感知·操作·推理：小學數學實驗教學中量感的培養

周源

《義務教育數學課程標準（2022年版）》首次明確提出“量感”。量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。

二年級主題式教學實例“紙的厚度”，要求引導學生進一步理解長度單位與現實世界的關系，經歷先想象，后測量的過程，培養基于量感的想象力。對于“紙有多厚？”這個問題的探索，需要學生在估計和推測的過程中，通過調動多種感官，豐富“量”的感知，獲得“量”的感悟。

如何在培養基于量感的想象力的過程中激活學生生活經驗，引導學生在主動參與觀察、感受、操作、估計、測量驗證等學習活動中培養數學核心素養呢？

【學生的前概念】

1.能在具體情境中認數，知道不同數位上的數表示不同的值。

2.認識米、分米、厘米、毫米四個長度單位，知道它們之間的進率，能進行簡單的單位換算；能估測一些物體的長度并進行測量；初步形成量感。

3.能進行整數加減法和簡單的整數乘除法，形成初步的符號意識、數感、運算能力和推理意識。

【學習認識困難】

1.對于數量增加相應倍數后，厚度也相應增加，學生需結合具體的情境進行理解，還沒有抽象運算能力。

2.對于較大數據的推理能力較弱，對于較厚、較高的數據，還沒有實際生活中相應參照物對比。

一、感知——整體感知與細節感知并重

紙的厚度，對于二年級學生來說，是比較陌生的，在這節課中，教師將整體感知與細節感知并重，設計數學實驗，讓學生感受厚度。

【課堂實錄】

師：小朋友們，今天我們一起來研究：“紙有多厚？”什么叫“厚”呢？

師：拿出練習紙，捏一捏，感受一下。

師：一張紙很薄，很多很多張紙疊在一起呢？就變厚啦！

師：薄和厚是一對反義詞，厚度就像我們知道的人有多高，跑道有多長，圖形的一條邊有多長一樣，都是長度，是可以用尺進行測量的。

（一）測量一張紙

師：怎么能夠知道數學書中的一張紙有多厚呢？

師：翻開數學書，數出一張紙，量一量，你發現了什么？

生：一張紙還不到尺上1毫米厚。

（二）測量10張紙

師：一張紙的厚度用手中的尺量不出來，10張紙呢？你能數出10張紙，量一量嗎？

師：看一看，最后一張是第幾頁？

生：第20頁。

師：捏一捏，你有什么感受？

師：量一量10張紙的厚度。

生：數學書10張紙差不多是尺子的一個刻度，也就是1毫米。

首先，教師對“紙有多厚？”進行破題，引導學生對一張紙的厚度進行整體感知。通過摸、捏，使學生感受到一張紙很薄、很輕。再過渡到對一張紙厚度進行細致的感知：量一張紙的厚度。通過操作，學生感受到：一張紙量不出厚度或者一張紙還不到學生尺上最小的一個刻度。量不出，不足1毫米，都是學生對一張紙厚度很薄、很小的細節感知。此時，教師再讓學生數出10張紙來摸、捏、量。學生通過摸、捏，直觀感受到10張紙比一張紙厚一些，再量，10張紙能量出來了，大約是尺上1個刻度（1毫米）的厚度。

兩次摸一摸、捏一捏、量一量的過程，學生不僅對紙的厚度進行了整體感知，也進行了細節感知，感受到紙的張數增加，厚度也增加。這兩次感知密不可分、相輔相成，對整體的感知有助于對細節的感知，細節感知也能促進學生對1張紙、10張紙厚度全貌的認識。

二、操作——動手操作與動腦想象同步

在培養學生量感的過程中，教師一般要做到重視引導學生經歷動手測量、操作感知的過程，幫助學生積累直接經驗。但是對量感的培養還需要學生在頭腦中進行加工、想象、估計，尤其是對于較大數據的量感，需要學生在先想象估計再推測的過程中進一步理解數量的實際意義，體會數量與生活的密切聯系，從而豐富對量感的表象。

首先，教師要根據學生的學習需要，為他們提供可操作的學習材料，并組織活動。比如，在“紙有多厚？”主題學習中，教師精心提供了兩種測量的材料——數學書和A4紙，在操作測量的過程中，讓每個學生親歷測量的過程。

其次，教師要及時組織學生對測量的數據進行分析與思考，發現測量數據背后的數學知識，想象與估計，再進行驗證，建立對厚度的表象。

【課堂實錄】

師：10張紙大約厚1毫米，那么，20張紙大約有多厚呢？

師：你是怎么想的？

生：因為10張紙厚大約1毫米，20里面有2個10，所以20張紙大約厚2毫米。

師：30張紙呢？100張紙呢？

師：怎樣才能知道一本數學書有多厚呢？

生：如果知道書有多少張紙，就能推算出來。

師：一本數學書有60張紙，大約有多厚呢？

生：大約有6毫米。

師：量一量一本書有多厚？驗證你的猜想。

第一次：學生測量10張紙大約厚1毫米，能根據10張紙厚1毫米，推算出20張、30張……100張紙的厚度，從而感受不同厚度的實際大小；并得出測量一本書的厚度，只需要知道一本書有多少張紙，就能推算出來。

【課堂實錄】

▲10本數學書有多厚？

師：出示10本數學書摞起來：感受10本數學書的厚度。

師：你能用手比畫一下嗎？

師：算一算，有多厚？你是怎樣想的？

師：是這樣的嗎？誰能上來量一量？

▲100本數學書有多厚？

師：100本書有多厚？你能解決這個問題嗎？

生動手操作，并交流。

計算的方法：100里面有10個10本，10本厚6厘米，10個6厘米就是60厘米，也就是6米。

模型演示的方法：依次逐步疊加出示5個10本書的模型。請學生看一看，感受厚度增加的過程。

師：誰上來指一指，100本書的厚度到哪個位置？

再次疊加50本的模型，學生感受100本數學書的厚度。

第二次：教師組織學生進行數學書的測量。通過一本書的厚度，推算10本書的厚度，并進行測量驗證，比畫感受，建立10本書厚度的表象。

100本書的厚度，讓學生先推算，再想象厚度。這個過程對二年級的學生是有難度的，因此，教師設計了10本書厚6厘米的紙模型，通過逐步疊加，讓學生親眼看到過程，并直觀體會。教師通過對測量數據的分析與思考，幫助學生建立100本書厚度的表象。同理，對紙的厚度，也用了這樣的方式進行。

教師提問：書的本數不同，為什么表示厚度的數據都是6呢？激發學生分析與思考：厚度的單位不同，表示的厚度也不同。此時，通過學生的思考，進一步加深學生對各長度單位之間關系的理解。

三、推理——直觀感知與推理想象相結合

對于較大數據厚度的感知，學生較難獲得直觀感覺進而形成表象。此時，就需要教師設計學習活動，幫助學生借助參照量增強對“量”的感知，進一步引導學生將直觀感知與推理想象相結合，讓學生對較大數據厚度形成直觀認識。

【課堂實錄】

▲1000本書呢？10000本書呢？

師：你能像剛才那樣，算一算、填一填嗎？

全班交流：1000本書大約厚60分米，也就是6米，10000本書大約厚60米。

直觀感受：

1000本書：我們所在的教室，一層大約3米，（教師用兩把米尺進行疊加）兩層就是大約6米。

10000本書：小區樓房20層的高度。

師：1本書，10本書，100本，1000本，怎么厚度都是6呢？

師：單位不同，表示厚度也不同。1000本里面有10個100本，100本厚6分米，1000本就厚10個6分米，是60分米，1米等于10分米，60分米也就是6米。

師：同樣的，100本里面有10個10本，6分米里面就有10個6厘米，是60厘米。那6米呢？6米=60分米=600厘米。我們把單位放大，數據就能瘦身，用更簡潔的方式來表示數的厚度。

測量了100本書的厚度，推算1000本、10000本書的厚度。學生能推算出1000本書是10個100本，厚60分米，也就是6米。對于6米的實際高度，教師借助學生熟悉的米尺進行高度疊加。學生參照樓層高度，對1000本書的厚度有了直觀感知。同樣，10000本書厚60米，60米有多高呢？學生覺得太高了，想象不出實際的高度，于是教師就提供了學生熟悉的生活場景：操場邊的小區大樓。通過20層樓，高60米，讓學生感知10000本書厚60米的實際高度。

【課堂實錄】

師：老師為每組同學提供了一沓A4紙，仔細觀察，你找到了什么數學信息？（一沓500張）

師：500張紙有多厚呢？你還能推算出1000張紙，10000張紙的厚度嗎？

全班交流，明確推算的過程和單位。

生：500張厚5厘米，1000張里面有2個500張，就是10厘米。

師：出示兩沓A4紙的照片。

師：10000張紙有多厚呢？

生：10000張里面有10個1000張，就是10個1分米，10分米=1米。

師：出示20沓A4紙逐步疊加的照片。

1張紙有多厚？

師：同學們，現在我們這里有10000張紙，有1米高。但是，再薄的紙，也是有厚度的，一張紙到底有多厚呢？（倒推）

揭示：1毫米再進行平均分，分成10份，每份就是一張紙的厚度。

出示：你知道嗎？揭示1毫米=1000微米

在學生測量并推算出10000張紙厚1米之后，教師提出問題：1張紙到底有多厚呢？學生答不出來。此時，教師通過數學模型與紙的厚度從大到小反向推理，讓學生直觀地感受到數據之間的關系，同時與長度單位之間的進率形成直觀聯系……逐步反向推理，100張紙厚1厘米，10張紙厚1毫米，1張紙的厚度呢？我們還要將1毫米平均分成10份——讓學生看著尺上最小的刻度進行想象，感受一張紙的厚度。及時拓展，帶著學生推算出1張紙厚100微米。這樣的教學過程，讓學生直觀感知數據之間的關系，形成一張紙厚度的表象，與課的開頭相互呼應，解決這節課的研究主題：“紙有多厚？”

二年級的學生在“紙有多厚？”主題研究活動的過程中，將書本數量、紙的數量聯系實際，通過操作活動尋找數量和厚度之間的關系，并借助測量的結果進行分析思考、想象估計，形成厚度的表象，最終形成數學直觀，感悟事物的本質。