留白式教學：給學生數學思維時空

孫振飛 陸曼 田英杰

［摘? 要］ 留白式教學是新課標深入推進背景下頗具成效的教學模式，適當合理的留白可以激發學生的學習興趣，促使學生主動參與到學習活動中來，提高學生的思維能力，提升學生的核心素養. 文章以“將一個分數拆為幾個不同的單位分數之和”為例，分析留白式教學在初中數學教學中的具體實施步驟和要點，并從留白的藝術、補白的策略以及留白的指向三個方面進行思考，以期對初中數學教師實施留白式教學提供一些幫助.

［關鍵詞］ 留白式教學；思維時空；核心素養.

央視頻道有這樣一則公益廣告，奶奶正在教孫女水墨畫，孫女說：“奶奶，這里還有空，我再畫些樹吧？”奶奶回答道：“要適當留白才好看. ”孫女問：“什么叫留白？”奶奶讓孫女在空白處畫些飛鳥試試. 孫女照做后驚喜地發現：“奶奶，畫面變廣闊了. ”奶奶說：“畫畫要留白，人生也一樣. ”“留白”是藝術作品創作中常用的一種手法，指書畫藝術創作中為使整個作品畫面、章法更為協調精美而有意留下的相應空白，留有想象的空間. 初中數學課堂教學也應追求“留白”的藝術.

然而，當前初中數學教學仍然以傳統的教學模式為主，沒有擺脫“滿堂灌、反復練”的枷鎖. 在教師“教”的層面：單純增加課堂容量，延長上課時間，卻沒有真正揭示出數學本質，學生難以形成完整的知識結構體系；過多關注知識與技能，采取單向灌輸方式，課堂上幾乎沒有留給學生真正獨立思考的時間，忽略了情感態度與價值觀的培養；忽視作業與教學實際情況、學生生活問題的融合，削弱了學生的學習興趣；過分強調對分數的考評，忽視了對學生綜合素養的評價. 在學生“學”的層面：缺乏主動學習的積極性，處于被動接受的狀態，“等教師講、靠教師教”是學習數學的常態；把作業當作任務去完成，以“刷題”達到“熟能生巧”的目的去應付考試；缺失克服困難的堅韌品質、創新意識以及科學精神.

核心素養呼喚初中數學留白式教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對教與學提出了更高的要求：“要引導學生在發現問題、提出問題的同時，會用數學的眼光觀察現實世界；在分析問題的同時，會用數學的思維思考現實世界；在用數學方法解決問題的過程中，會用數學的語言表達現實世界. ”［1］因此，教師必須努力轉換教學角色，變革教學方式，選擇能引發學生思考的教學模式，要讓學生能夠在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流的學習過程中感悟出數學基本思想，積累基本活動經驗，從而促進核心素養的形成. 而留白式教學可以很好地激發學生的好奇心和求知欲，使學生積極主動地參與到數學課堂活動中來，在探究問題的過程中，尋找解決問題的辦法，體驗成功的樂趣，建立數學學習信心，感受數學的魅力.

1. 初中數學留白式教學的內涵

初中數學留白式教學是指留給學生足夠的時間和空間以進行數學思考，在學生自主學習的基礎上，通過教師的引導，更好地理解基本知識，掌握基本技能，揭示數學方法，感悟數學思想，建構知識體系，培養高階思維能力，提升數學核心素養的教學方法. 首先，從時間上講，給足學生獨立思考的時間，教師要“讓位”乃至“退位”，切實轉變為課堂的組織者、參與者、合作者. 從另一方面來說，留白式教學更加追求自由性和包容性. 這種“自由”就是要求教師創設更加開放的教學環境，激發學生的學習熱情，促使學生主動參與課堂學習，讓學生擁有更多自我展示的機會，在交流中享受學習的快樂，在鮮活的課堂生成中自主成長乃至“野蠻”生長，更好地釋放學生的自由. 這種“包容”是指課堂中要允許多種觀點并存，讓學生勇于挑戰課本，敢于向權威說“不”，“師道尊嚴”應該演變為師生共長；教師要正視班級中不同層次學生的存在，允許個人發展程度有快慢與高低，通過學生之間的互幫互助，促進每一位學生都能在原有基礎上有所提高與進步.

2. 初中數學留白式教學的特征

目前，初中數學留白式教學主要具有激勵性、情境性、多樣性、包容性等四個特征. 激勵性是指課堂的適當留白符合初中生對未知世界充滿探究欲望、思維活躍、表現欲極強的年齡特點，有利于激發學生的想象力和創造力，促進學生主動思考；情境性是指課堂留白無法孤立存在，是作為一個整體被學生所感知的，受到諸如課堂氛圍、教師表情、學生反應等具體情況的影響；多樣性是指課堂留白賦予了課堂更多的不確定性和更廣闊的自由度，鼓勵學生對同一個問題有自己獨到的思考和見解；包容性是指課堂留白并不預設標準答案，取消了對學生思維約束的框架，激發學生思維的火花，是對學生個體生命價值的尊重.

初中數學留白式教學案例剖析

本文中的案例取材于滬教版六年級上冊第二章“分數”中的探究活動——“將一個分數拆為幾個不同的單位分數之和”. 這節課通過讓學生對4個問題進行探究，歸納總結出將一個分數拆為幾個不同的單位分數的方法.

探究1引導學生思考如何將直接拆為兩個不同的單位分數之和，因為分子3可以直接拆為分母4的兩個不同因數之和，所以可以拆為與的和. 探究2先放手讓學生去嘗試如何將拆為兩個不同的單位分數之和，由于不能像那樣直接拆分，這和學生的已有認知產生了沖突，從而引發學生主動思考，使學生在不斷嘗試、碰壁、再嘗試中總結出“不能直接拆分的要先擴分再拆分”的方法與策略. 探究3是探究2的變式：將拆為三個不同的單位分數之和. 將學生的思維推向了高潮. 在學生獨立思考和小組交流之后，讓學生們面向全班進行展示，以期呈現出拆分方法的多樣化，展現出探究過程中學生思維的多元化，充分體現了課堂的包容性和學習的自由度. 上述三個探究活動都是將一個指定的分數按要求拆分成不同的單位分數之和，盡管課堂中教師已經給予了比較大的留白時空，但依然有教師刻意留白的痕跡. 探究4則是請學生寫出一個自己喜歡的分數，并將其拆成差的形式. 從形式和情境來看，探究4有兩處留白：其一，所拆分的分數是開放的，讓學生自己設定一個分數，是投學生之所好，激發了學生探究的熱情；其二，由“和”變為“差”，一字之差，達到了“一石激起千層浪”的效果. 從思維能力來看，與前三個探究活動相比，探究4需要打破思維慣性，更注重對逆向思維的考查，但在策略上又有“異曲同工之妙”，強化了對學生思維能力廣度與深度的訓練.

基于以上分析，不難看出這4個探究活動很好地體現了留白式教學的諸多特征，接下來就以此典型案例為例，膚淺地剖析其在留白式教學中的具體運用. 本節課的大致流程如下：

1. 情境引入時“留白”

為了達到“留白”的效果，在本節課的導入環節，選取了“分面包”的故事作為引子，創設出符合學生認知基礎和已有經驗的情境：將5個面包平均分給6個人，每個人分得多少？學生依據分數知識與除法意義很容易得到答案：每個人可分得個面包. 接著筆者故作高深地問道：那么3000多年前的古埃及人是怎樣分的呢？學生的好奇心一下子就被吊了起來. 筆者故意停頓了少許時間，在學生面面相覷、竊竊私語中娓娓道來：不知道了吧！古埃及人先將3個面包平均分成6份，每人分得個面包，再將剩下的2個面包平均分成6份，每人分得個面包，所以每個人分得+個面包.

這里設問的目的，并不是要讓學生去嘗試回答這一問題，而是為了激發學生一探古埃及人為啥用這么“笨”的方法進行等分的原因，盡快進入課堂學習的角色. 在充分吊足學生“胃口”的基礎上進一步講述古埃及分數發展的歷史，并通過對比東西方同時期的數學發展狀況，體會到數學漫長的發展史是何等艱辛，同時了解我國古代人民的數學智慧，增強民族自豪感.

新知識的導入是課堂教學的重要環節之一，能否成功導入在很大程度上關系著整節課的成敗. 數學學科是一門比較抽象的學科，特別是涉及數學概念教學時，學生常會覺得枯燥無味，這就要求教師能夠巧妙設置懸念，也就是所謂的“留白”，激起學生學習新知識的欲望.

2. 探究問題時“留白”

課堂學習是學生進行探究的主陣地，筆者設計的4個探究問題層次分明，分步設置“留白”，讓學生通過獨立思考、自主探索、小組合作等方式把知識和方法內化，再通過對話、追問、展示、交流、教師引導、師生合作等方式“補白”.

對于探究1“將拆為兩個不同的單位分數之和”，學生容易得到正確答案，即==+=+. 但是得到這道題目的答案并不是本次探究的核心目標，而是引導學生從這道題中“以小見大”，歸納總結出一般的規律和方法. 為此，采用問題鏈追問方式“留白”，并在學生回答中不斷修正達成“補白”效果.

教學片段如下：

師：你能給大家講講你是如何成功拆分的嗎？

生1：將3拆成1與2的和，再約分就行了.

師：很好！能不能總結一下，此類分數拆為兩個不同的單位分數之和的方法？

生1：（支支吾吾，詞不達意）……

師：大家仔細觀察一下，分子1和2與分母4有怎樣的關系？

生2：它們都是4的因數，且它們不相同.

生3：也就是說，我們要將分子拆為分母的兩個不同因數的和.

探究2“將拆為兩個不同的單位分數之和”是探究1的變式，放手讓學生自己嘗試. “留白”之一是要讓學生意識到“不能像那樣直接拆分”，對此學生容易想到可以通過擴分將分子1進行變化；“留白”之二是對“分子為1的分數或分子不能拆分為分母的兩個不同因數的和的分數”的拆分方法進行總結. “補白”流程如下：首先，展示學生的多種拆分方案，===+，===+=+，===+=+，…. 其次，嘗試從這些方案中“悟”出并歸納方法，即不能直接拆分的要利用分數基本性質進行擴分，從而轉化成探究1的情況來解決.

探究3“將拆為三個不同的單位分數之和”是對探究2的進一步研究. 較之前的兩個探究，該探究關鍵在于培養學生靈活應用已有方法深度解決問題的能力，重在方法的展示和策略的“補白”. 以下展示兩位同學的不同解法及教學片段.

生4：因為==+=+，===+=+，所以 =++.

生5：===++=++.

師：請兩位同學分別說說你們的想法.

生4：我先把拆成+，再把拆成兩個不同的單位分數之和，通過前后兩次擴分與拆分，就拆成3個不同的單位分數之和.

生5：我通過一次擴分，將分子變為6，然后將6寫成1、2、3這三個數的和，進而寫成分母都是72的3個不同分數之和，再約分就可以了.

生6：也就是有兩種策略：一種是分步拆分，還有一種是一步拆分，但不管哪種方法，都需要擴分，且分子中的加數都必須是分母的因數.

生7：還需補充一點，探究3用到了化歸思想，轉化為探究1和探究2去解決.

探究4“寫出一個喜歡的分數，并將其拆成差的形式”給了學生天馬行空、自由發揮的空間，學生的探究激情再一次被點燃. 學生主動互相交流拆法，并比較誰的拆法更簡便，爭著展示他們的成果，最終形成了解決問題的策略. 策略1：將分子寫成兩個數的差，并且被減數和減數都是分母的因數；策略2：利用加減法互為逆運算，可以在拆分為和的基礎上變為減法，例如，由=+得=-或=-. 該探究既培養了學生“轉化”“逆向思考”等數學思維能力，還激發了學生學習數學的興趣. 數學千變萬化，細品其中奧妙，方感樂在其中.

3. 評價時“留白”

課堂中的“留白”在學生“補白”之后，不管其質量的高與低，教師都要舍得投入足夠的時間與精力，組織多種方式及時進行評價，這是學生持續開展深度學習的“加油站”或“補給站”. 評價時可以采用學生自評、小組互評、教師評價等多主體評價的方式，以及多維度的過程性評價和增值性評價的方式，著重體現學生“補白”結果水準的高低和“補白”過程中思維的流暢度與深刻度. 評價時忌通篇一律的“你好棒！”“大家都很厲害！”等表面性的語句，這種缺乏針對性、浮于表面的表揚也許能讓學生一時半刻獲得滿足感，但長此以往則會給學生“假大空”的敷衍之感. 正確的做法是在學生“補白”的關鍵思路處、方法思想歸納處進行總結提煉，使做出“補白”的學生和其他同學能真真切切地感受到這種表揚是發自內心的，是老師或同伴對其能夠進行探究思考，并獲得創新發現的由衷贊賞. 此外，正向的評價也可以或應該進一步通過“留白”激發學生繼續深度思考以促進深度學習的有序開展. 比如，探究3環節中，在學生展示并總結出方法后，筆者順勢提問：“以上兩位同學都是將擴分后拆分，由于擴分的方式多種多樣，是不是就有無數種拆分的方法呢？”對學生刨根問底，能引起他們無限遐想，這就是一種高級的評價. 再如，在本課小結時，著重在學生對拆分探究過程的體會處“留白”，讓學生感悟與品味“經歷”數學學習的酸甜苦辣，并將這種體味記錄在課后的數學日記中，這是成長的“留白”，是對學生核心素養更深層次的培養.

4. 拓展問題時“留白”

課堂教學雖然結束了，但學生的思維還在延續中，正所謂“余音繞梁也”！課后拓展其實也是課堂教學的一部分，教師要善于拓展問題延伸課堂，引導學生利用課上所學知識解決問題，使學生對其所學內容有更深入的思考和更深刻的認識.

比如，本節課最后留給學生一道思考題：如圖1，早在公元前三千多年前，古埃及人就創造并使用了分數，他們將分數符號稱為“荷魯斯之眼”. 其中，右眼角表示，代表氣味；眼球表示，代表對光的視覺和感覺；眉毛表示，代表思想；左眼角表示，代表聽覺；睫毛表示，代表味覺；眼淚表示，代表觸覺.? “荷魯斯之眼”各部分所表示的分數之和是多少？請嘗試用多種方法加以解決. 這既和課堂開始時的情境引入相呼應，也是課堂延續的好素材. 課堂是孕育知識的搖籃，課堂之外有更加廣闊的天地，如果教師經常給學生在課后留一個“白”，那么學生的課外生活將會更加絢麗多彩.

初中數學留白式教學反思

1. “留白”的藝術

數學是優美的藝術，數學教學更要講究藝術性，在教學中適當“留白”則能將這份藝術淋漓盡致地體現出來. 從“留白”產生的角度來看，可分為兩類：一是在學程設計時的預設，二是在學程實施中的生成. 預設“留白”質量的高低，反映的是教師對新課程理念的把握、對教材架構的整體認知以及對學生學情的準確定位. 課堂生成的“留白”，考查的是教師把控與駕馭課堂的能力，能否敏銳地捕捉到課堂中稍縱即逝的契機. 當然，“留白”的提出者也不完全是教師，學生的“留白”更顯得彌足珍貴，這是學生主動思考后的鮮活生成，更有“補白”的價值. 從“留白”所期望達成的效果來看，有以下幾類：①可以巧設懸念“留白”，讓學生的已有知識和經驗與新情境形成沖突，使學生在好奇心理作用下產生要把這些空白填補的強烈欲望. ②可以在學生參與空間上“留白”，讓學生經歷充滿挑戰的過程，從初見有趣現象時的好奇，到發現問題時的迷茫，再到經歷探究過程的挑戰，最后品味成功的喜悅. ③可以在學生自我反思處“留白”，解題后注重對方法的反思，每節課的小結加強對數學思想的感悟，課后日記記錄學習數學的頓悟，章節完畢時對知識體系主動建構，等等. 從“留白”實施的原則來看，要遵循如下幾點：學生會的不教；學生說明白的不重復；學生不會的加強引導啟發，盡量讓學生能發現與解決；學生反復嘗試也發現不了的，教師要“不吝賜教”. 一句話：少講多引導，教是為了不教.

2. “補白”的策略

“留白”不易，“補白”則更難. 首先，要明確“補”的主體，毫無疑問應該是學生，教師的自問自答嚴格意義上講不是“補白”，對促進學生理解數學的價值不大，只有學生采用自主探究、獨立思考等方式“悟”出來的東西才能真正填補其認知上的空白區域. 由于學生在個體經驗、數學水平上存在差異，不同學生對知識的理解、方法的總結、思想的感悟是參差不齊的，這時候需要發揮學生群體的合作精神，在相互交流中加深對問題的認識. 其次，在“留白”教學中教師只是暫時的“退位”，絕不能“失位”，要全程參與到學生“補白”的過程中，在知識混淆處幫助學生明辨是非，在思維方法卡頓處幫助學生梳理思路，在思想滲透處幫助學生化隱為顯…… 有時甚至要不吝講解，極盡教師“補白”的功效. 在“補白”的過程中，一定要學會等待，再多留出點時間，也許就能靜待花開. “留白”和“補白”不僅在數學教學中具有啟迪學生思維的作用，在任何課型中都可以加以使用，其不僅僅只是一種教學方法，已然演變為一種教學原則.

3. “留白”的指向

“留白”是一種智慧，更是一種情懷與境界.? “留白”的指向之一是彰顯教育本質，遵循育人規律. “留”的是數學知識的空白，更廣一點說，“留”的是探究未知世界的激情；“補”的是數學中的某個技能、方法或思想，更是對學生主體地位的發揮和獨特個性的張揚，是對鮮活生命的尊重、欣賞與期許. “留白”的指向之二是培養學生高階思維和數學核心素養. 新課標強調“學生的數學學習過程是一個自主構建自己對數學知識的理解的過程”［1］，這其實就是“補”的精髓所在. 教師要想方設法引導學生積極主動地參與學習過程，鼓勵每個學生“動”起來，下放學習主動權給學生，給每個學生提供思考、創造、表現和取得成功的機會，從而促進學生發展.

“恰是未曾著墨處，煙波浩渺滿目前”. 在我們的數學課堂上，請讓一個空間給學生自己去填補、請放一段時間讓學生自己去安排、請丟一個問題給學生自己去解決、請造一個機會讓學生自己去把握、請留一個困難讓學生自己去琢磨，學生一定會展現出他們的智慧，而我們的課堂也將收獲更多意料之外的精彩.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022 年版）［S］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

基金項目：上海市普陀區教育科研2022年度重點課題“指向深度學習的初中數學單元教學策略的研究”（課題編號為JA2022302，主持人為孫振飛）.

作者簡介：孫振飛（1971—），正高級教師，普陀區初中數學學科帶頭人，主要從事中考命題研究以及初中數學教學研究工作.