基于整體視角構(gòu)建系統(tǒng)思維

高凱亮

摘要：基于整體視角的教學，有助于學生從整體上把握學習內(nèi)容，感悟數(shù)學學科本質(zhì)，同時也有助于培養(yǎng)系統(tǒng)思維.“有理數(shù)的乘方”這節(jié)課將類比乘法運算的由來，構(gòu)建出乘方運算，最后在整體視角下建立“加、減、乘、除、乘方”五種運算的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學生深層次理解乘方運算.

關(guān)鍵詞：整體性；系統(tǒng)思維；乘方；運算

“有理數(shù)的乘方”是有理數(shù)的第五種運算，也是有理數(shù)章節(jié)最后一種運算.因此，筆者在一次校級研究課中采用從數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的視角引入的方式，讓學生在活動中感受研究乘方運算的必然性，自主意識到（-2）4與-24的區(qū)別，通過對“有理數(shù)乘方運算的冪的符號規(guī)律”等問題的探討，促使學生積累一定的運算經(jīng)驗，幫助學生構(gòu)建系統(tǒng)思考問題的思維方式，課堂取得了較好的教學效果.

1 基于學習價值的教學分析

基于“有理數(shù)的乘方”的學習價值進行分析，體現(xiàn)在以下兩個方面：

（1）感悟有理數(shù)運算的內(nèi)在聯(lián)系，樹立整體觀念

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022版）》指出，需要從整體上把握教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，樹立整體觀念.學生在學習“有理數(shù)的乘方”之前已經(jīng)學習了有理數(shù)的加、減、乘、除四種運算，從數(shù)學內(nèi)部結(jié)構(gòu)來看，乘方運算是特殊的乘法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，乘法運算又是特殊的加法運算，減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，因此，有理數(shù)的加法運算是其他類型運算的“根基”.從整體視角構(gòu)建出乘方運算，有助于學生更好地把握乘方運算的本質(zhì)，感悟有理數(shù)運算的內(nèi)在聯(lián)系，也為后續(xù)構(gòu)建“有理數(shù)的混合運算”中的運算順序埋下伏筆.

（2）積累運算經(jīng)驗，發(fā)展運算能力

運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力.在運算過程中觀察出一些運算規(guī)律有助于積累運算經(jīng)驗，形成運算技巧，發(fā)展運算能力.在有理數(shù)乘方的運算過程中通過觀察、歸納“有理數(shù)乘方運算的冪的符號規(guī)律”，進而積累運算經(jīng)驗，便于后續(xù)進行乘方運算時能快速確定運算結(jié)果的符號，通過規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、驗證與總結(jié)歸納等過程，促進運算能力的發(fā)展.

2 “有理數(shù)的乘方”教學過程

2.1 情境引入，探究新知

核心問題1前面學習了有理數(shù)的哪些運算？運算結(jié)果的名稱分別叫什么呢？（加、減、乘、除；和、差、積、商.）

追1：前面學習有理數(shù)的加、減、乘、除四種運算，說是四種運算，能否簡化一下呢？

生：可以簡化成加法和乘法兩種運算，因為減法可以轉(zhuǎn)化成加法，除法可以轉(zhuǎn)化成乘法.

追2：能具體說說是如何轉(zhuǎn)化的嗎？

設(shè)計說明：通過回顧減法法則“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，明晰可以將有理數(shù)的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算.

依據(jù)除法法則“除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，明確可以將有理數(shù)的除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算.通過對核心問題1的探討，學生能夠自主意識到四種運算其實可以簡化成兩種運算，滲透轉(zhuǎn)化思想，并回顧每一種運算結(jié)果的名稱，為接下來賦予乘方運算結(jié)果名稱的必要性埋下伏筆.

核心問題2你見過各個加數(shù)都相同的加法運算嗎？這樣的加法運算可以怎樣簡便表示呢？類似地，各個乘數(shù)都相同的乘法運算可以怎樣簡便表示呢？

師：例如，2＋2＋2＋2可以表示為4×2，這樣表示較為簡潔，由此，我們學習的乘法誕生了！類似地，2×2×2×2可以簡潔地表示為24，因此，2×2×2×2＝24＝16，請同學們注意它與4×2的區(qū)別.

追1：類似地，如何表示4個（-2）相乘呢？如何表示5個13相乘呢？寫出它們的運算結(jié)果.（學生寫下來，教師希沃投影.）

追2：類似于這樣的乘法算式寫得完嗎？更一般的情形如何表示呢？（用字母表示.）

追3：從哪里獲得的經(jīng)驗呢？（加法、乘法運算律.）

追4：冪具有怎樣的結(jié)構(gòu)呢？（底數(shù)、指數(shù).）

設(shè)計說明：通過回顧乘法算式的由來，明晰乘法運算是特殊的加法運算，從書寫形式上感受乘法運算的簡潔性；類似地，引出乘方運算的定義，在此過程中感悟乘方運算的本質(zhì)是乘法運算，為從整體視角感悟“加、減、乘、除、乘方”五種運算的內(nèi)在聯(lián)系埋下伏筆.

特別說明，教師在該教學活動過程中需要放慢腳步.追問1中讓學生表示4個（-2）相乘、5個13相乘時，需要全體學生都嘗試書寫.七年級初期的學生整體觀念較為薄弱，大部分學生容易將4個（-2）相乘錯誤表示為-24，將5個13相乘錯誤表示為153.此處是本節(jié)課的難點之一，筆者執(zhí)教時有意識讓學生對比-24與（-2）4，153與135在書寫上的區(qū)別，通過小組研討引導學生感悟兩種表示方法的不同含義，在研討過程中讓學生意識到加了括號就代表一個整體，滲透整體思想；學生對這兩種表示方法含義的理解會直接影響后續(xù)包含乘方的有理數(shù)混合運算的正確率，因此，在乘方運算的新授課上就要讓學生厘清此類問題.利用追問2讓學生自主意識到用字母表示乘方運算的必要性，滲透從特殊到一般研究問題的路徑.在該教學片段教師需要逐漸形成結(jié)構(gòu)化的板書（圖1）.

2.2 例題精解，總結(jié)算法

例計算：

（1）27；（2）（-3）4；（3）-43；

（4）-234；（5）02 022.

追1：如何進行乘方運算？

追2：02 022＝0；那么02 023，02 024，……，等于多少？由此，你有什么猜想呢？

師生活動：本環(huán)節(jié)讓學生嘗試獨立解決，教師批改例題完成較快的學生的解答，由小組長輔助批改，盡量做到全員批改，根據(jù)小組長匯報的批改情況，進行有針對性的講解.批改過程中教師需要特別關(guān)注后進生的完成情況，確保全體學生“雙基”目標的達成.

設(shè)計說明：根據(jù)學生例題的完成情況展開追問.追問1的目的是形成乘方運算的一般性算法，滲透轉(zhuǎn)化思想.追問2的目的是引導學生歸納出“0的任何正整數(shù)次冪都是0”，教師可引導學生用乘方的定義解釋其原因，深化對乘方運算的理解.

2.3 探究符號規(guī)律，形成運算技巧

題組1計算：（1）（-3）2；（2）（-3）3；

（3）-124；（4）-125.

題組2計算：（1）32；（2）33；（3）124；（4）125.

追1：觀察題組1，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追2：觀察題組2，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追3：對比題組1與題組2，你又有哪些發(fā)現(xiàn)？你能對（-a）2n＝a2n，（-a）2n＋1＝-a2n＋1進行解釋嗎？

設(shè)計說明：本環(huán)節(jié)在學生獨立完成兩個題組后展開三個追問，學生先進行小組討論，再匯報.對于討論中目標不明確的小組，教師需要適時介入指導，幫助學生將問題聚焦到乘方運算結(jié)果的符號和冪的什么元素有關(guān)系.通過追問1與追問2，進一步總結(jié)出“負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)”，在總結(jié)規(guī)律的過程中積累運算經(jīng)驗，形成運算技巧.通過追問3，學生能夠自主發(fā)現(xiàn)（-3）2＝32，（-3）3＝-33，

自主意識到平方等于9的數(shù)有兩個，分別是3和-3，教師引導學生用乘方的定義對其進行解釋.追問3實際上是乘方運算的應(yīng)用，并讓學生嘗試用字母表示該規(guī)律，體現(xiàn)規(guī)律的一般性.

2.4 暢談收獲

通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？你對有理數(shù)的運算有了哪些認識？

設(shè)計說明：本環(huán)節(jié)讓學生暢所欲言，最后將問題聚焦到感悟有理數(shù)的“加、減、乘、除、乘方”運算的內(nèi)在聯(lián)系上，并完善核心問題1中的板書（略），形成能體現(xiàn)五種運算內(nèi)在聯(lián)系的板書（圖2）.

運算類型加減乘除乘方……

運算結(jié)果名稱和差積商幕……

2.5 發(fā)現(xiàn)乘方模型，感受數(shù)學價值

師：同學們，生活中有乘方運算的實例嗎？

設(shè)計說明：列舉拉面、折紙等實例，讓學生在課堂上動手操作折紙，在折紙過程中記錄折紙的次數(shù)與層數(shù)之間的關(guān)系，感受乘方模型在生活中隨處可見，觸手可及，增強學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的意識.通過PPT視頻，了解一張紙對折105次后是否比宇宙還要大？感受隨著折紙次數(shù)的增加，層數(shù)變化的速度越來越快，滲透“對應(yīng)、變化”數(shù)學思想.

3 總結(jié)與反思

3.1 基于整體視角，構(gòu)建系統(tǒng)思維

系統(tǒng)思維有助于研究者把握問題本質(zhì).簡單來說，不是就事論事，而是需要從整體上對事物進行全面思考；整體性原則是系統(tǒng)思維的核心，是發(fā)展系統(tǒng)思維的必要條件.基于整體視角的教學有助于學生形成有邏輯的知識網(wǎng)，厘清相關(guān)數(shù)學對象的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，幫助學生更好地把握數(shù)學本質(zhì)，助力提升數(shù)學核心素養(yǎng).整體視角下的教學設(shè)計一般分為“總—分—總”三個流程，首先需要由核心問題引領(lǐng)，引導學生在整體視角下提出研究的問題（總），再通過具體活動對其展開研究（分），最后又一次在整體視角下將研究的數(shù)學對象與相關(guān)數(shù)學對象進行耦合連接（總）.例如，本節(jié)課之前學生已經(jīng)學習過“加、減、乘、除”四種運算，筆者執(zhí)教時有意識引導學生回顧了乘法運算的來源與價值后，為了體現(xiàn)數(shù)學的簡潔性，在乘法運算的基礎(chǔ)上遷移出乘方運算，體會用數(shù)學符號表達問題的便捷，感受學習乘方運算的合理性與必然性，接下來通過兩個有層次的活動對乘方運算展開研究，本課小結(jié)中又引導學生感受到五種運算的內(nèi)在聯(lián)系，同時幫助學生構(gòu)建系統(tǒng)思考問題的思維方式.

3.2 關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”，積累活動經(jīng)驗

關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”是研究“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要導向，正所謂“解題運算要提升，結(jié)構(gòu)分析應(yīng)先行”.本節(jié)課筆者在每一個環(huán)節(jié)中都滲透了需要關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的意識，例如由核心問題2引出乘方運算后，從“式結(jié)構(gòu)”上讓學生直觀感受到引入乘方運算表示特殊的乘法具有簡潔性.在“冪”的概念引出后，筆者追問“冪具有怎樣的結(jié)構(gòu)呢？”（由底數(shù)與指數(shù)組成），有意識地讓學生從整體與局部兩個視角認識“冪”的結(jié)構(gòu).“探究符號規(guī)律”環(huán)節(jié)，在對比中讓學生自主意識到（-3）2＝32，（-3）3＝-33，再運用乘方的定義解釋，并嘗試用字母表示該規(guī)律，通過總結(jié)規(guī)律學生自主意識到若一個數(shù)的平方等于9，那么這個數(shù)是±3，這個結(jié)論是學生在觀察“式結(jié)構(gòu)”中自主發(fā)現(xiàn)的，并非教師機械的提問回答出來的.本節(jié)課課后作業(yè)中有一道填空題“一個數(shù)的平方等于16，那么這個數(shù)是多少”，根據(jù)以往的經(jīng)驗，七年級新授課的作業(yè)中該題的錯誤率會極高，本節(jié)課后該題全班（45人）僅有1位學生出錯，這讓筆者喜出望外.通過此次研究課，筆者也注意到增強學生關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的意識在研究“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域問題中的重要性，需要在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的每節(jié)課上逐步滲透關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的意識.例如，學習各類型方程的解法時，關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的特征可能就存在簡便解法，進而提高解決問題的效率；后續(xù)學習冪的運算時，底數(shù)相同且指數(shù)也相同的冪才能進行加（減）法運算，只有底數(shù)相同的冪才能進行乘（除）法運算.因此，教師需要在七年級初期將關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的意識落實到常規(guī)教學中，幫助學生開啟學習“數(shù)與代數(shù)”知識領(lǐng)域的“大門”.