信息中的數量關系本質上相同嗎？學生思考后回答：以誰為“標準”，誰就是單位“1”，信息①以繪畫小組人數為比較“標準”，信息②以籃球小組人數為比較“標準”，“標準量”就是單位“1”的量，兩者的基本數量關系是一致的，都是用單位“1”的量×對應的倍分=對應的量。

以上教學激活了學生已有的認知經驗，幫助學生鞏固了找單位“1”的方法，明晰了基本的數量關系。

二、借助數形結合，研究數量關系

此環節，教師設計了“畫一畫”“寫一寫”“算一算”“說一說”等活動，引導學生在具體情境中運用數量關系解決問題，積累基本數學活動經驗。

教學時，筆者出示學生參加籃球比賽的圖片（略）和信息“六（三）班全場得了42分，其中，下半場得分是上半場的一半”，并提問：你知道了哪些數學信息？能提出怎樣的數學問題？一名學生回答：我知道了上半場和下半場的總分即兩個量的和是42，還知道下半場得分是上半場的一半即這兩個量的倍數關系，我提出的問題是上半場和下半場各得多少分。筆者首先肯定了這名學生的回答并指出這類問題叫作“和倍問題”。接著，筆者追問：這個問題和以前的問題有什么不同？一名學生回答：這個問題有兩個未知量，以前的問題都是一個未知量。然后，筆者出示活動要求：畫一畫，用線段圖表示題中的信息；寫一寫，寫出所有的數量關系式；算一算，嘗試用不同的方法解決問題；說一說，把你的想法和同桌交流。

學生自主探究后，一名學生上臺邊畫邊解釋：“我先畫上半場即單位“1”的量，然后把上半場對應的線段平均分成2份，下半場對應的線段就是其中的一份，兩者加起來總共是42分。我列出的數量關系式是‘上半場得分+下半場得分=42，也可以寫成‘上半場得分=42-下半場得分‘下半場得分＝42-上半場得分，還可以寫成‘下半場得分=上半場得分×[12]‘上半場得分＝下半場得分×2。假設上半場得了x分，則下半場得了[12]x分，列方程為x+[12]x=42?！绷硪幻麑W生補充：這樣假設時，方程也可以列為x=42-[12]x或[12]x=42-x。第三名學生繼續補充：假設上半場得了x分，下半場得分可以表示為（42-x），所列方程為42-x=[12]x或x=2（42-x）。還有一名學生提出：假設下半場得了x分，則上半場得了2x分，所列方程為x+2x=42。筆者肯定了學生的回答并追問：除了用方程解決，還有別的方法嗎？一名學生回答：還可以用42÷（1+[12]）或42÷（1+2）解決問題。

以上教學，教師通過真實情境和真實任務，驅動學生用多樣化的算法解決問題，強化了學生思維的靈活性和發散性。

三、結合對比關聯，增強模型意識

此環節，筆者引導學生在對比、關聯中歸納、概括解決此類問題的基本模型，培養學生的模型意識。

教學時，筆者組織學生觀察、比較他們列出的所有方程，思考這些方程有什么區別和聯系。一名學生回答：區別是所設未知數不同，聯系是先假設其中一個量，然后根據兩個量的倍分關系表示另一個量，最后根據兩個量和的關系列出方程，反之亦然。筆者引導：如果把條件“全場得了42分”改為“上半場比下半場多得14分”，你還能解決這個問題嗎？學生嘗試畫圖并解答。筆者引導學生回顧三年級學習的兩個量之間是整數倍的和倍問題和差倍問題，以及五年級學習的兩個量之間是小數倍的和倍問題和差倍問題，并小結：不管兩個量之間是整數倍、小數倍的關系，還是分率關系，解決和倍、差倍問題的方法都是一致的，可以分為五步：一找，找數量關系式；二設，設一個量，根據倍分關系表示另一個量；三列，根據和（差）關系列出方程；四解方程；五檢驗。隨后，筆者追問：算術法和方程法有什么區別和聯系呢？一名學生回答：方程法是順著題意思考，思路更順暢；算術法要逆向思維，因為單位“1”的量×對應倍分＝對應的量，所以求單位“1”的量要用對應的量除以對應倍分。筆者總結：方程法是把未知量視作已知量參與運算，運用了順向思維；算術法要根據未知量與已知量的關系，利用已知量推導出未知量，運用了逆向思維。

以上教學，學生在關聯舊知解決問題的過程中實現了學習內容的結構化，感悟到“變中有不變”，從而順利建構了模型，增強了模型意識。

四、設計綜合應用，促進模型深化

為了讓學生領會模型的價值，教師設計了如下5道習題，深化學生對模型普適性和一般性的理解。

①兩個數之差是99，其中一個數去掉末尾的0和另一個數相等。這兩個數各是多少？

②一個小數小數點左移兩位和另一個數相等，它們的和是1.01。這兩個數各是多少？

③一套運動服共300元，褲子的價格是上衣的[23]。上衣和褲子分別是多少元？

④夏至是一年中白晝最長、黑夜最短的一天。這一天，北京時間的黑夜時長是白晝時長的[35]。白晝和黑夜分別是多少小時？

⑤甲、乙、丙三數之和是189，乙比甲的[45]少4，丙比甲的[34]多6。甲、乙、丙各是多少？

筆者先組織學生獨立完成習題，然后同桌交流，最后匯報。學生依次做如下匯報。第①題根據第2個條件可以推出“其中一個數是另一個數的10倍”，再根據兩數之差是99列方程10x-x=99解決。第②題根據小數點移動規律可以推出“其中一個數是另一個數的100倍”，再根據兩數之和是1.01列方程100x+x=1.01解決。第③題和第④題都是分數的和倍問題，方法和前面一樣，只是第④題要先挖掘出隱藏信息即白晝和黑夜時間之和是24小時。第⑤題雖然有3個數，但乙、丙都和甲存在倍分關系，設甲為x，那么乙為（[45]x-4），丙為（[34]x+6），再根據三數之和是189列方程（[45]x-4）+（[34]x+6）+x=189解決。

以上練習，從整數和倍（差倍）問題到小數和倍（差倍）問題，再到分數和倍（差倍）問題，從無背景的數到購物、時間等情境中的數，無論怎樣變化，解決的方法都是一致的，有助于學生體會模型的普適性。

（作者單位：棗陽市第一實驗小學小南街校區）

責任編輯? 張敏