著力探索性學習提升教學有效性

林凡

受傳統教學模式和應試教育的影響，初中數學課堂教學中依然存在一些問題，如大多教師依然習慣性地將結論、解題經驗等以講授的方式“灌輸”給學生，然后給出大量的練習讓學生模仿.可見，教師將教學的著力點放在結論的擴充與應用上，忽視了過程性探索.其實，在數學教學中，教師應重視引導學生經歷知識的形成和發展過程，重視數學思想方法的提煉和數學核心素養的培育，使學生在學習過程中都能有所獲.

筆者在教學“用公式法求解一元二次方程”時，改變傳統的一味地灌輸結論、幫助學生儲備經驗的舊模式，以學生的心理過程為主線，重視引導學生深度剖析數學公式的發展脈絡，以此通過經歷發現、探索、應用、歸納等過程，讓學生都能學有所獲.

1 課前分析

1.1 學習準備

學習準備階段，教師既要通過知識的回顧為新知的學習掃清知識障礙，也要從情感上進行激勵，重視激發學生的求知欲.在此過程中，教師應認真分析學情及學習內容，從學生的最近發展區出發，尋求新知的生長點，并基于知識的生長點提出探究的問題，培養學生的探索精神和創新意識，讓學生認識到學習新知的必要性，激發學生的探究欲，從而為高效課堂的建構做好情感準備.

1.2 過程分析

周知，數學公式具有高度的抽象性.若想讓學生理解并掌握公式，并能靈活應用公式解決問題，教師不能簡單地將公式講授給學生，讓學生模仿和套用，而是要重視引導學生了解公式的來源，讓學生經歷公式的推導過程，通過親身經歷明確公式的適用范圍和條件，弄清公式的本質屬性，以此達到深刻的理解.

2 教學簡錄

2.1 情境引入，激發興趣

師：上節課我們學習了用配方法求解一元二次方程，以下兩題你能用配方法求解嗎？（教師PPT出示題目.）

（1）x2-2x-1=0；（2）2x2+7x-15=0.

題目給出后，教師預留時間讓學生求解.求解后，教師先讓學生總結歸納利用配方法解一元二次方程的步驟，然后引導學生對以上問題進行對比分析.學生通過比較發現，對于二次項系數不為1的方程，利用配方法求解時常出現一次項系數是分數的情況，這樣就使得運算比較復雜，于是學生自然提出問題：有沒有更便捷的方法解這類方程呢？這樣學生帶著問題可以快速進入學習狀態，從而進入本課研究的主題，即用公式法求解一元二次方程.

設計意圖：導入階段，教師以學生已有認知為切入點，引導學生利用配方法解一元二次方程，并讓學生總結歸納利用配方法解一元二次方程的基本步驟，從而為接下來探究用公式法解一元二次方程做準備.在此過程中，教師引導學生對兩個問題進行對比分析，讓學生發現使用配方法可能會出現繁瑣運算的情況，繼而自然引出本課要研究的主題.

2.2 類比遷移，推導公式

師：現在我們將題目變一變，將方程中的數字系數換成字母，得到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能類比前面的解題方法，解這個一般形式的一元二次方程嗎？

教師預留充足的時間讓學生獨立求解，教師巡視.從學生反饋來看，大多學生與方程2x2+7x-15=0相類比，將方程左右兩邊同時除以a，繼而將方程轉化為二次項系數為1的情況，然后利用配方法求解.不過求解過程中，部分學生忽視了對代數式b2-4ac進行分類討論.基于此，教師讓出錯的學生展示思路，鼓勵學生對解題過程進行評價，以找到引發錯誤的根源，形成正確認識，有效規避或減少錯誤的發生.

師：大家利用配方法得到x+b2a2=b2-4ac4a2，接下來該怎么做呢？是否可以直接開平方呢？如果不可以，該怎么做呢？

問題給出后，教師讓學生以小組為單位，開展合作學習.在此過程中，學生相互啟發、相互補充，大多學生意識到要想開平方，首先應該對b2-4ac的取值進行分類討論，由此學生提出當b2-4ac≥0時，兩邊可以同時開方，開方得x+b2a=±b2-4ac4a2，化簡得x+b2a=±b2-4ac2|a|.

師：誰來分享一下自己所在小組的探究結果？

生1：我們小組解得x=-b2a±b2-4ac2|a|.

師：一定要帶絕對值符號嗎？

生2：題設信息中只給出了a≠0，a的正負不確定，所以需要添加絕對值符號.

師：那么這個絕對值符號是否可以去掉呢？

學生積極討論，教師巡視.學生通過分類討論認為去掉絕對值符號并不影響計算結果，最終將結果化簡為x=-b±b2-4ac2a.在討論中，也有學生給出了另一種解法，在配方前先將方程的兩邊同時乘a，于是有（ax）2+abx+ac=0，配方可得到ax+b22=b2-4ac4，當b2-4ac≥0時，可以直接開平方，所以有ax+b2=±b2-4ac2，解得x=-b±b2-4ac2a.顯然，應用該方法求解就不會出現因a的正負不確定而出現絕對值的問題.該方法是預設之外的驚喜，這一意外驚喜將課堂推向高潮，極大程度提升了學生探究的積極性.在教師準備結束求根公式的推導時，學生又提出了新的猜想：如果將方程的兩邊同時乘4a，這樣會不會使運算更加簡潔呢？學生給出新的猜想后，教師預留時間讓學生驗證，讓學生體會整體思維在解題中的應用，提高學生思維水平.

設計意圖：在求根公式的推導過程中，教師沒有直接將推導過程呈現給學生，而是堅持以生為主體，鼓勵學生發現問題、提出問題，并提供機會讓學生通過獨立思考和合作探究解決問題，親身感受知識的形成過程，在合作探究中發展邏輯推理能力.在此過程中，教師及時捕捉并合理利用課堂生成，學生獲得了不同的推導方法，增強了學生學習信心，培養了學生數學素養.

2.3 知識總結，內化運用

該環節教師預留時間讓學生歸納總結根的情況，學生通過思考得到如下結論：①當b2-4ac>0時，x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a；②當b2-4ac=0時，x1=x2=-b2a；③當b2-4ac<0時，方程無實數根.也就是說，一元二次方程有實數根的前提為b2-4ac≥0，此時該方程的實根可以表示為x=-b±b2-4ac2a.

設計意圖：該環節教師預留時間讓學生總結歸納，進一步加深對求根公式的理解，揭露問題的本質，提高學生數學歸納概括能力.

2.4 課堂練習，鞏固提升

師：如果用公式法解課初的兩個方程，你會嗎？（教師繼續出示課初題目.）

（1）x2-2x-1=0；（2）2x2+7x-15=0.

設計意圖：回歸課初問題，讓學生通過對比分析體會不同方法的優劣，以便在解題過程中可以根據方程的結構特征選擇合適的解題方法，以此培養學生的最優意識，提高解題效率.

2.5 課堂小結，歸納升華

師：通過這節課的學習，你學到了什么知識、方法？你有哪些心得體會？

該環節教師先讓學生以小組為單位進行歸納總結，然后呈現學生的交流成果，以通過互動交流豐富學生的認知結構，促進知識的升華.

設計意圖：課堂小結是課堂教學的重要一環，該環節教師秉承以生為主、以師為輔的教學理念，讓學生從知識、方法、思想等方面對本課內容進行梳理，幫助學生建構知識體系，提高數學應用水平.

3 教學思考

在本課教學中，教師堅持以生為本的教學理念，鼓勵學生進行自主探究和合作交流，提倡解決問題策略的多樣性，重視學生活動經驗的積累.教學中，教師以知識的生成為明線，以數學思想方法的滲透為暗線，共同推進，這樣既滿足了學生知識層面的發展，又促進了學生數學核心素養的落實.例如，教學中，教師沒有直接將公式教給學生讓學生套用，而是以學生已有知識為基礎，引導學生進行類比探究，通過方法的遷移完成了公式的推導.在展示學生交流成果時，學生化簡的結果含有絕對值，通過對絕對值符號的“去”“留”問題進行深入的探究，學生得到了多樣的推導方法，從而通過問題的解決將課堂推向高潮，幫助學生積累了豐富的活動經驗.在探究過程中，學生充分感悟類比探究、特殊到一般、分類討論等思想方法的價值，提升了數學能力，發展了數學素養.

總之，在課堂教學中，教師應為學生搭建一個自主探究的舞臺，引導學生親身經歷知識形成與發展的過程，以此逐漸優化學生的認知結構，讓學生的數學能力和數學素養得以穩步提升.