做數學：做思悟證為主線的數學實驗操作課實踐

馬云飛 高學春

單純依賴模仿與記憶的教學常常是低效甚至無效的，動手實踐、自主探索、合作交流可以讓學生的學習更有效.因此，在教學的過程中，教師倘若能最大限度地引導學生自主參與到學習中去，以動手操作為手段，以自主探究為方法，讓學生在觀察、實驗、猜測、驗證、推理、討論等活動中體會探究的快樂，體驗“做中學”的樂趣，力圖使學生通過“做實驗”的主動探究過程領悟數學的價值，深度理解知識，進而培養他們的動手實踐能力、解決問題的能力和創新精神，積累基本活動經驗，最終有效推進數學學習.基于上述分析，筆者結合“菱形的判定”的教學，嘗試以操作與探究為主線設計了一節數學實驗課，重點關注學生思維能力和探究能力的發展，以落實數學核心素養.

1 課前慎思

作為一種特殊的平行四邊形，菱形多出了條件“一組鄰邊相等”以及一些特殊性質.因此，類比平行四邊形和矩形的判定方法去研究菱形是十分可行的.同時，該階段的學生已經具備了一定的邏輯推理能力，且形成了初步的幾何直觀意識.基于上述學情分析和思考，筆者大膽創新，在學生得出菱形的三個判定定理后，設計了拾級而上的數學實驗探究活動，讓學生主動參與、大顯身手，成為課堂教學的主角，以落實各種數學素養.

2 核心內容設計

探究活動1：“折”中“想”.

如圖1，請試著用這張矩形紙片剪出一個菱形.

師生活動：學生取出事先準備好的材料，經過簡單思考后獨立操作，獲得了創造性操作成果.教師在巡視過程中發現了好的創意，并請該生分享作品（如圖2），最后師生一同梳理創造性思路，并予以證明.

設計意圖：本章節平行四邊形知識中與折疊相關的問題不在少數，巧妙滲透于日常教學中才能較好地突破難點，培養學生的抽象思維和空間想象能力.此處教師基于對教材內容的審視和數學知識的理解確立教學目標，為教材例題增設新的背景，讓新知的生成輕松、自然.探究活動2：“畫”中“思”.

探索1：嘗試在只有一把有刻度直尺的條件下畫出一個平行四邊形，并闡明理由.

學生活動：學生拿到一把有刻度的直尺，自然需要考慮其作用，除去畫直線外，還可以度量長度.

基于此，學生得出如下方法：

①基于平行四邊形的三大要素“邊、角及對角線”的角度思考，并選擇邊或對角線展開探究，畫出一組相互平分的對角線，讓探究獲解.

②基于三角形的中位線定理這一角度展開思考，該定理具有一定的特殊性，一個題設的前提下得出了兩個結論，即闡明了位置關系和數量關系.有了這樣的鋪墊，容易發現以上結論剛好能與平行四邊形的判定定理“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”相溝通.有了如上思考，學生很快畫出了一個任意三角形，且通過測量確定三邊中點，并依次連接兩條中位線，此時兩條中位線及鄰邊的一半構成一個平行四邊形.

③與方法②的思考角度相同，先任意畫出一個四邊形，并用直尺測量并確定好四條邊的中點，接著同樣地依次連接各邊的中點，得到的中點四邊形就是一個平行四邊形.

設計意圖：事實上，工具越少的情況下，作圖的難度就越大，這一活動極好地考查了學生的綜合應用能力和推理能力.此處教師這樣的設計，目的在于引導學生擺脫常規的尺規作圖的束縛，僅僅借助一把有刻度的直尺嘗試作圖，通過得到的數量關系來解決問題.因此，學生順理成章地生成了方法①，并進一步借助平行四邊形的判定定理生成了后續的方法②與方法③.這樣的活動設計極大地訓練了學生的思維能力，使得學生的腦洞大開，為后續的深度探究作足準備.

探索2：嘗試在只有一把有刻度直尺的條件下畫出一個菱形，并闡明理由.

學生活動：由于有了活動1的鋪墊，學生漸入佳境，很快有了想法和創意，并得出了如下方法：

①先畫出一個等腰△ABC，令AB=AC，測量出底邊的中點D，連接AD，AD同樣為底邊上的高.進一步延長AD到點E，使得DE=AD，得到的ABEC是菱形.

②畫出一個等腰三角形，測量三邊中點，依次連接中點后與兩腰的一半所圍即為菱形（此處可通過三角形中位線定理證明）.

③首先，畫出一個對角線相等的四邊形，并測量出每條邊的中點；接著依次連接各條邊的中點，所得的中點四邊形就是所求菱形（此處同樣可通過三角形數學中位線定理證明）.

設計意圖：《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出“創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終”.學習很多時候是一種“旅行”，在這個過程中，以動手操作為指引進行探索，可以建構起屬于自己的知識結構.這里，教師通過變式自然而然地將學生引向本節課的重難點，讓學生再一次去畫菱形的同時獲得認識，進一步體驗、發現和歸納，從而發展學生的應用意識和創新意識.

探究活動3：“轉”中“證”.

將圖3中的兩張紙條（等寬）交叉疊放一起，試著判斷重合部分所構成的四邊形ABCD的形狀.思考：若兩張紙條的長都是8 cm，寬都是2 cm，那么四邊形ABCD周長的最小值是多少？最大值呢？

學生活動：學生通過教師事先準備好的兩張紙條進行探索，先動手旋轉，再測量邊長，并發現四邊形ABCD的邊長均相等，繼而想方設法予以證明.進一步地，學生繼續旋轉紙條，探究取到最小值或最大值的情形如圖4，圖5.

設計意圖：教學需要讓學生以主角的身份去發現和創造.通過上述旋轉＋證明的過程，學生揭開了初學新知的困惑，并在此過程中學會了發現和創造，同時深化了認知，提升了實踐能力和創新意識，逐步積累了數學活動經驗.

3 教學反思

3.1 巧妙設計激學生之情，助力思維拔節

學生在學習過程中的身心感受與情感體驗對于學生的數學學習十分重要，激學生之情，可以影響知識獲取的速度，可以落實核心素養的培育.本課中，教師通過巧妙設計來調節學生的學習心向，讓學生以更加飽滿的熱情投入到探究中.同時，教師用知識的魅力打動學生，讓學生在不斷發現和解決問題的過程中，體會對知識的探索，水到渠成地助力思維的拔節.

3.2 探究活動因學生之知，落實素養發展

教師在設計活動時需從學生之知出發，深度鉆研教材，精選教學內容，引領學生探動手操作的同時深度思考和深度探究，最終達成“已然知之”的效果.本課中，正是由于教師在選擇活動時能多番考慮，才使得后續的探究活動更好地活化思維，使其學會遷移應用，落實核心素養的發展.

總之，有效的數學實驗活動設計不僅可以揭示知識的形成過程，還能促進知識內涵和外延的拓展.以操作和探究為主線設計教學，因學生之知設計數學實驗活動，讓學生變“聽”為“做”，變“被動接受”為“主動探究”，在引領學生“做數學”的過程中“學數學”，感悟數學的真諦，發展數學思維和智慧，水到渠成地落實直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.當然開設數學實驗教學，還能有效地促進教師教學方式的的轉變，有利于整個初中數學校本課程的研究與開發.

參考文獻：

施正建.合理使用數學教材，激發學生的學習興趣.語數外學習（初中版下旬），2017（4）：58.

寧銳，李昌勇，羅宗緒.數學學科核心素養的結構及其教學意義.數學教育學報，2019，28（2）：2429.