把握“差倍問題”數(shù)量關(guān)系

孟蓮

“差倍問題”是小學(xué)數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問題，貫穿學(xué)習(xí)的各個階段。筆者認(rèn)真研究了人教版數(shù)學(xué)三年級下冊第4單元《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》內(nèi)容，以《口算乘法》課后習(xí)題“一個數(shù)乘10，得到的數(shù)比原來的數(shù)大72。原來的數(shù)是多少？”為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在觀察、分析、推理的過程中找出單位“1”的量，畫出相應(yīng)的線段圖，并借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系，感悟差倍問題的解題方法。

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究興趣

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生積極主動地參與數(shù)學(xué)活動，教師創(chuàng)設(shè)能吸引學(xué)生注意力、激發(fā)學(xué)生探究欲的問題情境，有助于學(xué)生自主、能動地展開學(xué)習(xí)。

為了激發(fā)學(xué)生探究差倍問題的興趣，筆者課前設(shè)置懸念，讓學(xué)生上學(xué)時每人帶一把米。課堂上，筆者設(shè)置了如下教學(xué)情境。魔王抓走了國王和公主，需要智慧的你去解救。魔王出了如下兩道題，答對一題就可以救出一人。問題1：“螞蟻發(fā)現(xiàn)了一些米粒，它們召集所有螞蟻往洞里搬米粒。A螞蟻搬了一些米粒后扭傷了腰，在洞里休息。B螞蟻搬了一些米粒后摔斷了腿，也在洞里休息。所有螞蟻搬完米粒后，發(fā)現(xiàn)B螞蟻搬的米粒數(shù)量是A螞蟻的10倍，B螞蟻比A螞蟻多搬了72粒米。A螞蟻和B螞蟻分別搬了多少粒米？”問題2：“C螞蟻的力氣最大，搬得最多，C螞蟻搬的米粒數(shù)量是D螞蟻的10倍，C螞蟻比D螞蟻多搬了360粒米。C螞蟻和D螞蟻分別搬了多少粒米？”學(xué)生被故事情境所吸引，閱讀題目十分認(rèn)真，并紛紛表示自己要救出國王和公主。于是，他們迫不及待地想要動手?jǐn)?shù)米粒。

二、數(shù)學(xué)視角，分析數(shù)量關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的領(lǐng)悟力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。筆者用如下方法引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)的思維思考問題。

課堂上，為了避免學(xué)生盲目地?cái)?shù)米粒，筆者先讓他們思考怎樣用數(shù)米粒的方法探究問題1。學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流后得出：B螞蟻搬的米粒數(shù)量是A螞蟻的10倍，如果A螞蟻搬了1粒米，B螞蟻就搬了10粒米，即B螞蟻比A螞蟻多搬了9粒米；如果A螞蟻搬了2粒米，B螞蟻就搬了20粒米，B螞蟻比A螞蟻多搬了18粒米；如果A螞蟻搬了3粒米，B螞蟻就搬了30粒米，B螞蟻比A螞蟻多搬了27粒米。學(xué)生認(rèn)為，照這樣列舉，直到找到差值是72的兩堆米，就能得出問題1的答案。筆者乘機(jī)提出活動要求：請同學(xué)們用這樣的方式數(shù)米粒，一邊數(shù)一邊完成下面的表格。

學(xué)生先數(shù)1粒、1粒的10倍，接著數(shù)2粒、2粒的10倍，然后數(shù)3粒、3粒的10倍……一直數(shù)到10粒的10倍。

隨后，筆者讓學(xué)生觀察表格，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)的10倍就是這個數(shù)乘以10。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)變大，積也變大。還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：米粒數(shù)量是8時，米粒數(shù)量的10倍是80，80比8大72。至此，學(xué)生解決了第一個問題，得出A螞蟻搬了8粒米，B螞蟻搬了80粒米，B螞蟻比A螞蟻多搬了72粒米。學(xué)生解救了公主，很開心。

筆者趁熱打鐵，讓學(xué)生用同樣的方法解決問題2。有的學(xué)生開始數(shù)米粒，有的學(xué)生卻提出質(zhì)疑：C螞蟻比D螞蟻多搬了360粒米，這個數(shù)字太大了，如果一粒一粒地?cái)?shù)，要數(shù)很長時間，還容易數(shù)錯。這時，一名學(xué)生提出：觀察前面數(shù)米粒的數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如兩份米粒數(shù)量的差都是9的倍數(shù)。筆者當(dāng)即肯定了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并讓學(xué)生思考兩份米粒數(shù)量的差是9的倍數(shù)的原因。通過觀察和討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“10-1=9，20-2=18，30-3=27……100-10=90”，如果把第一份米粒的數(shù)量看成原數(shù)的1倍，第二份米粒的數(shù)量就是原數(shù)的10倍，兩者的差就是原數(shù)的9倍，所以兩份米粒數(shù)量的差一定是9的倍數(shù)。筆者引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，這個規(guī)律可以用“10倍數(shù)-1倍數(shù)=9倍數(shù)”表示，也可以寫成“10倍數(shù)-1倍數(shù)=1倍數(shù)×9”，進(jìn)一步歸納可以得出“1倍數(shù)=（10倍數(shù)-1倍數(shù)）÷9”。回歸到題目，筆者引導(dǎo)學(xué)生這樣分析：C螞蟻搬的米粒數(shù)量是D螞蟻的10倍，C螞蟻比D螞蟻多搬了360粒米，即C螞蟻搬的米粒是“10倍數(shù)”，D螞蟻搬的米粒是“1倍數(shù)”，它們的差360就是“1倍數(shù)”的9倍，所以，D螞蟻搬的米粒數(shù)量可用“360÷（10-1）”計(jì)算，結(jié)果是40粒，進(jìn)而得出C螞蟻搬的米粒數(shù)是400粒。學(xué)生成功解答了這兩道題，對差倍問題中的數(shù)量關(guān)系有了更清晰的認(rèn)識。

三、數(shù)形結(jié)合，理解數(shù)量關(guān)系

解決問題的關(guān)鍵是理解數(shù)量關(guān)系。三年級學(xué)生受年齡和認(rèn)知基礎(chǔ)所限，往往很難直接理解抽象的數(shù)學(xué)知識，而畫圖作為一種有效的解題策略，能夠直觀地揭示數(shù)量關(guān)系。因此，教師在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想畫圖解決問題的能力十分重要。

為了讓學(xué)生直觀地理解和分析問題，筆者引導(dǎo)：有沒有更簡潔的方法表示這些數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系呢？一名學(xué)生提出：可以用線段圖表示倍數(shù)關(guān)系。學(xué)生嘗試畫線段圖，小組交流畫的過程和結(jié)果，并選出代表進(jìn)行全班交流：問題1中B螞蟻搬的米粒數(shù)量是A螞蟻的10倍，從圖1中可以直觀地看出B螞蟻搬的數(shù)量比A螞蟻搬的數(shù)量多了9段線段，從題目可知B螞蟻比A螞蟻多搬了72粒米，也就是9段線段代表72粒米，由此可用72÷9算出每段線段代表的米粒數(shù)量即8粒，所以A螞蟻搬了8粒米，B螞蟻搬了80粒米。

由于有了第一次畫圖探究問題的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在分析問題2時自覺根據(jù)題意畫出如下線段圖（圖2），并標(biāo)注出“1倍數(shù)”“10倍數(shù)”等數(shù)據(jù)。

通過分析、交流，學(xué)生從圖2中發(fā)現(xiàn)9段線段代表360粒，則每段線段代表40粒，即D螞蟻搬了40粒，C螞蟻搬了400粒。

為了讓學(xué)生更好地掌握差倍問題的解題方法，筆者隨即出示了一道變式題：被除數(shù)比除數(shù)大42，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？這道題中沒有直接出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，只給出兩個數(shù)的差，該如何解答呢？筆者給出提示：想想被除數(shù)、除數(shù)和商的關(guān)系，看看它們之間有沒有隱藏的倍數(shù)關(guān)系。學(xué)生討論后得出：被除數(shù)÷除數(shù)=7，即被除數(shù)=除數(shù)×7，這說明被除數(shù)是除數(shù)的7倍，根據(jù)題意，可以把除數(shù)看成“1倍數(shù)”，用1段線段表示，被除數(shù)則可用7段線段表示，根據(jù)被除數(shù)比除數(shù)大42，可以畫出如下線段圖（圖3）。[除數(shù)：

根據(jù)線段圖，學(xué)生可以直觀地看出42代表6段線段，可用“42÷6=7”得出每段線段代表7，即除數(shù)是7，則被除數(shù)是49。

學(xué)生在畫線段圖的過程中深刻地理解了題目中隱含的兩個數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的簡單的差倍問題，增強(qiáng)了解決實(shí)際問題的能力。

（作者單位：黃岡市紅安縣竹林實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

責(zé)任編輯? 張敏