基于整體概念的“圓”章節起始課探究

朱文蘭

摘要：整體概念的章節起始課教學，是提升學習者高水平數學思維，實現學習者對學習內容的深入、系統理解的有效途徑.本文中教學設計以“圓”章節起始課為例，按從整體到局部再到與其余圖形關系的順序展開研究.從圓上的一個點、兩個點、三個點……依次構造不同的圖形，確定本章的研究對象和研究內容，從而體現整體概念的章節起始課的價值和意義.

關鍵詞：整體概念；章節起始教學

整體概念教學是在系統思維指導下，以課程標準為依據，按步驟整體設計教學，從而提高教學成效，提升學生的核心素養.“整體”即從教學目標出發，以全局的視角系統地理解教材、整合教材，在教學設計中統籌兼顧地安排基本知識、滲透基本思想方法，把知識和方法融入到學科體系中去教學，其目的是提高學生的學習效率，提升學生的數學思維.筆者在圓的章起始課中圍繞整體概念進行了探討，與大家分享.

1 教學分析

1.1 圓在封閉平面圖形體系中的核心地位

圓作為常見的幾何圖形之一，是曲線型圖形的代表.小學階段學生初步建立了對“曲線”這一抽象概念的認識；初中階段實現從直觀感知到代數表達的飛躍，不僅深化了對圓的理解，更促進了對幾何問題解決能力的培養；高中階段圓是圓錐曲線的基礎，還作為復數、向量、微積分等高級數學內容的重要載體，展現了其在數學體系中的基石作用.

1.2 教學目標與方法

本章是在小學學習圓的基礎上，對圓的概念和性質的進一步系統研究.對比八年級對直線型幾何圖形（三角形、四邊形）的研究過程，九年級對于圓的研究在思想方法上與直線型圖形既有聯系又有區別.在圓的性質的發現與探索過程中，如何“由近及遠”地發現圓的性質鏈，如何從”整體—局部”理解并掌握圓的對稱性（軸對稱性、旋轉不變性）是本章學習的重點.

本章教學中教師不僅要有意滲透研究圖形組成要素、相關要素之間的數量關系和位置關系，還要從整體上利用圓的對稱性發現圓的有關性質.三角形、四邊形等的學習，是沿著“定義—性質—特例—應用”的研究路徑，用“定性—定量”“整體—局部”“一般—特殊”“特殊—一般”等研究方法，得到了它們的性質，圓也將用類似的學習路徑和方法來探究.

2 “圓”章節起始課教學過程

2.1 創設教學情境，獲得研究對象

教師利用多媒體讓學生欣賞生活中的圓，接著讓學生動手畫一畫并思考：

（1）請在紙上畫出2個圓，觀察畫圓的過程，你能歸納出圓的定義嗎？

追問：你還有不同的定義方法嗎？

（2）圓上的點有什么性質呢？

追問：你能解釋為什么車輪是圓形的嗎？

師生活動：讓學生通過觀察、歸納共性，得到圓的靜態定義，即在平面內到一定點（圓心）的距離等于定長的點的集合；通過在操場上畫一個圓的過程得到圓的動態定義，即在同一平面內，一條線段繞著其固定的一個端點（圓心）旋轉一周，另一個端點的軌跡所形成的圖形.師生一起對定義中的關鍵詞進行辨析，明確圓心確定了圓的位置，半徑確定了圓的大小.鼓勵學生從不同角度理解圓，為學生從直觀描述到嚴謹表述構建通道.

教學說明：在通過圓規畫圓，直觀感知圓上點的本質特征后，引導學生歸納圓的定義，發展學生抽象概括能力.在用“發生法”定義圓的過程中，理解圓的相關要素（圓心、半徑）的作用，為進一步探索圓的性質做好鋪墊.在歸納圓的定義“一靜（集合嚴格定義）一動（旋轉描述法定義）”的過程中讓學生經歷從具體到抽象、從直觀感受到嚴密表述的的思維過程.利用追問引導學生把數學知識應用于實際生活，從圓的定義出發，得到圓上點的性質之后，即車輪上每一個與地面接觸的點到軸心的距離相等，從而解釋生活中圓形輪胎滾動更平穩的現象，突出知識的背景與應用.

2.2 基本圖形與性質探索

2.2.1 合作探究：認識圓中相關元素

問題1得到圓的定義后，還要研究圓的哪些內容呢？從什么角度去研究呢？

問題2在圓上任取兩個點，連接這2個點，能得到什么圖形呢？這些圖形有特例嗎？

追問：周長相等的圓是等圓嗎？弧長相等的兩段弧是等弧嗎？

問題3用線段連接圓上三個點，可以構成什么圖形呢？連接圓上四個點呢？

問題4把問題2和問題3所得的圖形再和圓心、半徑聯系起來，你又有什么發現呢？

問題5我們研究了單個圓的圖形之后，還可以研究什么呢？

師生活動：通過問題1，引導學生從整體（對稱性）到局部（圖形的要素和相關要素）入手研究圓的性質.通過問題2，學生發現圓上兩條特殊的線，從而得到弧和弦的概念，其中半圓和直徑是特殊的弧和弦.通過追問，師生一起辨析等圓和等弧的含義.通過問題2～4，引導學生對圓依次添線成為圖1中的各個圖形，這樣本章的研究內容和重要圖形就都通過邏輯關系有序呈現出來.通過問題5，引導學生還可以研究圓與其他圖形的關系.

教學說明：通過問題鏈，引導學生從定義出發，“由近及遠”地對圓展開研究，在研究圖形的性質就是研究圖形基本要素與相關要素確定關系的觀念引導下，發現圓的基本要素及相關要素是重要的內容.圓的相關要素如弧、弦、圓心角、圓周角等的發現不是直接觀察能夠得到的.連接圓上的兩個點，能得到兩類特殊的線.一是弧，有優弧、劣弧之分，有特殊的弧——半圓（從位置角度看，是直徑所對的弧；從數量角度看，是圓周的一半）.二是弦，有特殊的弦——直徑（從位置角度看，是過圓心的弦；從數量角度看，是同圓或等圓中最長的弦）.連接圓上三個點，可以構成圓周角、圓內接三角形.得到這些基本圖形之后，再和圓心、半徑聯系起來，則圓中所有相關要素全部被發現和確定.

2.2.2 合作探究：量化點與圓位置關系

問題6你能說出同一平面內點與圓的位置關系嗎？

問題7如何用圓心和半徑表示點與圓的位置關系呢？

教學說明：圓把平面上的點分成了三部分，類比圓上點的代數特征，可以利用圓心和半徑把平面上點與圓的位置關系轉化為代數關系.同樣可以用數量關系確定點與圓的位置關系.類似地，以后研究直線和圓的位置關系時，圖形的幾何特征與代數特征也可以互相轉化.這樣通過知識間的聯系和綜合，發展學生的理性思維，實現圖形的性質、圖形的變化和圖形證明的有機結合.

2.3 思維訓練與能力培養

例1如圖2，在A地正北80 m的B處有一幢民房，正西100 m的C處有一變電設施，在BC的中點D處是一古建筑.因施工需要，必須在A處進行一次爆破.為使民房、變電設施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內？

變式1如圖3，在A地正北30 m處有一點B，正西40 m處有一點C，BC所在的直線為公路.因施工需要，必須在A處進行一次爆破.為使公路不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內？

變式2如圖3，在A城正北300 km處有一點B，正西400 km處有一點C，從A地測得一熱帶風暴中心O從C處沿CB方向移動，距風暴中心200 km的范圍內為受影響區域.問：A城是否會受到這次風暴的影響？為什么？

變式3（挑戰）將變式2中“距風暴中心200 km的范圍內為受影響區域”改為“距風暴中心260 km的范圍內為受影響區域”.問：A城是否會受到這次風暴影響？若受到影響，影響會持續多長時間？（風暴中心的移動速度為20 km/h.）

教學說明：讓學生嘗試著自己畫圖，獨立思考后，教師引導學生把實際問題轉化為數學問題，結合圖2找出所要求的量.進一步熟悉點與圓的位置關系的判定，幫助學生從實際生活中發現數學問題，把數學知識運用于實際生活中去.

2.4 整體概念的滲透與鞏固

問題面對一個新的幾何圖形，我們將怎樣開展研究？

師生一起繪制思維導圖，如圖4.

教學說明：引導學生回顧認識圓的過程，首先通過“畫一畫”，觀察畫圓過程得出圓的定義，然后通過從圓上取一點、兩點、三點……獲得了弧、弦及半圓、直徑等概念，再將這些相關元素與圓心和半徑聯系起來，揭示圓的系統研究內容，最后重點研究點與圓的位置關系.引導學生歸納按照“由近及遠”“從系統內到系統外”按次序、有層次研究新圖形的方法和步驟.

3 教學反思

3.1 聯系越豐富，理解越深刻

促進深刻理解，需要打開學生學習與發展的內部轉換過程.通過如何畫出一個圓，從而用“發生法”描述圓的定義，歸納圓上點的共性，這樣多角度多維度地把圓的相關知識有效融合起來，能有效優化圓的知識結構和學生思維結構，對學生后續的學習和發展產生積極的影響.

3.2 思考有邏輯，研究對象有序呈現

初中階段平面幾何內容的教學，是培養學生思維的嚴謹性、邏輯性和系統性的優良載體.“圓”的第一課時，有圓（圓心、半徑）的定義，弧（劣弧、半圓、優弧）、弦（直徑）、等圓、等弧等概念.教師以整體性原則為指導，在圓上任意取兩點并連接這兩點，圓上任意取三點并連接這三點……把所得圖形與圓心、半徑聯系起來，從而得到本章所要研究的對象.通過邏輯思考發現不同知識點之間的聯系，能簡化學生對數學對象的認識，避免認知上的重復，從而提升學生的系統性思維，加強數學對象之間的內在邏輯聯系，實現為“遷移而教”的目的.

參考文獻：

鄭瑄，吳增生.“圓”章起始課教學的思考與實踐.中國數學教育，2019（21）：49-53.

章建躍.“圓”的課程教材設計與教學.數學通報，2020，59（7）：1-7，34.