基于Matlab 軟件的傅里葉級數及其應用的教學實踐探索

孫金秋

摘要：學生學習傅里葉級數及其應用時感覺晦澀難懂，計算煩瑣，對該知識點掌握效果不佳。文章從傅里葉級數在高等數學課程中的學習，以及傅里葉級數在后繼課程電路、信號與系統、電力電子技術中應用的學習均借助了Matlab軟件。利用該軟件直觀地觀察傅里葉級數，使學生更好地理解傅里葉級數的核心思想。并借助該軟件完成傅里葉級數的數學計算，減輕學生計算負擔，從而將更多的精力用于采用傅里葉級數解決實際工程問題。實踐證明，該教學模式提高了學生對傅里葉級數及其應用的掌握。

關鍵詞：傅里葉級數；Matlab軟件；教學；工程問題；應用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）13-0177-04 開放科學（資源服務）標識碼（OSID） ：

0 引言

傅里葉級數理論的出現在數學領域產生了巨大的影響，隨后被廣泛地應用于電力、電子、計算機、通信和控制等多個領域解決實際問題[1]。

傅里葉級數是高等數學課程的內容，學生在學習該內容時感覺晦澀難懂。即使聽懂的同學也只會用部分積分法求傅里葉級數的系數，然后把函數展開成傅里葉級數。而對于為什么要學傅里葉級數？傅里葉級數應用于哪些場合？學生并不知道。很多高校在高等數學的授課中只簡單介紹該部分內容，并不作為考試內容；甚至有的高校將其作為自學內容。導致學生該部分內容的基礎非常薄弱，嚴重影響后繼課程中采用傅里葉級數解決實際工程問題的學習效果。

Matlab是大型的數學計算軟件，具有強大的數據計算能力，并可以將復雜和抽象的事物采用圖像化顯示。對于理科和工科學生，將來大部分工作中的運算都可以借助Matlab完成[2]。因此本文將Matlab軟件引入傅里葉級數及其應用的學習過程中，利用該軟件讓學生深刻理解傅里葉級數，并能夠熟練利用軟件計算傅里葉級數，從而能夠采用傅里葉級數高效率解決實際工程問題。

1 基于Matlab 軟件的傅里葉級數教學探索

1.1 傅里葉級數

傅里葉級數由法國數學家傅里葉提出，即滿足條件（狄利克雷條件）的任何周期函數可以由一系列不同頻率的正弦（余弦）函數疊加而成。這種相加形式又稱為級數，所以也稱為傅里葉級數[3]。

A0 稱為周期函數 f（t）的直流分量或恒定分量；A1m cos（Ωt + ?1 ）稱為周期函數f（t）的基波分量簡稱基波，周期為T；其他各項稱為周期函數 f（t）的高次諧波。

1.2 傅里葉級數的教學探索

目前高等數學的常規教學中，首先講述上述計算步驟，再討論一下當函數具有對稱性時，怎樣簡化某些系數的計算。這種方式只強調了傅里葉級數的數學理論性和計算技巧，學生感覺學習難度大，缺乏興趣。導致在后繼課程用到傅里葉級數解決專業問題時，大多數同學力所不及。因此本文探索將Matlab軟件引入傅里葉級數的教學中。

授課時介紹完傅里葉級數的理論計算后，接著講述怎樣用Matlab軟件獲得周期信號的傅里葉級數。在Matlab軟件的m文件中首先生成周期信號，然后分別計算常數項和各系數。例如求方波信號的傅里葉級數的m文件如圖1所示。運行該m文件后，既可以在命令窗口中直接獲得方波信號傅里葉級數展開后的常數項和各項系數，也可以采用圖形化的形式獲得各項系數，如圖2所示。可以讓學生自己改變方波的某些參數，觀察各項系數的變化，也可以指導學生編寫其他周期信號的傅里葉級數展開。借助Matlab軟件完成周期信號的傅里葉級數，既可以減少學生對復雜數學計算的抵觸，又可以讓他們盡早學會用計算機輔助學習和工作，適應時代的發展。

除了引導學生用Matlab軟件計算周期信號的傅里葉級數外，還可以將傅里葉級數與專業課提前銜接融合。將后繼專業課程中關于傅里葉級數的應用在高等數學授課中舉例，使得學生盡早了解自己專業，并通過實際應用提高學生的學習興趣。譬如對于自動化專業，傅里葉級數會用于信號與線性系統課程中的頻域分析，電路課程中的非正弦周期電路的分析，電力電子技術課程中諧波分析等。

2 基于Matlab 軟件的傅里葉級數應用教學探索

2.1 傅里葉級數在信號與系統課程中應用教學探索

傅里葉級數及傅里葉變換是信號與系統課程中的重點內容。通過傅里葉級數或傅里葉變換可以進行系統的頻域分析。周期信號傅里葉級數展開后可以得到其幅度頻譜和相位頻譜。非周期信號通過傅里葉變換可以得到其頻譜函數。從時域轉換到頻域，對學生而言非常抽象，普遍認為該內容是這門課程最難的部分。因此本文探索借助Matlab形象化地展示時域與頻域的聯系。

本文在Matlab中設計了典型周期信號傅里葉級數展開的可視化GUI程序用于課堂演示，如圖3所示。在該程序中可以選擇不同占空比的方波或三角波，以及選擇傅里葉級數展開的項數。選擇后，便可以采用3D界面顯示該信號的傅里葉級數展開情況。以方波為例，在時域中可以直觀看到方波分解為直流項、基波和各次諧波。同時可以根據分解的結果，獲得頻域中直流項、基波和各次諧波的幅值，畫出該信號的幅頻特性。通過該3D界面直觀顯示，學生更容易將時域和頻域聯系起來，從時域過渡到頻域。

周期信號傅里葉級數展開后，理論上項數趨于無窮大。展開的項數越多，其與原信號越接近。但項數越多，后期處理時計算量就會越大。所以傅里葉級數展開的項數需折中考慮。因此本文除了采用圖3的GUI程序直觀地顯示信號的傅里葉級數展開后其頻率特性外，還借助該軟件獲得周期信號傅里葉級數展開后不同項數的擬合效果。圖4和圖5是方波信號展開項數分別是5和50的擬合效果圖。

通過Matlab 軟件的直觀顯示，學生更加深入地理解傅里葉級數。從而能夠更好地利用傅里葉級數解決專業課中的工程問題。

2.2 傅里葉級數在電路課程中應用教學探索

周期信號的傅里葉級數展開在電路課程中的典型應用為非正弦周期電路的分析。該課程中首先介紹直流穩態電路的分析，然后介紹正弦穩態電路的分析。如果電路中的激勵為非正弦周期信號，譬如方波、三角波等，那該怎樣分析呢？

例如：RL串聯電路如圖6所示，當激勵為圖7所示的方波時，求電感兩端的電壓。

這時便可引入傅里葉級數展開解決該實際問題。首先將方波信號傅里葉級數展開，然后分別計算前面3-5項為激勵時電路對應的響應，最后根據疊加定理將各個激勵下的響應相加便可，即諧波分析法。學生熟練掌握Matlab軟件后，可以直接采用本文2.2小節中的方法求出周期信號傅里葉級數的前面各項，然后進行電路的后繼計算。這樣避開傅里葉級數的手算，從而減輕學生的計算量，讓學生有更多的精力用于采用傅里葉級數解決實際問題。

本文為了讓學生更好地理解諧波分析法，還在Matlab 軟件中，采用Simulink 編寫了電路的仿真程序，分別直接采用圖7種方波作為激勵對圖6的電路作用和采用方波傅里葉級數展開的前三項和作為激勵對圖6的電路作用，然后比較兩種情況下電感兩端的電壓。驗證諧波分析法的可行性。仿真程序如圖8 所示。

2.3 傅里葉級數在電力電子技術課程中應用教學探索

電力電子技術課程講述電能形式的變換，主要包括AC/DC、AC/AC、DC/AC、DC/DC四種。因電力電子電路屬于開關、非線性電路，該課程的學習對學生而言難度非常大。除了常規的分段線性化和波形分析法，本文將Matlab軟件中的Simulink用于該課程的仿真教學。除此之外，還在該課程中用傅里葉級數分析諧波問題。

整流電路將輸入的交流電變換成直流電。理想的直流電為平滑的直線，但實際獲得的直流電有脈動。也就是獲得的直流電除了直流項還包括了各種頻率的諧波。譬如單相橋式整流電路輸出的直流電如圖9所示，三相橋式整流電路輸出的直流電如圖10 所示。怎樣定量地評價單相橋式整流電路和三相橋式整流電路輸出的直流電哪個更優？這時必須借助于傅里葉級數。將兩種不同整流電路的輸出電壓進行傅里葉級數展開后，第一項是理想輸出的直流電，后面項數便是基波和各次諧波，基波和諧波占有的比重越小，則其輸出的直流電就更優。

單相電壓型逆變電路常見的控制方式有固定脈沖控制和PWM控制兩類。其獲得的交流輸出電壓的波形如圖11和圖12所示。怎樣定量的評價固定脈沖控制和PWM控制哪種效果更好呢？這時也必須借助于傅里葉級數。將輸出電壓傅里葉級數展開后，第一項常數項通常為零，第二項的基波項是理想的正弦交流電，后面的各項便是各次諧波。顯而易見，各次諧波含有量越低越好。

由此可見，電力電子技術定量計算分析中，很多場合都需要借助傅里葉級數展開。如果手動計算，計算量非常大，而且容易算錯。當學生經過前期課程的學習對傅里葉級數深度掌握后，便可以熟練地利用Matlab軟件對各種周期信號傅里葉級數展開，然后進一步分析。

3 教學效果

本文從傅里葉級數在高等數學課程中的學習，以及傅里葉級數在后繼課程電路、信號與系統、電力電子技術中應用的學習均借助了Matlab軟件。一方面可以采用該軟件直觀地觀察傅里葉級數，使得學生更好地理解傅里葉級數的核心思想。另外一方面可以借助該軟件完成常規的數學計算，減輕學生的計算負擔，可以將更多的精力用于采用傅里葉級數解決實際問題。經過基礎課、專業基礎課和專業課不斷地強化學習，學生能夠熟練掌握傅里葉級數，以及能夠用傅里葉級數解決實際問題。

參考文獻：

[1] 王靜，李應岐. 傅里葉級數引入環節的教學設計[J]. 高等數學研究，2019，22（3）：57-59.

[2] 譚佳，趙潤，蘇明明. 數學軟件在數學物理方法課程教學中的應用[J]. 科教文匯，2023（14）：74-77.

[3] 陳廣福. Matlab應用于“信號與系統” 課程教學探索與實踐[J]. 現代信息科技，2022，6（18）：195-198.

[4] 盧厚元，李波. 高等數學融入專業群課程體系建設的實踐探索：以湖工職院高等數學與電子信息類專業的融合為例[J].湖北工業職業技術學院學報，2022，35（5）：76-80.

[5] 任亞莉. 周期信號傅里葉級數分析演示系統設計[J]. 電腦知識與技術，2020，16（28）：23-25.

[6] 嚴明. 基于“工學一體化” 的傅里葉級數教學設計探討[J].福建開放大學學報，2021（5）：49-53.

【通聯編輯：王力】

基金項目：北方國際大學聯盟教育教學研究課題：“面向智能制造，強化工程設計”的獨立學院新工科專業改造升級的探索與實踐，課題編號：20210615001