加強數學思想教學提升數學思維品質

徐東良

在初中數學教學中，教師既要重視知識的傳授，又要重視挖掘數學思想方法，以此讓學生更好地理解數學、掌握數學、應用數學，培養學生良好的思維習慣，形成正確的數學觀.初中數學中蘊含著豐富的思想方法，如數形結合思想、轉化與化歸思想、分類討論思想等.以下筆者以“勾股定理的應用”為例，充分挖掘蘊含其中的數學思想方法，以期通過數學思想方法的合理運用來開闊學生的解題思路，優化解題過程，提升學生分析和解決問題的能力.

1 方程思想

方程思想是指從問題的數量關系出發，通過恰當引入未知量，尋找未知量和已知量的數量關系，將問題轉化為方程或方程組，然后通過解方程或解方程組使問題得以獲解.

例1如圖1，在矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB上任意一點（異于A，B兩點）.設BE=t，將△BCE沿CE對折，得到△FCE，延長EF交CD延長線于點G，則tan∠CGE=（用含t的代數式表示）.

分析：根據對折的性質易得∠EFC=∠EBC=90°，∠BEC=∠FEC.又四邊形ABCD為矩形，所以AB∥CD，則∠BEC=∠ECG，故∠ECG=∠FEC，則GE=GC.設GC=x，又BE=EF=t，則FG=x-t.由FC=BC=3，在Rt△GFC中，根據勾股定理，得（x-t）2+32=x2，這樣求得x的值后，問題即可迎刃而解.

評注：例1難度不大，但是涉及的知識點較多，如解題時運用了矩形的性質、翻折（軸對稱）變換的性質、勾股定理、正切的定義等，解題的基本思路就是根據已知條件尋找等量關系，從而將已知與未知建立聯系，運用方程思想方法解決問題.通過以上問題的求解充分體現了方程思想的簡便、快捷.

方程思想在初中數學教學中有著重要的應用，對于一些比較復雜的問題，只要抓住相等關系，就能實現化繁為簡的轉化.另外，方程與函數、方程與不等式緊密聯系，在教學中合理滲透方程思想可以提高學生綜合運用知識解決問題的能力，促進學生思維能力的提升.

2 轉化思想

轉化思想又稱轉化與化歸思想，其中“轉”是轉化思想的核心.在數學學習的過程中，合理的轉化往往可以達到化繁為簡、化陌生為熟悉的效果，從而順利地解決新問題、獲得新知識.其實，很多其他的數學思想方法也是從轉化思想衍生而來的，如數形結合思想、函數與方程思想、類比思想等，在數學學習的過程中合理地運用轉化思想，可以使問題變得更加簡單化、熟悉化、直觀化，有利于問題的解決，促進知識的掌握.

例2將兩塊三角尺按照圖2所示的方式擺放，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求S四邊形DBCF.

分析：根據已知條件顯然難以直接求得四邊形BDCF的面積，因此在解題的過程中需要進行轉化.觀察圖形特點可知，若能夠分別求出△ABC和△ADF的面積，那么兩個面積作差即可順利解決問題.在Rt△ABC中，根據已知易得AC=BC=32，S△ABC=9.

在Rt△DEB中，根據條件，運用方程的思想方法易得BD=23，則AD=6-23.

在Rt△ADF中，由AD=DF=6-23，可求得S△ADF=24-123.

這樣分別求得△ABC和△ADF的面積后，問題即可獲解.

評注：在求解過程中，若遇到難以直接求解的情況時往往考慮轉化.轉化策略是解決數學問題最常見的方法，也是最通用的策略.本題所求是不規則圖形的面積，解決此類問題的常用方法就是將不規則圖形轉化為規則圖形的和差問題.因此，在日常教學中，應重視轉化思想的滲透與挖掘，提高解題效率.

3 數形結合思想

數形結合思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖形建立聯系，從而通過數與形的相互轉化使問題更加直觀化、嚴謹化.在解題的過程中合理利用數形結合思想，有利于解題過程的優化和解題效率的提升.

例3已知x，y是正實數，且x+y=4，求x2+1+y2+4的最小值.

分析：若從代數的角度出發，可以嘗試將問題轉化為函數問題，運用求函數最值的方法來求解，但是顯然該方法較為復雜，運算量較大，影響解題效率.不妨轉變策略，嘗試從形的角度出發.認真分析題目不難發現，所求可以看成兩個直角三角形的斜邊之和，于是將問題進行如下轉化：

如圖3，已知AB=4，AC=1，BD=2，P為AB上一動點，求PC+PD的最小值.這樣通過構造如圖3所示的直角三角形，即可求得CD=5.設AP=x，則結合已有的經驗可知

x2+1+y2+4在C，P，D三點共線時取最小值5.

評注：從以上解題過程可以看出，通過構造幾何圖形使問題變得更加直觀化，其極大地減少了運算量，充分體現了數形結合的優勢.在初中數學學習過程中，教師應有意識地引導學生將數與形結合起來，優化解題過程，提高解題效率.

4 分類討論思想

分類討論思想實質上就是先化整為零，然后積零為整.在解決問題的過程中，學生經常會遇到一些所給的對象不能統一研究的問題，解決此類問題時就需要按照某個標準分類，以大化小，各個擊破.合理運用分類討論思想可以幫助學生更好地理解和解決問題，有利于激發學生學習興趣，培養思維的嚴密性.

例4在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.如圖4，若∠C=90°，則a2+b2=c2.如圖5、圖6，△ABC不是直角三角形，試猜想a2+b2與c2具有怎樣的數量關系？請給出你的猜想并加以證明.

分析：若△ABC不是直角三角形，則它可能是銳角三角形或鈍角三角形.

觀察圖5可知，當△ABC是銳角三角形時，a2+b2>c2；

觀察圖6可知，當△ABC是鈍角三角形，且∠C為鈍角時，a2+b2

形成猜想后，學生運用方程思想，通過恰當地引入未知量可以將三角形的三條邊建立聯系，運用數形結合思想方法解決問題.

評注：在解題的過程中經常會遇到需要分類討論的問題，只有將問題合理分類才能保證結果的完整、準確.值得注意的是，同一問題按照不同的標準分類則有不同的劃分形式，因此在分類時要做到不重復、不遺漏.

5 整體代換思想

在解決問題的過程中，大家往往習慣從問題的局部出發，運用分而治之的策略解決問題，然有些問題只有從整體視角出發，才會獲得柳暗花明的效果.整體思想是解題中最常用、最基本的思想，有些問題若運用整體思想去探究可以消除某些障礙，實現化繁為簡的轉化.

例5在Rt△ABC中，∠BAC=90°，M，N為BC的三等分點，已知AM=4，AN=3，則BC=.

分析：要求斜邊BC的長，最先考慮的就是分別求出AC，AB這兩條直角邊的長度，顯然根據已知條件難以直接求出它們的長，為此解題時需另辟蹊徑.根據已知M，N為BC的三等分點，

不妨過這兩點分別向AB，BC作垂線（如圖7），以此構造多個直角三角形，從中尋找解題的突破口.

設BD=a，CG=b.由三角形的中位線定理可知，DE=EA=BD=a，AF=FG=GC=b.又四邊形DAFM和四邊形EAGN是矩形，所以MD=AF=b，GN=EA=a.于是在Rt△DAM中，由勾股定理，得DA2+DM2=AM2，即（2a）2+b2=42=16.

同理，在Rt△ANG中，易得（2b）2+a2=32=9.

兩式相加得，a2+b2=5.在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=9（a2+b2）=45，所以BC=35.

評注：對于例5，根據已知條件很難分別求出AC和AB的具體值的，因此在解題時將AB2+AC2看成一個整體，運用整體思想方法順利地解決了問題.這樣在解題時從整體視角出發，使復雜的問題變得簡單化，大大地減少了運算量，降低了思維難度，充分體現了整體思想的優勢.

總之，數學思想方法是在日常學習和運用中逐漸形成的，它是一個長期積累與完善的過程.在日常教學中，教師應重視引導學生挖掘蘊含其中的數學思想方法，以此幫助學生認清問題的本質，逐步提高學生解題能力.