如何運用“整體思想”巧解數學問題

沈強

在解題過程中，要培養學生運用“整體思想”解決問題的能力，可以采用以下教學策略。

一、從簡單的情境入手，初步建立“整體思想”觀念

1.教師出示題目：李爺爺圍了一個菜園（如圖1），其中一面靠墻，籬笆的總長為16米，求菜園的面積是多少？

讓學生先讀題，再嘗試解答。預設學生發現籬笆由梯形的上底、下底和高組成，其中高為4米，所以上底與下底的和為12米。學生通常會采用假設法來解決問題，如假設上底為4米，下底為8米或上底為5米，下底為7米，并代入梯形的面積公式進行計算。

2.引導學生思考：為什么假設的上底與下底的長不一樣，但面積都是24平方米？

預設學生通過觀察會發現，兩種假設中上底和下底的和都是12米，因此面積不變。

3.回顧與梳理。教師提問：“有沒有一種更簡潔的求解方法？”引導學生回顧梯形面積的計算公式：梯形面積=（上底+下底）×高÷2。雖然上底和下底的具體長度未知，但它們的和為12米，因此可以直接將“上底與下底的和”整體代入公式，得到梯形的面積為12×4÷2=24平方米。

二、從無法拆分的數據進入，運用“整體思想”解題

1.教師出示題目：如圖2所示，正方形面積是8平方厘米，求圓的面積。

讓學生嘗試解答。預設學生會遇到困難，雖然知道邊長×邊長=8平方厘米，但無法確定哪個數的平方等于8。

2.觀察與分析。教師引導學生思考：正方形與圓之間，哪些數據是相等的？

在教師引導下，學生應能發現圓的半徑與正方形邊長相等，即r＝a。由于a2=8平方厘米，因此r2=8平方厘米。

3.運用整體代入。圓的面積公式為S=πr2，雖然r的具體值未知，但可以將r2=8平方厘米整體代入公式進行計算，得出圓面積為8π平方厘米。

三、從較復雜的情境進入，運用“整體思想”解題

1.教師出示題目：如圖3所示，小明和小紅相向而行，小明攜帶著一只狗。狗與小明同時出發，遇到小紅后返回小明處，遇到小明后又朝小紅跑去，如此往復，直至小明和小紅相遇。請問：這只狗總共奔跑了多少米？

讓學生讀題，與同桌交流自己的初步想法，并嘗試列式計算。教師提問：“你遇到了什么問題？”預設學生難以畫出狗奔跑的路線，無從下手。

2.引導學生思考：要求狗奔跑的路程，先要知道哪些條件？

路程=速度×時間，狗的速度是210米/分，只要知道奔跑了多少時間即可。進一步引導學生思考：狗奔跑的時間與什么時間相同？通過邏輯推理，得出：狗奔跑的時間與小明和小紅相遇的時間相同，即1800÷（95+85）=10（分）。因此，狗也奔跑了10分鐘，其總路程是210×10=2100（米）。

在解題過程中，有時需要分解條件，化“整”為“零”，有時則需要綜觀全局，運用“整體思想”進行綜合分析。

（浙江省嘉興南湖實驗學校）